數(shù)學(xué)建模之淋雨模型 姓名：劉俊輝班級(jí)：自動(dòng)化083班學(xué)號(hào)：200880874325 附錄（關(guān)鍵字）：?jiǎn)栴}重述-3問(wèn)題分析-4模型假設(shè)-4模型建立-46模型求解-78模型結(jié)果分析-78問(wèn)題：要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量就越少。 將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，搞a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m。設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s,雨速u(mài)=4m/s，降雨量w=2cm/h,記得跑步速度為v，按以下步驟進(jìn)行討論：（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。 （2）雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為x，如圖一，建立總淋雨量與速度v以及參數(shù)a、b、c、d、u、w、x之間關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算x=0，x=30時(shí)的總淋雨量（3）雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為y,如圖2，建立總淋雨量與速度v以及參數(shù)a、d、c、d、u、w、y之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算y=30時(shí)的總淋雨量。 (4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）進(jìn)行作圖，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化。解：?jiǎn)栴}分析：在我們的日常生活中，下雨天氣是不可避免的，當(dāng)我們遇到此類的天氣且身上沒(méi)有攜帶避雨的雨具時(shí)，是否快跑就會(huì)減少身上的淋雨量呢？就此問(wèn)題我們做一個(gè)模型假設(shè)查探我們的問(wèn)題。模型假設(shè)：將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m,寬b=0.5m.厚c=0.2m；設(shè)跑步的距離為1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u(mài)=4m/s，降雨量w=2cm/h模型建立：模型一:（1）題中所述不考慮雨的方向，假設(shè)降雨淋遍全身，此時(shí)的雨速也是均勻下落，由假設(shè)人體為長(zhǎng)方體可知，該人體的表面積s=2ab+2ac+bc，因?yàn)榕懿骄嚯xd=1000m，所以該人在雨中的淋雨時(shí)間t=d/vm，在該時(shí)間內(nèi)的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s所以，總淋雨量Q=s*t*w模型二：（2）1當(dāng)雨迎面吹來(lái)時(shí)該人只有頭頂和迎面淋雨，設(shè)頭頂部淋雨量為Q1，由圖一可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時(shí)間t1=d/v，淋雨量（降雨方向與雨速方向應(yīng)在一條線上）為w*cosx,由此可知淋雨總量Q1=s1*t1*w*cosx2由圖一可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*sinx（方向與v相反），設(shè)定參照物后水平方向上的合成速度為u*sinx+v,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時(shí)間t2=d/v,淋雨量為w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相對(duì)雨速的淋雨量)，迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u由此可以得到該人在單位時(shí)間和單位面積內(nèi)的總淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cosx)/(18*v)+0.075*(4sinx+v)/(18*v)模型三：(3)當(dāng)雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向一致時(shí)，設(shè)定參照物后人參考速度|u*siny-v|，當(dāng)u*siny-v0時(shí)，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此時(shí)在水平方向上的合成速度是v-u*siny，此時(shí)的人的淋雨總量可分為兩部分：頭頂部分Q3和背面部分Q4,；1頭頂部淋雨量為Q3，由圖二可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時(shí)間t3=d/v，淋雨量（降雨方向與雨速方向應(yīng)在一條線上）為w*cosx,由此可知該人在單位時(shí)間和單位面積內(nèi)的淋雨總量Q3= s1*t1*w*cosx2由圖二可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*sinx（方向與v相反），設(shè)定參照物后人的參考速度為v-u*siny,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時(shí)間t2=d/v,降雨量w=w*（v/u）-wsiny，所以該人在單位時(shí)間和面積內(nèi)的總的淋雨量Q4= s2*t2*w*(v-u*siny)/u=abdw(v-u*siny)/uv=0.0010461(1-siny/v)所以降雨總量Q=Q3+Q4=（0.01cosy）/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)模型三：當(dāng)u*siny-v0時(shí)，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此時(shí)的人的淋雨總量可分為兩部分：頭頂部分Q5和背面部分Q6。3頭頂部淋雨量為Q5，由圖二可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時(shí)間t3=d/v，淋雨量（降雨方向與雨速方向應(yīng)在一條線上）為w*cosx,由此可知淋雨總量Q5= s1*t1*w*cosx4由圖二可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*siny-v（方向與v相反），此時(shí)在水平方向上的合成速度為u*siny-v,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時(shí)間t2=d/v,，降雨量w=wsinx-w*v/u,此時(shí)該人的淋雨總量Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u所以降雨總量Q=Q5+Q6=0.0027778*（0.2cosy-1.5siny）/v+1.54:根據(jù)三中所求的降雨總量然后對(duì)式子分別求導(dǎo)可以可畫(huà)出圖如下： 模型求解：由于該模型是在理想情況下假設(shè)的，由以上模型（1）(2)(3)可求出下列數(shù)值：（1）帶入數(shù)據(jù)可求出以下未知量：表面積s=2ab+2ac+bc=2*1.5*0.5+2*1.5*0.2+0.5*0.2=2.2跑步的時(shí)間t=d/vm=1000/5=200s,總的淋雨量Q=s*t*w=2.44L結(jié)果分析：由這些數(shù)值可知：隨著人跑步的速度逐漸變快，人的淋雨量越少，跟我們?cè)趯?shí)際生活中相差不大，只是這是在理想模型下建立的求解，因?yàn)樵趯?shí)際的生活中人的跑步速度不肯能是勻速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。（2）帶入數(shù)據(jù)可求出以下未知量：頭頂淋雨量：Q3=s1*t1*w*cosx =(0.01cosx)/(18*v)迎面淋雨量：Q4= s2*t2*w*(usinx+v)/u =0.0010461(1-siny/v)總的淋雨量Q=Q3+Q4=0.01cosy/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)=0.00069445(0.2cosy-1.5siny)/v+1.5 由題可知該人在雨中的最大速度是v=vm，所以當(dāng)v=vm時(shí)，Q最小，此時(shí)帶入數(shù)據(jù)可知Q=0.694*(0.8cosx+6sinx)/v+1.5，x=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152Lx=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L結(jié)果分析：在該模型中只考慮到了頂面和人的迎雨面，可以看出在該模型下人跑的越快，淋雨就越少，這個(gè)與模型二很相似，可是在實(shí)際情況我們也應(yīng)該考慮到人的背面是否淋雨，在模型三中就解釋了這個(gè)問(wèn)題。(3)帶入數(shù)據(jù)可求出下列：頭頂淋雨量：Q5=s1*t1*w*cosx =(0.01cosy)/(18*v)迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u=abdw(u*siny-v)/uv總的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778*（0.2cosy-1.5siny）/v+1.5若c*cosy-a*sinyc/a，此時(shí)v=usiny時(shí)Q最小，當(dāng)y=30時(shí),v=usiny=4*sin30=2m/s,此時(shí)Q=0.0027778*（0.2cos30-1.5sin30）/v+1.5=0.24L，當(dāng)v=vm時(shí)，y=30,Q=0.93L.由此可知，當(dāng)v=usiny時(shí)，淋雨量是最小的。結(jié)果分析：在該模型中考慮到雨的方向問(wèn)題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來(lái)跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。4:當(dāng)