傳染病模型,傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節中，我們將主要用多房室系統的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應的多房室模型。,醫生們發現，在一個民族或地區，當某種傳染病流傳時，波及到的總人數大體上保持為一個常數。即既非所有人都會得病也非毫無規律，兩次流行（同種疾病）的波及人數不會相差太大。如何解釋這一現象呢？試用建模方法來加以證明。,問題的提出：,設某地區共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數為i(t)，假定每一已感染者在單位時間內將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復,模型1,此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。,已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區分，來建立兩房室系統。,模型2,記t時刻的病人數與易感染人數（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數為i。根據病人不死也不會康復的假設及（競爭項）統計籌算律，,其中：,統計結果顯示，(3.17)預報結果比(3.15)更接近實際情況。醫學上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時刻t1為此傳染病的流行高峰。,模型2仍有不足之處，它無法解釋醫生們發現的現象，且當時間趨與無窮時，模型預測最終所有人都得病，與實際情況不符。,為了使模型更精確，有必要再將人群細分，建立多房室系統,（3.18）,求解過程如下：,對（3）式求導，由（1）、（2）得：,解得：,將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復者（recovered）。分別記t時刻的三類人數為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：,模型3,由(1)式可得：,從而解得：,為揭示產生上述現象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：,其中通常是一個與疾病種類有關的較大的常數。,下面對進行討論，請參見右圖,如果，則開始時，i(t)單增。但在i(t)增加的同時，伴隨地有s(t)單減。當s(t)減少到小于等于時，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區消失。,鑒于在本模型中的作用，被醫生們稱為此疾病在該地區的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區的所有人。,圖3-14,綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：,（1）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數與超過閥值時，疾病才會流傳起來。,（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。,（3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。,模型檢驗：,醫療機構一般依據r(t)來統計疾病的波及人數，從廣義上理解，r(t)為t時刻已就醫而被隔離的人數，是康復還是死亡對模型并無影響。,及：,注意到：,通常情況下，傳染病波及的人數占總人數的百分比不會太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：,代入（3.20）得近似方程：,積分得：,其中：,這里雙曲正切函數：,而：,圖3-14（a）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫療單位每天實際登錄數進行比較擬合得最優