2.4如何利用導數處理參數范圍問題一、考情分析導數是研究函數圖象和性質的重要工具,有關導數問題是每年高考的必考試題之一,且相當一部分是高考數學試卷的壓軸題.其中以函數為載體,以導數為工具,考查函數性質及應用的試題,已成為最近幾年高考中函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向.隨著高考對導數考查的不斷深入,運用導數確定含參數函數中的參數取值范圍成為一類常見的探索性問題,由于含參數的導數問題在解答時往往需要對參數進行討論,因而它也是絕大多數考生答題的難點,具體表現在：他們不知何時開始討論、怎樣去討論.對這一問題不僅高中數學教材沒有介紹過,而且在眾多的教輔資料中也很少有系統介紹,本文通過一些實例介紹這類問題相應的解法,期望對考生的備考有所幫助.二、經驗分享(1)研究含參數的函數的單調性,要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論(2)劃分函數的單調區間時,要在函數定義域內討論,還要確定導數為0的點和函數的間斷點(3)函數在某個區間存在單調區間可轉化為不等式有解問題(4)求函數f(x)極值的步驟確定函數的定義域；求導數f(x)；解方程f(x)0,求出函數定義域內的所有根；列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值(5)若函數yf(x)在區間(a,b)內有極值,那么yf(x)在(a,b)內絕不是單調函數,即在某區間上單調函數沒有極值(6)求一個函數在閉區間上的最值和在無窮區間(或開區間)上的最值時,方法是不同的求函數在無窮區間(或開區間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調性,并通過單調性和極值情況,畫出函數的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數的最值利用導數研究方程的根(函數的零點)的策略三、知識拓展(1)個別導數為0的點不影響所在區間的單調性,如f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0在x0時取到),f(x)在R上是增函數(2)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a,b)上單調,則區間(a,b)是相應單調區間的子集(3) f(x)為增函數的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內的任一非空子區間上f(x)不恒為零,應注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解(4)研究方程的根或曲線的交點個數問題,可構造函數,轉化為研究函數的零點個數問題可利用導數研究函數的極值、最值、單調性、變化趨勢等,從而畫出函數的大致圖象,然后根據圖象判斷函數的零點個數四、題型分析(一) 與函數單調性有關的類型用導數研究函數的單調性,這是導數最為基本的運用,相關結論是：若函數在區間上可導,則在區間上遞增；遞減.根據函數單調性求參數（函數中含參數或區間中含參數）的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解）,一般步驟是：首先求出后,若能因式分解則先因式分解,討論=0兩根的大小判斷函數的單調性,若不能因式分解可利用函數單調性的充要條件轉化為恒成立問題.【例1】已知函數f(x)exlnxaex(aR),若f(x)在(0,)上是單調函數,求實數a的取值范圍【分析】利用導數判斷函數的單調性,先確定在此區間上是單調增還是單調減函數若 f(x)為單調遞減函數,則f(x)0,若f(x)為單調遞增函數,則f(x)0,然后分離參數a,轉化為函數求最值.故g(x)在(0,1)上為單調遞減函數,在1,)上為單調遞增函數,此時g(x)的最小值為g(x)1,但g(x)無最大值(且無趨近值)故f(x)不可能是單調遞減函數若f(x)為單調遞增函數,則f(x)0,在x0時恒成立,即alnx0,在x0時恒成立,所以alnx,在x0時恒成立,由上述推理可知此時a1.故實數a的取值范圍是(,1【點評】已知函數單調性,求參數范圍的兩個方法(1)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a,b)上單調,則區間(a,b)是相應單調區間的子集(2)轉化為不等式的恒成立問題：即“若函數單調遞增,則f(x)0；若函數單調遞減,則f(x)0”來求解【小試牛刀】【2018屆廣東深圳上學期期中】若函數在區間內單調遞增,則a的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】B (二) 與不等式有關的類型以導數作為工具,以含有參數的不等式作為載體在知識交匯處命題已成為如今各地聯考和高考命題的熱點之一,在利用不等式恒成立求參數取值范圍時,常利用以下結論：若值域為,則不等式恒成立；不等式有解；若值域為,則不等式恒成立；若值域為則不等式恒成立.【例2】已知函數（）判斷函數的單調區間；（）若對任意的,都有,求實數的最小值.【分析】（）先求導可得,因為分母,可直接討論分子的正負即可得導數的正負,根據導數大于0可得其單調增區間,導數小于0可得其單調減區間.