大學物理練習冊振動 1 11-1 一物體作簡諧運動的曲線如圖 11-1 所示，試求其運動方程。 解解：設振動方程為)cos(tAx，m104 2 A 由旋轉矢量法知 4 3 ， 25 . 0 4/ ， ) 4 3 2 cos(104 2 tx 11-2 一質量為 0.02kg 的彈簧振子沿 x 軸作諧振動，振幅為 0.12m，周期為 2s。當 t0 時，振子位于 0.06m 處，并向 x 軸正方向運動，試求： （1）試用旋轉矢量法確定初位相并寫出運動方程； （2）t0.5s 時的位置， 速度和加速度； （3）從 x0.06m處向 x 軸負方向運動再回到平衡位置所需時間。 解解： （1）由旋轉矢量法知 3 ， 2 22 T ， ) 3 cos(12. 0 tx （2）) 3 sin(12. 0 dt d t x v，) 3 cos(12. 0 dt d 2 t v a s5 . 0t，m1039. 0x，m/s1885. 0v， 2 m/s03. 1a （3）s 6 56/52/3/ t 11-3 如圖 11-3 所示，水平輕質彈簧一端固定，另一端所系輕繩繞過一滑輪垂掛一質量為 m 的物體。若彈 簧勁度系數為 k，滑輪半徑為 R，轉動量為 J。 （1）證明物體作簡諧振動； （2）求振動周期； （3）設 t 0 時彈簧無伸縮，物體由靜止下落，寫出物體的運動方程。 解解： （1）取系統的靜平衡位置為坐標原點，向下為正。 彈簧的初始變形量 k mg x 0 。 分別取重物、滑輪和彈簧為研究對象，則有 2 2 1 d d t x mTmg， R tx JRTT 22 21 d/d ,)(，)( 02 xxkT 由上述方程可解得：0 /d d 22 2 x RJm k t x 所以物體作簡諧振動。 （2） 2 / RJm k ， k RJm T 2 / 2 2 （3）0t，0 0 v， k mg xA 0 ，。) / cos( 2 t RJm k k mg x 11-4 一質量為 m的小球在一個光滑的半徑為 R 的球形碗底作微小振動， 如圖 11-4 所示。 設 t0 時，0， 小球的速度為 v0，并向右運動。求在振幅很小的情況下，小球的運動方程。 解解：在切向應用牛頓定律 0.5 4 圖 11-1 O x /cm t /s 22 m 圖 11-3 大學物理練習冊振動 2 2 2 d d sin t mRmamg t ，sin，0 d d 2 2 R g t 設運動方程為 )cos(t m ， 0t，0，且向右運動 2 。 gR v Rg Rv m 0 2 0 2 2 02 0 / )/( 0 ) 2 cos( 0 t R g gR v 11-5 一彈簧振子作簡諧振動， 振幅 A0.20m， 如果彈簧的勁度系數 k2.0N/m， 所系的物體質量 m0.50kg， 求： （1）當動能和勢能相等時，物體的位移是多少？（2）設 t0 時，物體在正最大位移處，則在一 個周期內達到動能和勢能相等處所需的時間是多少？ 解解： （1） 22 4 1 2 1 2 1 kAEkxEP， 22 2 1 Ax ，m14. 0 2 2 . 0 2 A x （2）s/12 5 . 0 0 . 2 m k 。 t 4 1 ，s39. 0 1 t； 4 3 2 ，s18. 1 2 t； 4 5 3 ，s96. 1 3 t； 4 7 4 ，s75. 2 4 t； 11-6 質量為 0.01kg 的物體，以振幅 1.010 2m作簡諧運動，其最大加速度為 4.0ms2。求： （1）振動的周 期； （2）物體通過平衡位置時的總能量和動能； （3）當物體的位移大小為振幅的一半時，動能和勢能 各占總能量的多少？ 解解： （1） 2 Aam，/s120 101 0 . 4 2 A am ，s314. 0 20 22 T （2）在平衡位置 J100 . 2)20100 . 1 (01. 0 2 1 )( 2 1 2 1 42222 AmmvEE mk （3）EkA A kkxEP 4 1 2 1 4 1 ) 2 ( 2 1 2 1 222 ，EEk 4 3 11-7 兩個同方向的簡諧振動，其運動方程分別為 ) 4 3 10cos(05. 0 1 tx，) 4 1 10cos(06. 0 2 tx （1）求它們合成振動的振幅和初相位； （2） 若另有一振動)10cos(07. 0 33 tx， 則3為多少時， x1+x3的振幅最大？又3為多少時， x2+x3 的振幅最??？ 解解： （1）)cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA O R 圖 11-4 大學物理練習冊振動 3 圖 11-9 x1(t) x2(t) O A2 x t A1 x1(t) x2(t) O A2 x t A1 （a） （b） m078. 0) 4 3 4 cos(06. 005. 0206. 005. 0 22 00.11 4 cos06. 0 4 3 cos05. 0 4 sin06. 0 4 3 sin05. 0 coscos sinsin tan 2211 2211 AA AA ，rad48. 18 .84 （2）k2 13 ， 4 3 2 3 k，2, 1, 0k； ) 12( 23 k， 4 5 2 3 k，2, 1, 0k。 11-8 有兩個同方向同頻率的簡諧運動，其合成振動的振幅為 0.20m，合振動的相位與第一個振動的相位差 為/6，第一個振動的振幅為 0.173m，求第二個振動的振幅及兩振動的相位差。 解解：01. 030cos2 . 0173. 022 . 0173. 0 6 cos2 22 1 22 1 2 2 AAAAA，m1 . 0 2 A )cos(2 1221 2 2 2 1 2 AAAAA 0 1 . 0173. 02 )1 . 0173. 0(2 . 0 2 )( )cos( 222 21 2 2 2 1 2 12 AA AAA ， 2 12 。 11-9 圖 11-9 表示兩個同方向、同頻率的簡諧振動曲線，其頻率為 ，分別求出（a）和（b）情形時： （1） 合振動振幅； （2）合振動的振動方程。 解解：(a) 12 ，| 12 AAA，)() 2 cos(| 1212 AAtAAx (b) 2 12 ， 2 2 2 1 AAA， 2 11 tan A A ，)tancos( 2 112 2 2 1 A A tAAx 11-10 質量為 0.4kg 的質點同時參與相互垂直的兩個諧振動： ) 63 cos(08. 0 1 tx，) 33 cos(06. 0 2 tx 求： （1）質點的軌跡方程； （2）質點在任一位置所受的力。 解解： （1）設 )cos( 11 tAx，)cos( 22 tAy，消去t得 大學物理練習冊振動 4 )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y