.,1,數系的發展,.,2,數，是數學中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標志著數學的巨大飛躍。一個時代人們對于數的認識與應用，以及數系理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。今天，我們所應用的數系，已經構造的非常完備和縝密，以致于在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。,.,3,自然數的出現,人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大不相同。,.,4,十進制,除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進制法。在長期實際生活的應用中，十進制最終占了上風。,.,5,現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。,阿拉伯數字,.,6,自然數是“數”出來的，其歷史可以追溯到50000年以前。,隨著人類認識的發展，自然數系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數系是一個離散的、而不是稠密的數系，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。用數學語言叫做運算不封閉。這些缺陷，由于分數和負數的出現而得以彌補。,.,7,分數,隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。,分數是“分”出來的！,.,8,有理數,隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。,.,9,數的新紀元,2500年前的希臘，那里有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為數是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使數不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x，根據勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后認定這是一個從未見過的新數。,.,10,無理數,這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他后來被扔進大海喂了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們后來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率就是最重要的一個。人們把它們寫成、等形式，稱它們為無理數。,無理數是“推”出來的！,.,11,大事記,“無理數”的承認（公元前4世紀）是數學發展史上的一次里程碑。,.,12,實數系統,整數與負數有理數與無理數都是具有“實際意義的量”稱之為“實數”，構成實數系統。實數系統是一個沒有縫隙的連續系統，任何一條線段的長度都是一個實數。,.,13,復數,有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什么新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數學家們就規定用符號i表示-1的平方根，即i，虛數就這樣誕生了。i成了虛數的單位。,.,14,復數,后人將實數和虛數結合起來，寫成abi的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不虛了。,復數是“算”出來的！,.,15,超實數超限數聯系數,復數之后,.,16,最新進展,數的概念發展到虛數和復數以后，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了四元數的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個標量（實數）和一個向量（其中x、y、z為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對多元數理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。,.,17,最新進展,由于科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。,.,18,數系擴充,逆運算在數系的擴充中扮演著極為重要的角色。逆運算的運算法