第二章均勻物質的熱力學性質2.1眾所周知，當體積保持不變時，氣體的壓力與其熱力學溫度成正比。證明了當溫度保持不變時，氣體的熵隨體積增加而增加。解答：根據題目，氣體的壓力可以表示為(1)體積的函數在哪里？通過自由能的全差鄧普西關系(2)將式(1)代入，有(3)因此，有。這意味著當溫度保持不變時，氣體的熵隨體積增加。2.2將物質的狀態方程設置為以下形式：試著證明它的內能與體積無關。解答：根據問題，物質的狀態方程有以下形式：(1)確實有(2)然而，根據公式(2.2.7)，有(3)因此(4)也就是說，如果一種物質具有形式(1)的狀態方程，那么該物質的內能與體積無關，只是溫度t的函數.2.3驗證：解答：焓的全差是(1)命令(2)內能的全部差別是(3)命令(4)2.4已知，已確認解決方案：對于復合函數(1)找到偏導數，有(2)如果有(3)方程(2)也可以由雅可比行列式證明：(2)2.5試圖證明均勻物體準靜態等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓溫度隨體積的增減。解答：熱力學用偏導數來描述等壓過程中熵隨體積的變化率，用偏導數來描述等壓過程中溫度隨體積的變化率。為了找出兩個偏導數之間的關系，對于復合函數(1)找到偏導數，有(2)因為，所以積極和消極取決于積極和消極。方程(2)也可以由雅可比行列式證明：(2)2.6試圖證明在相同的壓降下，準靜態絕熱膨脹過程中氣體的溫降大于節流過程中的溫降。解：氣體在準靜態絕熱膨脹過程和節流過程中的溫降分別用偏導數和導數來描述。熵函數的全微分是在可逆絕熱過程中，有(1)最后一步使用麥克斯韋關系式(2.2.4)和(2.2.8)。焓的全差是在節流過程中，有(2)最后一步使用等式(2.2.10)和(1.6.6)。從公式(2)中減去公式(1)得到(3)因此，在相同的壓降下，氣體絕熱膨脹過程的溫降大于節流過程。這兩種工藝都用于冷卻和液化氣體。由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機具有運動部件，運動部件的低溫潤滑技術是一個非常困難的問題。事實上，節流過程更常用。然而，當節流過程用于降低溫度時，氣體的初始溫度必須低于轉化溫度。Kapitza (1934)將絕熱膨脹和節流過程結合起來，首先使用絕熱膨脹過程將氦氣溫度降低到轉化溫度以下，然后使用節流過程液化氦氣。2.7實驗發現，氣體的壓力和體積V與內能U的乘積只是溫度的函數，即根據熱力學理論，討論了這種氣體狀態方程的可能形式。解決方案：根據主題，氣體具有以下特征：(1)(2)根據公式(2.2.7)和公式(2)，有(3)并且可以通過式(1)獲得(4)將等式(4)代入等式(3)，有或者(5)積分或者(6)其中c是常數。因此，如果氣體具有方程(1)和(2)中表示的特性，根據熱力學理論，其狀態方程必須具有方程(6)的形式。需要進一步的實驗結果來確定常數c。2.8證明并由此衍生根據上述兩個公式，理想氣體的定容熱容和定壓熱容只是溫度t的函數。解決方案：給出公式(2.2.5)(1)以t和v為狀態參數，上述公式對v的偏導數如下(2)第二步，交換偏導數的導數階，第三步，應用麥克斯韋關系式(2.2.3)眾所周知，當v是常數時，它是t的線性函數，即因此這意味著理想氣體的恒定體積熱容量只是溫度t的函數。在恒定溫度下積分方程(2)得到(3)方程(3)表明，只要測量系統的定容熱容，任何體積的定容熱容都可以根據狀態方程計算。類似地，給出等式(2.2.8)(4)考慮狀態參數，然后找到上面公式的偏導數。有(5)第二步，改變求偏導數的順序，第三步，應用麥克斯韋關系式(2.2.4)眾所周知，當它是常數時，它是一個線性函數，即因此這意味著理想氣體的恒壓熱容只是溫度t的函數。在恒定溫度下積分方程(5)得到方程(6)表明，只要測量系統在壓力下的恒壓熱容，就可以根據狀態方程計算任何壓力下的恒壓熱容。2.9證明了梵高氣體的定容熱容只是溫度T的函數，與比容無關。解決方案：根據練習2.8 (2)(1)范方程(方程(1.3.12)可表示為(2)因為當v不變時，范氏方程的p是t的線性函數，所以范氏氣體的恒定體積熱容量只是t的函數，與比容無關。不僅如此，根據問題2.8 (3)(3)我們知道，范氏氣體往往是一種理想氣體。讓上面的公式，其中是理想氣體的熱容量。因此，fann氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的。順便說一下，當壓力恒定時，范德瓦爾斯方程的體積與溫度沒有線性關系。根據2.8的等式(5)(2)這意味著風扇氣體的恒壓熱容量是一個函數。