（）可將轉化為,設函數,即轉化為對任意的, 恒成立,即函數的最大值小于0.先求函數的導數,討論其正負得函數的單調區間,根據單調性求其最值,根據函數的最大值小于0即可求得的范圍.【解析】() , 設,不妨令,則,當時,為增函數；當時,為減函數.所以,即,所以在時,所以在區間上為減函數. 當,在時,所以在為增函數,所以,不符合題意；當時,在時,所以在為減函數,所以,即在上成立,符合題意；綜上,實數的最小值為.【點評】本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值與最值、恒成立問題等數學知識,考查綜合分析問題解決問題的能力和計算能力,考查函數思想和分類討論思想.利用“要使成立,只需使函數的最小值恒成立即可；要使成立,只需使函數的最大值恒成立即可”.在此類問題中分類討論往往是一個難點,這需要經過平時不斷的訓練和結累方可達到的.【小試牛刀】【2018屆甘肅高臺縣高三上學期第五次模擬】已知函數,若對任意, 恒成立,則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函數對任意, 恒成立,恒成立,即x恒成立；設,xR；在同一坐標系內畫出兩個函數的圖象,如圖所示；則滿足不等式恒成立的是h(x)的圖象在g(x)圖象下方,求的導數,且過圖象上點的切線方程為,且該切線方程過原點(0,0),則,即,解得；切線斜率為,應滿足a1e,即a1e；又a10,a1,實數a的取值范圍是(1e, 1.故選B.(三) 與極值有關的類型極值這個概念在高中數學中可以說是一個與導數緊密相連的概念,基本上只要提到極值或極值點就會想到導數,極值點個數的判定,一般是轉化為使方程根的個數,一般情況下導函數若可以化成二次函數,我們可以利用判別式研究,若不是,我們可以借助圖形研究.在完成此類題目時一定要注意極值與最值的區別,它們有本質的不同：極值是一個局部的概念,而最值是一個整體的概念.【例3】【2017湖北荊州高三上學期第一次質量檢測】已知函數,為自然對數的底數.（1）當時,試求的單調區間；（2）若函數在上有三個不同的極值點,求實數的取值范圍.【分析】(1)借助題設條件運用導數求解；(2)依據題設進行轉化,構造函數運用導數知識探求.（2）由條件可知,在上有三個不同的根,即在上有兩個不同的根,且,令,則,當單調遞增,單調遞減,的最大值為,而.【點評】導數是研究函數的單調性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以函數解析式為背景,精心設置了兩個問題,旨在考查導數知識與函數單調性和極值的關系等方面的綜合運用以及分析問題解決問題的能力.本題的第一問是求函數的單調區間,求解時運用求導法則借助的范圍及導數與函數的單調性的關系,分別求出求出其單調區間；第二問則通過構造函數,運用求導法則及轉化化歸思想,分析推證建立不等式,從而求出,使得問題獲解.【小試牛刀】【2018屆江西省南昌上學期第三次月考】若函數存在唯一的極值點,且此極值小于0,則實數的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,x0,f（x）=a（x1）ex+1=（x1）（aex）,由f（x）=0得到x=1或aex（*）由于f（x）僅有一個極值點,關于x的方程（*）必無解,當a=0時,（*）無解,符合題意,當a0時,由（*）得,a=,a由于這兩種情況都有,當0x1時,f（x）0,于是f（x）為增函數,當x1時,f（x）0,于是f（x）為減函數,x=1為f（x）的極值點,f（1）=ae-10,又a,綜上可得a的取值范圍是故選D(四) 與方程有關的類型在現在高中數學命題中常出現有關參數的方程問題、根的分布問題,有時甚至出現在一些高考試題的壓軸題中.完成此類問題正確的轉化是解題最為關鍵的地方,基礎較差的學生可能出現復雜問題簡單化的現象（當然是錯誤的理解而已）,這種題型往往能很好的考查學生運用所學知識解決新問題的能力,這也正是它的魅力所在.【例4】【2015河北省“五個一名校聯盟” 高三教學質量監測】已知函數（）.（）若函數在定義域內單調遞增,求實數的取值范圍；（）若,且關于的方程在上恰有兩個不等的實根,求實數的取值范圍.【分析】（）求出的定義域及導函數,由函數在定義域內單調遞增知,0在定義域內恒成立,通過參變分離化為在定義域內恒成立,求出的最小值,即即為的取值范圍；（）先將關于的方程在1,4上恰有兩個不等實根轉化為方程 =在1,4上恰有兩個不等實根,即函數y=（x1,4）圖像與y=b恰有兩個不同的交點,利用導數通過研究函數y=（x1,4）的單調性、極值、最值及圖像,結合y=（x1,4）的圖像,找出y=（x1,4）與y=b恰有兩個交點時b的取值范圍,即為所求【解析】（）函數的定義域為,依題意在時恒成立,則在時恒成立,即,當時,取最小值-1,所以的取值范圍是 【點評】本題考查了常見函數的導數、導數的運算法則、導數函數單調性關系、導數的綜合應用和利用導數證明不等式,考查了學生的轉化能力和運算求解能力.在某一區間內有關方程根的分布情況,所涉及方程往往有兩類：一類為一元二次方程,它可充分利用三個二次的關系進行處理問題；另一類為非一元二次方程,此時一般要構造新的方程或函數進行研究,運用導數作為工具,數形結合處理此類問題.