26 函數模型及其應用（1）教學目標：了解數學建模； 掌握根據已知條件建立函數關系式； 培養學生分析問題、解決問題的能力； 培養學生應用數學的意識。教學重點：根據已知條件建立函數關系式。教學難點：數學建模意識。教學過程：一、創設情景，引入新課問題1、某學生早上起床太晚，為避免遲到，不得不跑步到教室，但由于平時不注意鍛煉身體，結果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。如果用縱軸表示離教室的距離，橫軸表示出發后的時間，則下列四個圖象比較符合此人走法的是（ ）問題2、王老師今天從二中到金中上課，來的時候坐了出租車。我們知道金湖出租車的價格，凡上車起步價為2元，行程不超過2km者均按此價收費，行程超過2km，按1.5元/km收費。問：（1）二中到金中的路程是4公里，問王老師今天坐車用了多少錢？（2）二中到金中的路程是x公里，問王老師今天坐車將用多少錢？二、合作探究求解數學應用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：三、例題講解例1.在一定范圍內，某種產品的購買量為y t，與單價X元之間滿足一次函數關系。如果購買1000t，每噸為800元，如果購買2000t，每噸為700元，一客戶購買400t，單價應該為（ C ） A. 820 元 B. 840元 C. 860元 D. 880元例2 某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240請根據以上數據作出分析，這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤？分析：由表中信息可知銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40 桶銷售利潤怎樣計算較好？解：設在進價基礎上增加x元后，日均經營利潤為y元，則有日均銷售量為 而 （桶） 所以，當 時，y有最大值所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤。 ABCD0例3：如圖，有一塊半徑為的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形的形狀，它的下底是的直徑，上底的端點在圓周上。問：腰為多少時，梯形周長最大？解:設腰長AD=BC=x,周長為y四、鞏固練習1、某計算機集團公司生產某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元。則：（1）總成本C（萬元）關于總產量x（臺）的函數關系式為 （2）單位成本P（萬元）關于總產量x（臺）的函數關系式為 （3）銷售收入R（萬元）關于總產量x（臺）的函數關系式為 （4）利潤L（萬元）關于總產量x（臺）的函數關系式為 2、 某車站有快、慢兩種車，始發站距終點站7.2km，慢車到終點站需16min，快車比慢車晚發車3min，且行駛10min到達終點站。試寫出兩車所行路程關于慢車行駛時間的函數關系式。并回答：兩車何時相遇？相遇時距始發站多遠？3、用一條長為米的鋼絲折成一個矩形，該矩形長為多少時，面積最大？五、小結與作業1.解題四步驟：設、列、解、答.2.解題過程：從問題出發，引進數學符號，建立函數關系式，再研究函數關系式的定義域，并結合問題的實際意義做出回答. 即建立數學模型，并推理演算求出數學模型的解，再結合實際做出回答.作業：p88 3、426函數模型及其應用突破思路本節內容主要是運用所學的函數知識去解決實際問題，要求學生掌握函數應用的基本方法和步驟函數的應用問題是高考中的熱點內容，必須下功夫練好基本功本節涉及的函數模型有：一次函數、二次函數、分段函數及較簡單的指數函數和對數函數其中，最重要的是二次函數模型合作討論1解決函數應用題的基本步驟和流程圖是什么？我的思路：解決函數應用題的流程圖是：解決函數應用題的基本步驟是：第一步：認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題實際背景，然后進行科學的抽象、概括，將實際問題轉化成實際問題，即實際問題數學化第二步：運用所學的數學知識和數學方法解答函數問題，得出函數問題的解第三步：將所得函數問題的解代入實際問題進行驗證，看是否符合實際，并對實際問題作答2解決函數應用題的關鍵點和難點是什么？我的思路：解決函數應用題的關鍵有兩點：一是實際問題數學化，即在理解的基礎上，通過列表、畫圖，引入變量，建立直角坐標系等手段把實際問題翻譯成數學問題，把文字語言翻譯成數學符號語言二是對得到的函數模型進行解答，得出數學問題的解，要注重數學能力的培養思維過程解決函數應用題關鍵在于理解題意，提高學生的閱讀能力一方面要加強對常見函數模型的理解，弄清其產生的實際背景，把數學問題生活化另一方面，要不斷拓寬學生的知識面，提高其間接的生活閱歷，如經常介紹一些諸如物價、行程、產值、利潤、環保等實際問題，也可以涉及角度、面積、體積、造價等最優化問題，逐步滲透、細水長流，培養學生實際問題數學化的意識和能力新題解答【例1】某地方政府為保護地方電子工業發展，決定對某一進口電子產品征收附加稅已知這種電子產品國內市場零售價為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時，則每年銷售量將減少t萬件（1）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數；（2）若在該項經營中每年征收附加稅金不低于600萬元，那么附加稅率應控制在什么范圍？