數學奧林匹克競賽試題（一）1、 在數列中，且 ，求2、 在數列中，且，求3、 數列滿足且，求4、 已知數列滿足，其中a,b是給定的正實數，求5、 在數列中且,求6、 已知數列滿足求7、 數列為正數列，且，求8、 數列中，求9、 已知數列，中， （1）求 （2）求 10、在數列和中，且求，數學奧林匹克競賽試題（二）1、 若數列中，,求2、 設求證：3、 求所有，使得由所確定的數列，是遞增的。4、 設，且且求證：對一切非負整數n，有。5、 實數滿足： 證明：。6、，數列滿足，且對于是否總有。7、 否存在，使得一個無窮正數列滿足。8、 對給定的，定義滿足證明這個數列中有無窮多個非正項。9、 在數列中。，。證明對任何正整數和，分式不可約。10、 證明：若數列滿足 則每一項都是自然數，且當為偶數或奇數時分別有形式或。數學奧林匹克競賽試題（三）1、設，問a,b,c為何值時，？2、設多項式求證：。3、能否找到這樣的實數，使等式對任何成立.4、證明：多項式是首項為2的二次三項式的平方的沖要條件是。5、證明：當時，k次多項式 的值總是正的。6、求滿足：的二次函數7、給定多項式。證明，對每一個，至多有一個 n次多項式，使得。8、設實系多項式 滿足，其中為一實數，若，求證：9、假設二次三項式可變換成或，試問能否借助有限次這樣的變換由得？10、求證：任何多項式可以表示成兩個遞增多項式之差。數學奧林匹克競賽試題（四）1、 對于給定實數，方程有四個虛根，其中兩根的積為，另兩根的和是，求。2、 已知是方程的三個根，且都是有理數，求。3、證明：對任意非零的，多項式的根滿足4、求方程的全部解的199次冪的和。5、若，求證：實系數方程必有虛根。6、設多項式有個實根，且系數都是非負數，證明：7、解方程組8、證明；實系數多項式的根不可能全是實數。9、如果和是方程的兩個根。求證：是方程的一個根。10、已知方程的三根都是實數，證明：是一個三角形的三條邊長的沖要條件是。數學奧林匹克競賽試題（五）1、設為（十進制）的各位上數字之和。試求2、已知函數，求。3、設。證明，存在正整數，使能被1988整除。4、設求5、設求,求6、 設, 及,求及7、證明存在定義在上的函數，使.8、對，求證：對所有非負整數和時，有。9、設是定義在實數集上的實值函數。試證明；（1） 若只有惟一的不動點，則也只有惟一的不動點。（2） 若有且僅有兩個不動點，那么只有兩種可能：(i) 是的不動點(ii) ,.11、 已知為多項式，求證：.數學奧林匹克競賽試題（六）1、在的方格中，隨意寫上或，然后將每格中的數用所有與它相鄰的格（有公共邊的格）中的數的積來代替。求證：經過若干次這樣的“變換”以后，所有方格中的數都是。2、在黑板上寫下n個數，每次允許擦掉任意兩個數，例如a和b換成。這樣的運算重復次，結果在黑板上只剩下一個數。證明：若開始時在黑板上寫的是n個1，則最后留在黑板上的數不小于.3、 微型計算器只能完成如下兩種四位數的運算：（i）由得（ii）由得問能否用計算器由得?4、在黑板上寫了3個整數，然后擦去其中一個，并代之以剩下的兩數之和與1的差，重復這個步驟若干次，最后得到了數17,1967,1983，問：最初在黑板上寫的數能否是以下的數：（1）2,2,2 （2）3 ,3,35、在完全平方數的序列中是否含有無窮等差子序列？6、在一張的格子紙中有80個格子是黑的，其余是白的。某行（或列）中黑格如過半數。則將該行（或列）中格子全部染黑。證明：最后不可能將全部格子染黑。7、m個盒子，每個盒子中有一些球，球數不一定相等。n是小于m的正整數，選n個盒子，并在這些盒子中各放進1個球，稱為一次“運算”。證明：（1）如果m與n互質，可以施行有限多次運算，使得盒子中的球數全部相等；（2）如果m與n不互質，試舉出一種情況，無論施行多少次運算，都不能使盒子中的球數全部相等。8、棋盤上撒布n克面粉，使得沒行，每列的重復都是1克，求證：可以安排k個人，第I人從不同的n個小方格中各取走克面粉(i =1,2,k),最后恰好將原來棋盤上的面粉全部取走。9、沿一個圓周放著若干堆小球，每堆小球的個數都是3的倍數，但各堆球數不必相等，現在按下列規則調整各堆的球數：把各堆小球三等分，本堆留一，其余兩份分別放到左、右相鄰的兩堆中；如果某堆小球數目不是3的整數倍時，可從備用布袋中取出一球或兩球放入，使該堆球數是3的整數倍，然后按上法繼續調整。試證明：經過有限次調整之后，各堆小球個數相等。10、 設S是n元集，對每個，對應一個集合，使，且若，則。現在進行下述游戲：首先給S中每個元素染上白色，然后每次可以任取一個，將中所有元素改變顏色（白色變黑色，黑色變白色）。求證：可以通過若干次操作使S中所有元素全變成黑色。