【小試牛刀】 【2017河北石家莊第一次質檢】若存在正實數,使得關于的方程有兩個不同的根,其中為自然對數的底數,則實數的取值范圍是 （ ）A B C. D【答案】D【解析】當時,方程只有一個解,不滿足題意,所以,所以原方程等價于方程有兩解令,則設,則,當時,當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以,且當時,當時,所以要使存在兩解,則需,所以且,即,所以的取值范圍為,故選D五、遷移運用1【2018屆四川省成都市第七中學高三上學期半期考】已知,若關于的方程恰好有4個不相等的實數解,則實數的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】C【解析】,當時, , ,當時,即在內為增函數,當時, ,即在內為減函數,當時, ,即在內為減函數作出,函數的圖象如圖所示：函數在內有個最大值,設,當時,方程有1個解當時,方程有2個解,當時,方程有3個解,當時,方程有1個解,當時,方程有0個解,則方程等價為方程有兩個不同的根, ,當時,方程有1個解,要使方程恰好有4個不相等的實數解,則,故選C.2.【2018屆廣東省五校高三12月聯考】已知函數,若有且只有兩個整數, 使得,且,則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意可知, ,即, ,設,由,可知,在上為減函數,在上為增函數, 的圖象恒過點,在同一坐標系中作出的圖象如下：若有且只有兩個整數,使得,且,則,即,解得,故選C.3.【2018屆陜西省西安中學高三上學期期中】已知函數,若對于任意的,都有成立,則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A4.【2018屆陜西省西安高三上學期期中】若函數在單調遞增,則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數的導數為由題意可得恒成立,即為即有 設,即有由題意可得 ,且,解得的范圍是,故選D.5. 【2018屆天津市耀華中學2018屆高三上學期第二次月考】若函數在區間上有最小值,則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題 ,令解得；令解得由此得函數在 上是減函數,在 上是增函數,故函數在處取到極小值-2,判斷知此極小值必是區間（上的最小值 解得 又當 時, ,故有,綜上知,故選C.6.【2017湖北荊州高三上學期第一次質量檢測】若函數在區間上單調遞減,則實數的取值范圍是（ ）A B C. D【答案】C【解析】因,故由題設在上恒成立,故,即.故應選C.7.【2017江蘇徐州豐縣民族中學第二次月考】已知函數,當時,的取值范圍為,則實數的取值范圍是 【答案】【解析】因,故當時,函數單調遞減；當時,函數單調遞增,故,故由可得.畫出函數的圖象如圖,結合圖象可知:當時, 函數的取值范圍為,故應填答案.8.【2017江西撫州七校聯考】已知函數的圖像上存在不同的兩點,使得曲線在這兩點處的切線重合,則實數的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C 【解析】時,；時,.設且,當或時,故,當時,函數在點處的切線方程為,即當時,函數在點處的切線方程為,即,兩切線重合的充要條件是,且,消去得：,令,則,構造函數,所以在單調遞減,在單調遞增,又所以,所以在單調遞減,所以,即,故選C.9.【2017遼寧盤錦市高中2017屆11月月考】設函數（）,若不等式有解,則實數的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解析】,令,故當時,當時,故在上是減函數,在上是增函數；故；故選：A10.【山西臨汾一中等五校2017屆高三第三聯考,12】設函數,若不等式在上有解,則實數的最小值為（ ）A B C D【答案】C11.【四川自貢普高2017屆一診,12】設函數,其中,若有且只有一個整數使得,則的取值范圍是（ ）A B C. D【答案】D【解析】設,則,單調遞減；,單調遞增,所以處取得最小值,所以,直線恒過定點且斜率為,所以,而,的取值范圍12.已知,若,使得成立,則實數a的取值范圍是_【答案】13.若關于的不等式在（0,+）上恒成立,則實數的取值范圍是 【答案】【解析】函數在（0,+）大于零不恒成立,所以有,在（0,+）上恒成立不等式恒成立可得,;不等式即在（0,+）恒成立,用導數法可求函數的最小值,所以綜合得,另當,時,解得因此實數的取值范圍是14.【2017重慶八中二調】已知函數（1）討論的單調性；（2）若,對于任意,都有恒成立,求的取值范圍【答案】（1）若,則在上單調遞增,在單調遞減,若,則在上單調遞增,若,則在上單調遞增,在單調遞減；（2）.【解析】（1）、若,則在上單調遞增,在單調遞減；、若,則在上單調遞增；、若,則在上單調遞增,在單調遞減；（2） 由（1）知,當時,在上單調遞增,在單調遞減,所以,故,恒成立,即恒成立即恒成立,令,易知在其定義域上有最大值,所以.15.【2017山西省運城高三上學期期中】已知函數,且（1）求的值；（2）若對于任意,都有,求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）對求導,得,所