解析：（1）設每年銷售是x萬件，則每年銷售收入為250x萬元，征收附加稅金為y250xt依題意，x40t所求的函數關系式為y250（40t）t（2）依題意，250（40t）t600，即t225t1500，10t15即稅率應控制在1015之間為宜【例2】一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社在一個月（以30天計算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進報紙的份數都相同，問應該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？解析：本題所給條件較多，數量關系比較復雜，可以列表分析：設每天從報社買進x份（250x400）數量（份）價格（元）金額（元）買進300.206x賣出20x102500.306x750退回10（x250）0.080.8x200則每月獲利潤y（6x750）（0.8x200）6x0.8x550（250x400）y在x250，400上是一次函數x400元時，y取得最大值870元答：每天從報社買進400份時，每月獲的利潤最大，最大利潤為870元點評：1信息量大是數學應用題的一大特點，當所給條件錯綜復雜，一時難以理清關系時，可采用列表分析的方法，有些典型應用題也可以畫出相應的圖形，建立坐標系等2自變量x的取值范圍250，400是由問題的實際意義決定的，建立函數關系式時應注意挖掘變式練習1商店某種貨物的進價下降了8，但銷售價沒變，于是這種貨物的銷售利潤由原來的r增加到（r10），那么r的值等于（）A12B15C25D50解析：銷售利潤100設銷售價為y，進價為x，則解之得r15答案：B2如下圖所示，點在邊長為1的正方形的邊上運動，設M是CD邊的中點，則當點沿著ABCM運動時，以點經過的路程x為自變量，三角形APM的面積函數的圖象形狀大致是（）解析：本題主要考查求分段函數的解析式，如圖所示，當0x1時，yx1x；當1x2時，y1（x1）（2x）x；當2x2.5時，y（x）1x則y圖形為A答案：A3按復利計算利率的儲蓄，銀行整存一年，年息8，零存每月利息2，現把2萬元存入銀行3年半，取出后本利和應為人民幣（）A2（18）3.5萬元B2（18）3（12）6萬元C2（18）3225萬元D2（18）32（18）3（12）6萬元解析：3年半本利和的計算問題，應轉為3年按年息8計算，而半年按6個月（月息2）計算，又由于是復利問題，故只有選B答案：B4某學生離家去學校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發后的時間，則下列四個圖形中較符合該生走法的是（）解析：由于d0表示學生的家與學校的距離，因而首先排除A、C選項，又因為圖中線段的斜率的絕對值表示前進速度的大小，因而排除B，故只能選擇D答案：D5容器中有濃度為m的溶液a升，現從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行了10次后溶液的濃度為（）AmBmCm Dm答案：B6某城市出租汽車統一價格，凡上車起步價為6元，行程不超過2km者均按此價收費，行程超過2km，按1.8元/km收費，另外，遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍按6分鐘折算1km計算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費17元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（）A57kmB911kmC79kmD35km答案：A7某工廠生產兩種成本不同的產品，由于市場銷售發生變化，A產品連續兩次提價20，B產品連續兩次降價20，結果都以23.04元出售，此時廠家同時出售A、B產品各一件，盈虧情況為（）A不虧不賺B虧5.92元C賺5.92元 D賺28.96元答案：B8某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質20，要使水中雜質減少到原來的5以下，則至少需要過濾的次數為（）（參考數據lg20.3010，lg30.4771）A5 B10C14D15答案：C9有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為_m2（圍墻厚度不計）解析：設矩形寬為xm，則矩形長為（2004x）m，則矩形面積為Sx（2004x）4（x25）22500（0x50），x25時，S有最大值2500m2答案：250010將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個若每個銷售漲價一元，則日銷售量減少10個為獲得最大利潤，則此商品當日銷售價應定為每個_元解析：設每個漲價x元，則實際銷售價為（10x）元，銷售的個數為（10010x），則利潤為y（10x）（10010x）8（10010x）10（x4）2360（0x10）因此x4，即售價定為每個14元時，利潤最大答案：1411在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的結果的誤差，使得幾次測量分別得到a1，a2，an，共n個數據，我們規定所測量的物理量“最佳近似值”a是這樣一個量，與其他近似值比較，a與各個數據的差的平方和最小，依此規定，以a1，a2，an推出的a_解析：設a與各數據的差的平方和為y，則y（aa1）2（aa2）2（aan）2na22a（a1a2an）（a12an2an2），因此a時，y取得最小值答案：a12有一質量均勻的杠桿的支點在它的一端，而距支點1m處掛一個490kg的物體，同時加力于杠桿的另一端，使杠桿保持水平，若杠桿本身每米重5kg，則最省力的桿長為_。