數學奧林匹克競賽試題（七）1、三個圓，半徑分別為沒有公共點。證明他們所覆蓋的面積不小于。2、對任意單位面積的凸多邊形，證明存在一個面積為2的平行四邊形可以覆蓋它。3、求一個具有最小尺寸的正方形，使得其中能安放5個半徑為1的圓，并且任意兩個圓都沒有公共內點。4、平面上任給100個點，證明：可用某些互不相交、直徑的和，且任何兩個的距離（兩圓間連線段最短長度）都大于1的原覆蓋這100個點。5、已知等邊三角形的邊長為1，線段d的端點在三角形的邊長滑動，求能使d覆蓋整個三角形的最小長度。6、已知5個同樣大小的正三角形可以覆蓋正三角形ABC，證明4個這樣的正三角形就可以覆蓋。7、覆蓋圖形F的圓面中最小的一個叫做F的最小覆蓋圓。最小覆蓋圓的半徑叫做圖形 F的覆蓋半徑。的最大邊長為BC，求覆蓋的最小圓面。8、用三個半徑相同的圓紙片覆蓋一個單位正方形紙片，求所用圓紙片所覆蓋。9、一個邊長分別為3，4，5的三角形一定不能被面積為15的正方形紙片所覆蓋。10、在的矩形中，最多可以不重疊地放置多少個半徑為1cm的圓的的扇形？數學奧林匹克競賽試題（八）1、8個小圓分別涂了4種顏色：2個紅的；2個藍的；2個白的；2個黑的。甲乙兩人輪流把圓放到立方體的頂點上。在所有的圓都放在立方體的各個頂點上去后，如果對立方體的某一個頂點都能找到一條過此頂點的棱，其兩個端點上的圓有相同的顏色，則第一個放圓的人甲獲勝，否則第二個人乙獲勝。試問在這個游戲中誰將獲勝？2、在桌子上方著1978根火柴。兩個男孩依次輪流地取1或2根火柴。誰取后一根火柴，誰就獲勝。問：哪一個男孩獲勝？他應該怎樣玩這個游戲？3、在黑板上寫著方程兩個人做游戲：第一個人把異于0的整數（正整數或負整數）填到其中的任一空上，接著第二個人把整數填到其余的一個空上，最后第一個人把一個整數填到最后的空上。4、若適當選取非零實數為初始值，寫出方程若（1）有實根，可再寫出方程，若（2）有實根，可再寫出方程。一般地，所寫出的第k個方程有實根，就可繼續寫出第(k+1)個方程。依上述規則一直寫下去，當寫出第1990個方程，有二實根時算“達標”。求證：可以找到選定初始值的策略，必定可以“達標”。并請說明理由。5、已知20個數1，2，20。兩個游戲者輪流將“+”號或“”號放在這些數的前面（放的順序不限）。第一個人的目的是當20個符號放完后，20個數和的絕對值較小。那么，第二個人得到的20個數的和的絕對值最大是多少？6、兩人輪流在的方格板上玩涂格子游戲。第一個人每次將任意兩個相鄰的格子涂上黑色，第二個人將任意一格涂上白色。起初方格上所有的格子都是白的。第二個人能否在他每次涂色之后，使黑板上任意一個的正方形中：(i)至少有一個角為白色格；(ii)至少有兩個角為白色格。（有公共邊的兩格叫做相鄰的；同一格子可經兩游戲者改涂顏色若干次。） 7、在格的象棋盤的右下格放一枚棋子（如圖），每步只能向左或者向左上對角線走一格，甲乙兩人交替走，以先到左上格為勝者，問誰必勝？怎樣取勝？8、甲、乙兩人做下面的游戲：兩人輪流從1，2，100，101中取數，每次任意取走9個數，甲先取，取到第11次時，還剩下兩個數，然后乙按此兩數之差給甲記分。求證：無論乙如何取數，甲總是可以保證自己的得分不少于55分。9、甲、乙、丙三人玩下面的游戲：從集合中隨機地取出一個k元子集，這里k是一個取定的的正整數，根據所取出的k個數的和除以3的余數為0，1或2，定出勝者為甲、乙或丙（各種選取的機會相等）。問k是什么值時，這游戲是公平的？11、 桌上有3堆火柴，第一堆中有100根，第二堆中有200根，第三堆中有300根。兩人游戲，依次輪流進行如下的操作：在每次操作中都取走一堆火柴，再把剩下兩堆中的某一堆分成兩個非空的堆。誰不能再進行操作，就算誰輸。試問，在正確的策略之下，誰會贏：是先開始的，還是其對手？數學奧林匹克競賽試題（九）1、在某次競選會中各政黨作出n種不同的諾言，有些政黨可以做某些相同的諾言。現知其中每兩個政黨都至少作了一個相同的諾言，但沒有兩個政黨的語言完全相同。求證：政黨個數。2、一個以自然數為元素的集合C，如果C中至少存在兩個數，它們的算術平均數仍屬于集合C，則稱C為“好集”。證明：將自然數集任意劃分為兩個不交的子集中，至少有一個子集是“好集”。3、已知集合A，B，C滿足且，則的最小值是多少？（其中表示集合x的階）4、將自然數集N劃分為有限個非空子集，每個子集中的數都成等差數列。證明：至少有一個等差數列的第一項能被該數列的公差整除。5、對怎樣的正整數n，集合可以劃分成5個兩兩不交的子集，使得每個子集的元素和相等。6、設是給定的正有理數，求證：可把自然數集N劃分成2個子集A、B，使得A中任意兩數之比與B中任意兩數之比都不等于C。7、設為有限集，并且。設對給定的，此