橢圓的性質橢圓的范圍 橢圓上的點都位于直線x=a和y=b圍成的矩形內，所以坐標滿足|x|a，|y|b.橢圓的離心率 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因為ac0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為x2+y2=a2。橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義 橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2。橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。平面內點與橢圓的位置關系 橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點M（x,y），若點M（x,y）在橢圓上，則有；若點M（x,y）在橢圓內，則有；若點M（x,y）在橢圓外，則有.直線與橢圓的相交弦 設直線交橢圓于點兩點，則=同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：;例1. 已知橢圓的對稱軸為坐標軸，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程。【解析】 橢圓的長軸長為6，所以點A不是長軸的頂點，是短軸的頂點，所以|OF|=c，所以c=2，b2=3222=5，故橢圓的方程為或。【變式3】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為過點的直線l交C于A，B兩點，且的周長為16，那么C的方程為_ 【答案】。例2.（1）已知橢圓的一個焦點將長軸分成長為的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4，求其離心率。【解析】 （1）由題意得，即，解得。（2）由題意得，解得，故離心率。【變式1】橢圓的一個頂點與兩焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ） 【答案】D【變式2】橢圓上一點到兩焦點的距離分別為，焦距為，若成等差數列，則橢圓的離心率為 【答案】例3. 設M為橢圓上一點，F1、F2為橢圓的焦點，若MF1F2=75，MF2F1=15，求橢圓的離心率。【解析】 在MF1F2中，由正弦定理得即，。【變式1】以橢圓兩焦點為直徑的圓交橢圓于四個不同點，順次連結這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則這個橢圓的離心率等于。 【答案】【變式2】已知橢圓的左焦點為F，右頂點A，上頂點為B，若BFBA，求離心率_。【解析】 根據題意，|AB2|=a2+b2，|BF|=a，|AF|=a+c，所以在RtABF中，有(a+c)2=a2+b2+a2，化簡得c2+aca2=0，等式兩邊同除以a2，得e2+e1=0，解得。又0e1，。例4已知橢圓，F1，F2是兩個焦點，若橢圓上存在一點P，使，求其離心率的取值范圍。 【解析】F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120又|PF1|+|PF2|=2a 聯立 得4c2=4a2-|PF1|PF2|，【變式】已知橢圓，以，為系數的關于的方程無實根，求其離心率的取值范圍。【答案】由已知，所以，即，不等式兩邊同除可得，解不等式得或.由橢圓的離心率，所以所求橢圓離心率.例6. 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程【解析】解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得 得將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為【變式1】已知點P（4，2）是直線被橢圓所截得線段的中點，求直線的方程.【答案】直線的方程為x+2y8=0【變式2】若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍。【答案】時，直線與橢圓恒有公共點 橢圓（2013高考題）（2013新課標全國高考文科5）設橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，則的離心率為（ ） A. B. C. D.【解析】選D. 因為,所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D.(2013大綱版全國卷高考理科T8)橢圓C:的左、右頂點分別為,點P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是() A. B. C. D.【解析】選B.設，則，故.因為,所以（2013大綱版全國卷高考文科8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交于A,B兩點,且=3,則C的方程為()A. B. C. D.【解析】選C.設橢圓得方程為，由題意知，又，解得或（舍去），而，故橢圓得方程為.（2013四川高考文科9）從橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰為左焦點，是橢圓與軸正半軸的交點，是橢圓與軸正半軸的交點，且（是坐標原點），則該橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 【解析】選C，根據題意可知點P，代入橢圓的方程可得，根據，可知，即，解得，即，解得，故選C.（2013廣東高考文科9）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為，離心率等于，則C的方程是（ ） A B C D【解析】選D.設C的方程為，則，C的方程是.（2013遼寧高考文科11）已知橢圓的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,則C的離心率為() A. B. C. D.【解析】選B.在三角形中，由余弦定理得,又解得在三角形中，故三角形為直角三角形.設橢圓的右焦點為，連接,根據橢圓的對稱性，四邊形為矩形，則其對角線且，即焦距又據橢圓的定義，得，所以.故離心率(2013江蘇高考數學科T12) 在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的一個端點為，設原點到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 【解析】由原點到直線的距離為得，因到的距離為故，又所以又解得（2013上海高考文科T12）與（2013上海高考理科T9）相同設AB是橢圓的長軸，點C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個焦點之間的距離為 .【解析】 如圖所示，以AB的中點O為坐標原點,建立如圖所示的坐標系.（2013福建高考理科14）相同 橢圓: 的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=與橢圓的一個交點M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.【解析】MF1F2是直線的傾斜角,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形,在RtMF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.（2013遼寧高考理科15）已知橢圓的左焦點為，與過原點的直線相交于兩點，連接若，則的離心率【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，故三角形為直角三角形。設橢圓的右焦點為，連接,根據橢圓的對稱性，四邊形為矩形，則其對角線且，即焦距又據橢圓的定義，得，所以.故離心率（2013陜西高考文科20）已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. (1) 求動點M的軌跡C的方程; (2) 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率. 【解析】(1) 點M(x,y)到直線x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍，則.所以，動點M的軌跡為橢圓，方程為.(2) P(0, 3), 設，橢圓經檢驗直線m不經過這2點，即直線m斜率k存在。.聯立橢圓和直線方程，整理得：所以，直線m的斜率.（2013四川高考理科20） 已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經過點（1）求橢圓的離心率； 2）設過點的直線與橢圓交于、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=,又由已知,c=1,所以橢圓的離心率e=. (2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1, 設點Q的坐標為(x,y).() 當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點,此時點Q的坐標為(0,2).() 當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=kx+2,因為M,N在直線l上，可設點M,N的坐標分別為則|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=, 將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 由D=(8k)24(2k2+1)60,得k2.由可知,x1+x2=,x1x2=, 代入并化簡得x2=. 因為點Q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入并化簡,得10(y2)23x2=18.由及k2,可知0x2b0)的兩焦點為F1（0，-c），F2（0，c）(c0)，離心率e=，焦點到橢圓上點的最短距離為2-，求橢圓的方程.13已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長 14.設F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的3個頂點，且|PF1|PF2|，求的值.15.已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）【答案與解析】1答案： C 由題意，a=5,c=3,b2=a2c2=259=16,橢圓的標準方程為1或=1.2答案：D 由已知2a=12，得a=6，c=2，橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，所以橢圓的方程是。3答案：D 直線y=kx+1過定點（0，1），定點在橢圓的內部或橢圓上時直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，得m1，m的取值范圍是1m5。4答案：C 由橢圓定義可知小球經過路程為4a，所以最短路程為16，故選C5.答案：C 而，6答案：D設與直線平行的直線方程為x+2y+m=0，由，得8y2+4my+m216=0，=0得，顯然時距離最大7答案：3或 方程中4和m哪個大哪個就是a2，因此要討論：（1）若0m4則a2=4，b2=m，得m=3。（2）m4，則b2=4，a2=m，得。8答案：2，3 根據圖象可得圓的半徑要比橢圓長軸短，短軸長，因此半徑a的取值范圍為2，39.答案： 由題意得10答案： 解析：由題設橢圓C的標準方程為，由已知得，橢圓的方程為11. 解析：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故12解析：橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短，a-c=2-.又e=，a=2.故b=1.橢圓的方程為+x2=1.13. 解析：利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以又因為焦點在軸