解析：如圖所示，設桿長為xm，向上用力為F依杠桿原理易得49015xFx，則F70，當且僅當x，即x14m時，F的最小值為70kg答案：14m13在國內投寄平信，每封不超過20克重應付郵資80分，超過20克不超過40克重付郵資160分，將每封信應付郵資（分）表示為信重（0x40）克的函數，其表達式f（x）為_答案：14一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個旅行社同時發出邀請，且有各自的優惠政策甲旅行社承諾，如果父親買一張全票，則其家庭成員均可享受半價，乙旅行社承諾，家庭旅行算團體票，按原價的計算，這兩家旅行社的原價是一樣的，若家庭中孩子數不同，試分別列出兩家旅行社優惠政策實施后的孩子個數為變量的收費表達式，比較選擇哪家更優惠？解答：設兩家旅行社的原價為a（a0），家庭孩子個數為x（xN*），甲、乙兩家旅行收費分別為f（x）和g（x），則f（x）a（x1）xa（xN*），g（x）（x2）x（xN*），g（x）f（x），得xx，x1因此，當家庭只有1個孩子時，兩家隨便選擇，當孩子數多于1個時，應選擇甲旅行社15把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，tmin后物體的溫度可由公式（一）ekt確定，k是常數現有62的物體，放在15的空氣中冷卻，1min后物體的溫度是52求常數k的值并計算開始冷卻后多長時間物體的溫度是42？（精確到小數點后一位有效數字）解析：由題意知5215（6215）ek，ek0.7872兩邊取對數，得klgelg0.7872，k2.3030.10390.2393又（一）ekt，則lg（一）lg（）ktlge，則t將62，15代入上式得t，若42，則t2.3min答案：k0.2393，2.3min16依法納稅是每個公民應盡的義務，國家征收個人工資、薪金所得稅是分段計算的，總收入不超過800元，免征個人工資薪金所得稅；超過800元部分征稅，設全月納稅所得額為x，x全月總收入800元，稅率見下表：級數全月應納稅所得額x稅率1不超過500元部分52超過500元至2000元部分103超過2000元至5000元部分159超過元部分45（1）若應納稅額為f（x），試用分段函數表示13級納稅額f（x）的計算公式；（2）某人1999年3月份工資總收入3000元，試計算這個人3月份應納稅多少元？（3）某人2000年4月納稅265元，問該人這個月工資總額為多少元？答案：（1）f（x）（2）205；（3）340017甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度vkm/h的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？答案：（1）y（bv2a），0vc；（2）當c，v時，最小值為2s；當c，vc時，最小值為s（bc）18某商場在促銷期間規定：商場內所有商品按標價的80出售，同時當顧客在該商場內消費滿一定金額后，按以下方案獲得相應金額的獎券：消費金額的范圍200，400）400，500）500，700）700，900）獲得獎券的金額3060100130根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠，例如：購買標價400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優惠額為4000.230110元，設購買商品的優惠率試問：（1）若購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？（2）對于標價在500，800內的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可獲得不小于的優惠率？答案：（1）優惠率為33；（2）標價在625，750內的商品，購買時可獲得不小于的優惠率19某家庭今年一月份、二月份和三月份煤氣用量和支付費用如下表示：月份用氣量煤氣費一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元該市煤氣收費的方法是：煤氣費基本費超額費保險費，若每月用量不超過最低限度Am3，只付基本費3元和每家每月的定額保險C元，若用氣量超過Am3，則超過部分每m3付B元，又知保險費C不超過5元，根據上面的表格求A、B、C答案：A5，b0.5，C120經市場調查，某商品在近100天內，其銷售量和價格均為時間t的函數，且銷售量近似地滿足關系g（t）t，（tN，0t100），在前40天里價格為f（t）t22（tN，0t40），在后60天里價格為f（t）t52（tN，40t100），求這種商品的日銷售額的最大值解析：由題意知，當0t40，h（t）（t10.5）2；當40t100，h（t）（t106.5）2；t10或11時，這種商品的日銷售額的最大值為808.521為保護環境，實現城市綠化，某房地產公司要在拆遷地矩形ABCD（如下圖所示）上規劃出一塊矩形地面建造住宅區小公園POCR（公園的兩邊分別落在BC和CD上），但不能超過文物保護三角形AEF的紅線EF問如何設計才能使公園占地面積最大？