（2011河南）如圖，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設點D、E運動的時間是t秒（t0）過點D作DFBC于點F，連接DE、EF（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由解答：（1）證明：在DFC中，DFC=90，C=30，DC=2t，DF=t又AE=t，AE=DF（2分）（2）解：能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF又AE=DF，四邊形AEFD為平行四邊形（3分）AB=BCtan30=5=5，AC=2AB=10AD=ACDC=102t若使AEFD為菱形，則需AE=AD，即t=102t，t=即當t=時，四邊形AEFD為菱形（5分）（3）解：EDF=90時，四邊形EBFD為矩形在RtAED中，ADE=C=30，AD=2AE即102t=2t，t=（7分）DEF=90時，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90A=90C=60，AD=AEcos60即102t=t，t=4（9分）EFD=90時，此種情況不存在綜上所述，當t=或4時，DEF為直角三角形（10分）如圖，已知ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點D為AB的中點如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段AC 上由點A向C點以4cm/s的速度運動（1）若點P、Q兩點分別從B、A 兩點同時出發，經過2秒后，BPD與CQP是否全等，請說明理由；（2）若點P、Q兩點分別從B、A 兩點同時出發，CPQ的周長為18cm，問：經過幾秒后，CPQ是等腰三角形？解：（1），BPD與CQP是全等理由如下：當P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發運動2秒時有BP=22=4cm，AQ=42=8cm則CP=BC-BP=10-4=6cmCQ=AC-AQ=12-8=4cm （2分）D是AB的中點BD=1/2AB=1/212=6cmBP=CQ，BD=CP （3分）又ABC中，AB=ACB=C （4分）在BPD和CQP中BP=CQB=CBD=CPBPDCQP（SAS） （6分）（2）設當P，Q兩點同時出發運動t秒時，有BP=2t，AQ=4tt的取值范圍為0t3則CP=10-2t，CQ=12-4t （7分）CPQ的周長為18cm，PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4 （8分）要使CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：當CP=CQ時，則有10-2t=12-4t解得：t=1 （9分）當PQ=PC時，則有6t-4=10-2t24(本小題滿分14分)在ABC中，AB=BC，將ABC繞點A沿順時針方向旋轉得A1B1C1，使點Cl落在直線BC上(點Cl與點C不重合)，(1)如圖9一，當C60時，寫出邊ABl與邊CB的位置關系，并加以證明；(2)當C=60時，寫出邊ABl與邊CB的位置關系(不要求證明)；(3)當C60時，請你在圖9一中用尺規作圖法作出AB1C1(保留作圖痕跡，不寫作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的結論是否還成立?并說明理由24解：（1） 證明：由旋轉的特征可知 ， （2） （3）作圖略。成立。理由與第一問類似。25、（12分）已知RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，連結EC，取EC中點M，連結DM和BM，（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，求證：BM=DM且BMDM；（2）如圖中的ADE繞點A逆時針轉小于45的角，如圖，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明。25. 本小題主要考查三角形、圖形的旋轉、平行四邊形等基礎知識，考查空間觀念、演繹推理能力滿分12分（1）證法1：在RtEBC中，M是斜邊EC的中點， 在RtEDC中，M是斜邊EC的中點， BM=DM，且點B、C、D、E在以點M為圓心、BM為半徑的圓上 BMD=2ACB=90，即BMDM 證法2：證明BM=DM與證法1相同，下面證明BMDM DM=MC， EMD=2ECD BM=MC， EMB=2ECB EMDEMB =2（ECDECB） ECDECB=ACB=45， BMD=2ACB=90，即BMDM （2）當ADE繞點A逆時針旋轉小于45的角時，（1）中的結論成立 證明如下：證法1（利用平行四邊形和全等三角形）：連結BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連結BF、FC，延長ED交AC于點HMDBACEHF DM=MF，EM=MC， 四邊形CDEF為平行四邊形. DECF ，ED =CF. ED= AD, AD=CF. DECF， AHE=ACF ,， BAD=BCF.又AB= BC, ABDCBF. BD=BF，ABD=CBF. ABD+DBC =CBF+DBC，DBF=ABC =90.在Rt中，由,，得BM=DM且BMDM證法2（利用旋轉變換）：連結BD，將ABD繞點B逆時針旋轉90，點A旋轉到點C，點D旋轉到點，得到，則且連結MDBACE 又， 四邊形為平行四邊形 D、M、三點共線，且在Rt中，由,，得BM=DM且BMDM 證法3（利用旋轉變換）：連結BD，將ABD繞點B逆時針旋轉90，點A旋轉到點C，點D旋轉到點，得到，則且連結，延長ED交AC于點H AHD= 90DAH= 90(45BAD)= 45BAD，MDBACEH 又， 四邊形為平行四邊形 D、M、三點共線，且在Rt中，由,，得BM=DM且BMDM 4、 （14分）如圖10，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角AOB=90，點C是上異于A、B的動點，過點C作CDOA于點D，作CEOB于點E，連結DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形（2）當點C在上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度（3）求證：是定值圖1024（1）連結OC交DE于M，由矩形得OMCG，EMDM因為DG=HE所以EMEHDMDG得HMDG（2）DG不變，在矩形ODCE中，DEOC3，所以DG1（3）設CDx,則CE，由得CG所以所以HG31 所以3CH2所以24.（本小題滿分14分）如圖12，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P。（1）若AG=AE，證明：AF=AH；（2）若FAH=45，證明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積。24.（本小題滿分14分） 解：(1) 易證ABFADH,所以AF=AH (2) 如圖，將ADH繞點A順時針旋轉90度，如圖，易證AFHAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE (3) 設PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得（1-x）2+（1-y）2=(x+y-1)2, 化簡得xy=0.5,所以矩形EPHD的面積為0.5.2（2010廣東廣州，25，14分）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E（1）記ODE的面積為S，求S與的函數關系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.CDBAEO【答案】（1）由題意得B（3，1）若直線經過點A（3，0）時，則b若直線經過點B（3，1）時，則b若直線經過點C（0，1）時，則b1若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1b，如圖25-a，圖1 此時E（2b，0）SOECO2b1b若直線與折線OAB的交點在BA上時，即b，如圖2圖2此時E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，AB=，B=45，動點M從點B出發，沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發，沿CDA，以同樣速度向終點A運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動設運動的時間為t秒（1）求線段BC的長度；（2）求在運動過程中形成的MCN的面積S與運動的時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，MCN的面積S最大，并求出最大面積；（3）試探索：當M，N在運動過程中，MCN是否可能為等腰三角形？若可能，則求出相應的t值；若不可能，說明理由解答：解：（1）如圖1，分別過A，D作AEBC，DFBC，分別交BC于E，F；EF=AD=3；B=45，AB=；BE=AE=DF=4（1分）在RtDFC中，CF=；（2分）BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）（2）如圖2，當0t5時，CN=BM=t，MC=10t；過N作NG于BC于點G；NGCDFC，即；NG=；S=；，函數開口向下；當時，Smax=10；（5分）如圖3，當5t8時，S=；20，即S隨t的減小而增大；當t=5時，Smax=10；（6分）綜上：，當t=5時，MCN的面積S最大，最大值為10；（3）當0t5時：CN=BM=t，MC=10t；當MC=NC時，t=10t，解得：t=5；（7分）當HM=MC時，如圖4，過N作NHBC于點H，則有HC=MH，可得：，解得：；（8分）當MN=MC時，如圖5，過M作MICD于I，CI=，又，即：，可得，解得：（舍去）；（9分）當5t8時，如圖6，過C作CJAD的延長線于點J，過N作NKBC于點K；則