.,積分變換,第一章付里葉變換,第二章拉普拉斯變換,1.1付氏積分,1.2付氏變換,1.3付氏變換的公式和性質,1.4卷積與相關函數,2.1拉普拉斯變換的概念,2.2拉氏變換的基本公式和性質,2.3拉氏逆變換,2.4拉氏變換的應用,.,(一)付氏級數,稱實系數R上的實值函數f（t）在閉區間a,b,上滿足狄利克萊（DirichLet）條件，如果它滿足條件：,在a,b上或者連續，或者只有有限個第一類間斷點；,f（t）在a,b上只有有限個極值點。,1.1付氏積分,第一章付里葉變換,.,從T為周期的周期函數fT(t)，如果在上滿足狄利克雷條件，那么在上fT(t)可以展成付氏級數，在fT(t)的連續點處，級數的三角形成為,其中稱為頻率，頻率對應的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，n稱為fT(t)的n次諧波頻率。,.,(二)付氏級數的復指數形式,在fT(t)的間斷點t0處，式(1.1.1)的左端代之為,.,付氏積分定理若f(t)在(-，+)上滿足下列條件：,注非周期函數滿足付氏積分定理的條件1，才能保證函數在任意有限區間上能展為付氏級數。滿足付氏積分定理的第2條,才能保證存在。,.,1.2付氏變換,.,例1求矩形脈沖函數的付氏變換及其積分表達式。,.,.,t,.,.,(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個公式,.,2.2單位脈沖函數及其傅氏變換,在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈沖函數.因為有許多物理現象具有脈沖性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產生的電流;在力學中,要研究機械系統受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈沖函數.,.,在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖,現在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數,則,當t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續的,從而在普通導數意義下,q(t)在這一點是不能求導數的.,.,如果我們形式地計算這個導數,則得,這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數,簡單記成d-函數:,有了這種函數,對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續分布的量那樣,以統一的方式加以解決.,.,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數稱為單位脈沖函數。,.,可將d-函數用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數的積分值,稱為d-函數的強度.,d-函數有性質：,可見d-函數和任何連續函數的乘積在實軸上的積分都有明確意義。,.,(三)函數及其付氏變換,1.函數的定義,(1)(狄拉克)滿足一列兩個條件的函數稱為函數。,.,d-函數的傅氏變換為:,于是d(t)與常數1構成了一傅氏變換對.,證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得,例1證明：1和2pd(w)構成傅氏變換對.,證法1：,.,3.函數在積分變換中的作用,(1)有了函數，對于點源和脈沖量的研究就能夠象處理連續分布的量那樣，以統一的方式來對待。(2)盡管函數本身沒有普通意義下的函數值，但它與任何一個無窮次可做的函數的乘積在(-,+)上的積分都有確定的值。(3)函數的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數，如常函數、符號函數、單位階躍函數、正弦函數、余弦函數等是不滿足付氏積分定理中的絕對可積條件的(即不存在)，這些函數的廣義付氏變換都可以利用函數而得到。,.,由上面兩個函數的變換可得,.,這種頻譜圖稱為離散頻譜，也稱為線狀頻譜,(四)付氏變換的物理意義頻譜,1.非正弦的周期函數的頻譜,.,例4求正弦函數f(t)=sinw0t的傅氏變換。,.,(一)常用函數付里葉變換公式,1.3付氏變換的公式和性質,.,例5證明：,證：,.,.,(三)付氏變換的性質,1線性性質。,2位移性質,該性質在無線電技術中也稱為時移性質。,.,3對稱性質,4相似性質,.,5象函數的位移性質,象函數的位移性質在無線電技術中也稱為頻移性質。,6.翻轉性質,.,7.微分性質,若f在上連續或只有有限個可去間斷點,且當時，則,推論若（k=1,2,n）在上連續或只有有限個可去間斷點，且=0，k=0,1,2,(n-1),則有,.,8.象函數的微分性質,若，則,一般地，有,若當時，=,則,如果，則,9.積分性質,其中,.,10.象函數的積分性質,若，則,11.乘積定理,若，則,其中，均為t的實函數，、分別為、的共軛函數。,.,12.能量積分,若，則,該等式又稱為巴塞瓦等式。,13.卷積定理,設，滿足付氏積分定理中的條件，且，則,.,1.4卷積與相關函數,二、卷積的性質,.,.,(二)積分變換的運用,例求微分積分方程,.,運用微分性質及積分性質,.,求解方程,.,由微分性質，有,.,.,求下面方程的解,其中t+,a,b,c均為常數.,.,根據傅氏變換的微分性質和積分性質,且記Fx(t)=X(w),Fh(t)=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得,.,.,第二章拉普拉斯變換,2.1拉普拉斯變換的概念,一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義,稱為的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）或象函數，記為，即,又稱為的拉普拉斯逆變換（簡稱為拉氏逆變換）或象原函數，記即,.,二、拉氏變換的存在定理,拉氏變換存在定理設函數f(t)滿足下列條件：,.,關于拉氏變換存在定理，做如下的幾點說明：(1)從物理應用觀點來看，條件2、3都是容易滿足的。實用上所考察的物理過程，往往是用時間函數來描述的，并且是從某一時刻開始，因此可以選這時刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如sint，若要對它進行拉氏變換則應把它理解為sintu(t)。,(2)工程技術中所遇到的函數大部分是存在拉氏變換的。,(3)如果f(t)為指數級函數，則其增長指數不唯一。,.,三、關于拉氏變換的積分下限問題,.,2.2拉氏變換的基本公式和性質,一、常用函數的拉氏變換公式,當m為正整數時，有,注函數具有如下的遞推公式,.,當m是正整數時，,(9)設是0，+)上的周期為T的函數，即,則的拉氏變換為,.,二、拉氏變換的性質,設則有,(1)線性性質（設、為常數）,（2）位移性質（設a為常數）,（3）延遲性質,若t0時，則對任一非負實數有,亦可寫為,.,注中的意味著（當時）,只有此式成立時才能使用延遲性質，這一點容易被忽略，因而造成錯誤，為了避免出現這種錯誤。故將延遲性質寫為(2.2.16)式的形式。,(4)微分性質,特別地，當初值時，有,.,(5)積分性質,推論,(6)象函數微分性質,一般地，有,(7)象函數積分性質,若積分收斂，則,一般地，有,.,注由象函數的積分性質得即,(8)卷積定理,注付氏變換中的卷積定理包含兩個公式，而拉氏變換中卷積定理只含一個公式。,.,(9)初值定理,若存在，則,(10)終值定理,若的所有奇點全在s平面的左半部