并求出最大面積已知ABCD200m，BCAD160m，AE60m，AF40m解析：設POx，則S（x190）21902，0x200，即x190時，最大面積為24067m2答案：方案略最大面積24067m222國際上常用恩格爾系數（記作n）來衡量一個國家和地區人民生活水平的狀況，它的計算公式為：n100，各種類型家庭的n如下表所示：家庭類型貧困溫飽小康富裕最富裕nn6050n6040n5030n40n30根據某市城市家庭抽樣調查統計，1997年至2003年間，每戶家庭支出總額每年平均增加700元，其中食品消費支出總額每年平均增加100元（1）若1997年該市城區剛達到小康，且該年每戶家庭消費支出總額為9000元，問2002年能否達到富裕？（2）若2002年比1997年的消費支出總額增加35，而其中食品消費支出總額增加10，問哪一年能達到富裕？答案：（1）2002年剛好達到富裕；（2）至少到2003年才能達到富裕23某人從A地到B地乘坐出租車，有兩種方案，第一種方案：租用起步價10元，每km價為1.2元的汽車；第二種方案：租用起步價為8元，每km價為1.4元的汽車，按出租車管理條例，在起步價內，不同型號行駛的里程是相等的則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適答案：當A、B距離在起步價以內時，選擇第二種方案；當A、B距離在（a，a10）時，選擇第二種方案；當A、B距離恰好為a10時，選擇兩種方案均可以；當A、B距離大于a10時，選擇第一種方案（其中a為起步價內汽車行駛的里程）規律總結1在引入自變量建立目標函數解決函數應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合實際問題的要求2在實際問題向數學問題的轉化過程中，要充分使用數學語言，如引入字母，列表，畫圖，建立坐標系等，以使實際問題數學符號化3對于建立的各種數學模型，要能夠模型識別，充分利用數學方法加以解決，并能積累一定數量的典型的函數模型，這是順利解決實際問題的重要資本相關鏈接數學模型及其應用數學來源于實際又服務于實際，如何運用數學知識解決生活中的實際應用問題？這里的關鍵是“問題情景的數學化”即從所熟悉的生活、生產和其他學科的實際問題出發，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數學概念和規律，通過構造出一個對應的數學模型而使問題清晰化、具體化，找到有效的解題途徑構建數學模型，使實際生活問題抽象為數學問題逐步把數學知識用到生產、生活的實際中，形成應用數學的意識，培養分析問題和解決問題的能力1數學應用題大致可以分為以下四種不同的類型：（1）直接套用現成的公式；（2）利用現成的數學模型對應用題進行定量分析；（3）對于已經經過提煉加工，忽略了次要因素，保留下來的諸因素之間數量關系比較清楚的實際問題，建立數學模型；（4）對原始的實際問題進行分析加工，建立數學模型2解應用題的策略：一般思路可表示如下：因此，解決應用題的一般程序是：審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；解模：求解數學模型，得出數學結論；還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義請你解決：某縣19952000年縣財政收入情況如下表所示：（表中第1年即1995年，其他依此類推）1234562.593.053.804.896.688.50（1）請建立一個數學模型，預測該縣以后幾年的財政收入情況（2）計算該縣財政收入的平均年增長率由（1）、（2）分別預測2001年該縣財政收入，并討論哪種預測結果更有可行性，假如你是該縣縣長，將會采用哪種模型？知識歸納學力測評基礎鞏固一、選擇題1函數y的定義域是（）Ax|x0Bx|x0Cx|x0且x1Dx|xR且x0答案：C2下列各組中，f（x）與g（x）是同一函數的是（）Af（x）x，g（x）（）2Bf（x）lg|x|，g（x）lgx2Cf（x）1，g（x）x0Df（x）|x|，g（x）答案：B3（log89）（log23）等于（）AB1CD2答案：A4如下圖所示，當a1時，在同一個坐標系內，函數yax與ylogax的圖象可能是（）答案：A5若函數yf（x）（xR）為奇函數，則它的圖象必經過點（）A（a，f（a） B（a，f（a）C（a，f（a1） D（a，f（a）答案：D6下列不等式中正確的是（）Alog3loglogBlog3loglogCloglog3logDlogloglog3答案：A二、填空題7若函數f（x）（a24）x在定義域內是減函數，則a的取值范圍是_答案：2|a|8如下圖所示，M、N、P、Q分別為冪函