實數（一）本章知識結構如下圖所示：（二）教科書內容本章主要包括算術平方根、平方根、立方根，以及實數的有關概念、運算以及實數在數軸上的表示等內容本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，難點是平方根和實數的概念教科書的第一節是平方根，本節先研究算術平方根，再研究平方根教科書首先創設一個問題情景，從中抽象出的數學問題為：已知正方形的面積求其邊長這是一個典型的求算術平方根的問題，它與學生熟悉的已知正方形的邊長求其面積是一個互逆的過程通過對這類問題的探討，引出算術平方根的概念，給出其符號表示，這時教科書所涉及到的被開方數本質上都是完全平方數接著，教科書設置一個“探究”欄目，讓學生嘗試能否將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，進而求出這個大正方形的邊長這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2，根據前面學過的算術平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是，這樣教科書就引進了用根號形式表示的無理數（但暫時不出現無理數的概念），這是教科書第一次出現這樣的數另外，通過學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形的活動，也使學生感受到無理數是從現實世界中抽象出來的，是一種不同于有理數的數出現后，一個很自然的問題是，到底多大教科書采用用有理數夾逼的方法，利用不足近似值和過剩近似值來估計的大小，通過一步一步的估計，得到的越來越精確的近似值，進而指出是一個無限不循環小數的事實，并進一步指出，等也是無限不循環小數，這就為后面認識無理數打下基礎會使用計算器求數的算術平方根是本章的一個教學要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計算器求算術平方根的方法用有理數估計無理數的大小，也是學習本章應該注意的一個問題，教科書結合一個實際例子（例3）介紹了用有理數估計無理數的常用方法至此，教科書討論了有關算術平方根的內容，包括算術平方根的概念、求法，無限不循環小數以及用有理數估計無理數等內容接著，教科書設置一個“思考”欄目，對平方根展開討論在這個“思考”欄目中，要求學生算出平方等于9的數，通過對這個問題的探討，找到解決問題的方法，利用這種方法進一步求出平方等于1，16，36的數，由此抽象概括出平方根的概念和開平方運算開平方運算與平方運算是互逆運算，教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程，并用圖示進一步說明最后，教科書結合具體例子，通過具體計算一些數的平方根，探討數的平方根的特征，歸納出“正數的平方根有兩個，它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根”教科書的第二節是立方根對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進行討論首先設置一個問題情景，從中抽象出的數學問題是：已知立方體的體積求它的邊長，這是一個典型的求數的立方根的問題教科書從這個典型問題出發，引出立方根的概念和開立方運算接著，教科書指出，和平方運算與開平方運算互為逆運算一樣，立方運算與開立方運算也互逆，并通過一個“探究”欄目，運用這種互逆關系求一些正數、負數和0的立方根在此基礎上歸納出數的立方根的特征：“正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0”最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質（）學習了平方根、立方根以及開方運算后，教科書在第三節安排了實數本節首先設置一個“探究”攔目，要求學生將一些有理數轉化為小數的形式，并分析這些小數的共同特點，進而歸納出有理數都可以化成有限小數或無限循環小數的形式，然后直接指出反過來的結論也成立，即任何有限小數和無限循環小數都是有理數，這樣教科書就將有理數與有限小數和無限循環小數統一起來在此基礎上指出，像，等只能化成無限不循環小數的數就是無理數，從而引出無理數的概念教科書采用這種與有理數對照的方法引出無理數，有利于揭示有理數和無理數的本質區別，也有助于學生理解“有理數和無理數統稱實數”這個構造性定義為了是學生全面了解實數的概念，教科書根據不同的標準對實數進行分類，揭示出實數的內部結構隨著無理數的引入，實數概念的出現，數的范圍由有理數擴充到實數，在這個擴充過程中，既體現了概念、運算等的一致性，又體現了它們的發展變化教科書通過幾方面的例子說明了這種一致性和發展變化首先，教科書通過探究在數軸上畫出表示和的點，說明了無理數也可以用數軸上的點來表示，并指出當數由有理數擴充到實數后，直線上的點與實數就是一一對應的；接著，教科書通過設置思考問題，讓學生體會，在有理數范圍內成立的一些概念（如絕對值、相反數等）在實數范圍內仍然成立；最后，教科書結合具體例子，指出有理數的運算（如加、減、乘、除、乘方運算等），以及運算律、運算性質（如交換律、分配律、結合律等）在實數范圍內仍然成立，并且可以進行新的運算（如正數和0可以進行開平方運算、任何一個實數可以進行開立方運算）等與大綱教材相比，本章內容在原教科書“數的開方”一章的基礎上，適當增加了有關實數運算的內容（實數的運算在本套書“二次根式”一章繼續學習）；從內容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實際問題出發，先講算術平方根，再講平方根，加強了與實際的聯系；在教學目標方面，強調所有學生都應會使用計算器進行開平方、開立方運算，加強了對估算的要求等（三）本章學習目標1了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的算術平方根、平方根、立方根2了解開方與乘方互為