2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以表示如下解答：方程(2.4.13)和(2.4.14)給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數作為其自然變量的函數的積分表達式。本主題要求理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量的函數的積分表達式。根據自由能的定義(方程式(1.18.3)，摩爾自由能為(1)其中總和是摩爾內能和摩爾熵。根據方程(1.7.4)和(1.15.2)，理想氣體的摩爾內能和摩爾熵為(2)(3)因此(4)使用部分積分公式制造等式(4)右邊的前兩項可以合并，等式(4)可以重寫為(5)2.11找到風扇氣體的特征函數，并導出其他熱力學函數。解決方法：考慮1毫升梵高的氣體。根據自由能全微分表達式(2.1.3)，摩爾自由能全微分為(1)因此.(2)積分(3)由于方程(2)的左邊是偏導數，它的積分可以包含溫度的任何函數。當fann氣體趨于理想氣體時，我們用極限條件來確定函數。根據練習2.11的等式(4 ),理想氣體的摩爾自由能是(4)通過比較等式(3)和等式(4)的時限，我們知道(5)范氏氣體的摩爾自由能是(6)等式(6)是特征函數范氏氣體的摩爾熵是(7)摩爾內能是(8)2.12彈簧在恒定溫度下的回復力與其伸長成比例，即比例系數是溫度的函數。忽略彈簧的熱膨脹，試圖證明彈簧的自由能、熵和內能的表達式分別為解決方法：在準靜態過程中，施加在彈簧上的外力等于彈簧的回復力，方向相反。當彈簧長度改變時，外力做功為(1)根據方程(1.14.7)，彈簧的基本熱力學方程為(2)彈簧的自由能定義為它的全差分是當胡克定律被取代時，有(3)因此在固定溫度下，對上述公式進行積分，得到(4)當溫度為，伸長為零時，彈簧的自由能是多少？彈簧的熵是(5)彈簧的內能是(6)在力學中，彈簧的勢能通常記錄為它不被認為是溫度的函數。根據熱力學，它是外界在等溫過程中所做的功，是自由能。2.13 X射線衍射實驗發現，橡膠帶在未張緊時具有無定形結構。當在張力下拉伸時，它具有晶體結構。這一事實表明橡皮筋有大分子鏈。(1)嘗試討論橡膠帶在等溫拉伸過程中，其熵是增加還是減少；(b)試圖證明其膨脹系數是負的。解決方案：(a)熵是系統無序程度的量度。橡膠帶在等溫拉伸過程后由非晶態結構轉變為晶態結構，這表明該過程后無序度降低，即熵降低，因此存在(1)橡膠帶自由能的總差可以得到麥的關系(2)通過組合公式(1)和(2)，我們知道(3)從橡皮筋的狀態方程，我們知道偏導數之間有一種鏈式關系。也就是說，(4)膠帶恒溫拉伸的解釋(5)綜合公式(3)-(5)因此，橡膠帶的膨脹系數是負的，即(6)2.14假設太陽是黑色的，根據以下數據計算太陽表面的溫度：每單位時間投射到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量是(這個值稱為太陽常數)，太陽的半徑是，太陽和地球之間的平均距離是。解答：代表太陽的半徑。太陽表面球體中心頂點的立體角所拉伸的面積是。假設太陽是一個黑體，根據斯特凡-玻爾茲曼定律(公式(2.6.8)，單位時間內以立體角輻射的太陽輻射能量為(1)在單位時間內，太陽輻射能量在以太陽為中心、太陽與地球之間的平均距離為半徑的球面上以立體角輻射使兩個公式相等，得到(3)替換和的值以獲取2.15當熱輻射的體積從等溫變為等溫時，計算熱輻射吸收的熱量。解決方案：根據等式(1.14.3)，系統在可逆等溫過程中吸收的熱量為(1)等式(2.6.4)給出了熱輻射的熵函數表達式(2)因此，在可逆等溫過程中，當它隨時間變化時，熱輻射量所吸收的熱量是(3)2.16嘗試討論以平衡輻射為工作物質的卡諾循環，并計算其效率。解決方案：根據等式(2.6.1)和(2.6.3)，平衡輻射壓力可表示為(1)因此，平衡輻射的等溫過程也是一個等壓過程。方程(2.6.5)給出了可逆絕熱過程(等熵過程)中溫度T和平衡輻射體積V之間的關系(2)將方程(1)與方程(2)相結合，去掉溫度t，可以得到可逆絕熱過程中壓力與平衡輻射體積之間的關系(常數)。(3)下圖是平衡輻射可逆卡諾循環的曲線圖，其中等溫線方程和絕熱線方程分別是方程(1)和方程(3)。下圖是相應的圖表。在計算效率時應用圖表更方便。在從等溫狀態(溫度為)膨脹到穩態的過程中，平衡輻射吸收的熱量為(4)在從等溫狀態(溫度為)到壓縮狀態的壓縮過程中，平衡輻射釋放的熱量為(5)循環過程的效率是(6)2.17如圖所示，電介質的介電常數與溫度有關。試著找出電路閉合時電介質的熱容量和充電后電路斷開時的熱容量之間的差異。解答：根據方程(1.4.5)，當介質的電位移發生變化時，外界所做的功為(1)其中e是電場強度和介質體積。這個題目不考