2007年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘第卷1至2頁，第卷3至10頁考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回祝各位考生考試順利!第卷注意事項：1答第卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號答在試卷上的無效3本卷共10小題，每小題5分，共50分參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式如果事件相互獨立，那么其中表示球的半徑一、選擇題：在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1是虛數單位，（） 2設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（）41112143“”是“”的（）充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件4設雙曲線的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為（）5函數的反函數是（）6設為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）若與所成的角相等，則若，則若，則若，則7在上定義的函數是偶函數，且，若在區(qū)間上是減函數，則（）在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是增函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是減函數8設等差數列的公差不為0，若是與的等比中項，則（）24689設均為正數，且，則（）10設兩個向量和，其中為實數若，則的取值范圍是（）2007年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）第卷注意事項：1答案前將密封線內的項目填寫清楚2用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上3本卷共12小題，共100分二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線上11若的二項展開式中的系數為，則（用數字作答）12一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為13設等差數列的公差是2，前項的和為，則14已知兩圓和相交于兩點，則直線的方程是15如圖，在中，是邊上一點，則16如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數字作答）三、解答題：本大題共6小題，共76分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知函數（）求函數的最小正周期；（）求函數在區(qū)間上的最小值和最大值18（本小題滿分12分）已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球現從甲、乙兩個盒內各任取2個球（）求取出的4個球均為黑球的概率；（）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；（）設為取出的4個球中紅球的個數，求的分布列和數學期望19（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面，是的中點（）證明；（）證明平面；（）求二面角的大小20（本小題滿分12分）已知函數，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的單調區(qū)間與極值21（本小題滿分14分）在數列中，其中（）求數列的通項公式；（）求數列的前項和；（）證明存在，使得對任意均成立22（本小題滿分14分）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為（）證明；（）設為橢圓上的兩個動點，過原點作直線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程2007年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分50分12345678910二、填空題：本題考查基本知識和基本運算每小題4分，滿分24分11212133141516390三、解答題17本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角差公式、倍角公式、函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力滿分12分（）解：因此，函數的最小正周期為（）解法一：因為在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數，又，故函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下：yxO由圖象得函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為18本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力滿分12分（）解：設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件，“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件由于事件相互獨立，且，故取出的4個球均為黑球的概率為（）解：設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件，“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件由于事件互斥，且，故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為（）解：可能的取值為由（），（）得，從而的分布列為0123的數學期望19本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，（）證明：由，可得是的中點，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面內的射影是，又，綜上得平面（）解法一：過點作，垂足為，連結則（）知，平面，在平面內的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設，可得在中，則在中，所以二面角的大小是解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為過點作，垂足為，故平面過點作，垂足為，連結，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設，可得，于是，在中，所以二面角的大小是20本小題考查導數的幾何意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，利用導數研究函數的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法滿分12分（）解：當時，又，所以，曲線在點處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內為減函數，在區(qū)間內為增函數函數在處取得極小值，且，函數在處取得極大值，且（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內為增函數，在區(qū)間內為減函數函數在處取得極大值，且函數在處取得極小值，且21本小題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的前項和公式、數列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力滿分14分（）解法一：，由此可猜想出數列的通項公式為以下用數學歸納法證明（1）當時，等式成立（2）假設當時等式成立，即，那么這就是說，當時等式也成立根據（1）和（2）可知，等式對任何都成立解法二：由，可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為（）解：設，當時，式減去式，得，這時數列的前項和當時，這時數列的前項和（）證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：由知，要使式成立，只要，因為所以式成立因此，存在，使得對任意均成立22本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力滿分14分（）證法一：由題設及，不妨設點，其中由于點在橢圓上，有，即解得，從而得到直線的方程為，整理得由題設，原點到直線的距離為，即，將代入上式并化簡得，即證法二：同證法一，得到點的坐標為過點作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：設點的坐標為當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，點的坐標滿足方程組將式代入式，得，整理得，于是，由式得由知將式和式代入得，將代入