4 4生活中的優化問題舉例 生活中經常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為 通過前面的學習 我們知道是求函數最大 小 值的有力工具 運用 可以解決一些生活中的 解決實際應用問題時 要把問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系 這需通過分析 聯想 抽象和轉化完成 函數的最值要由極值和端點的函數值確定 當定義域是開區間 函數在開區間上有惟一的極值 則它就是函數的最值 自學導引 1 2 優化問題 導數 導數 優化問題 數學建模 利用導數解決實際問題中的最值問題時應注意什么 提示 1 在求實際問題的最大 小 值時 一定要注意考慮實際問題的意義 不符合實際意義的值應舍去 2 在實際問題中 有時會遇到函數在區間內只有一個點使f x 0的情形 如果函數在這點有極大 小 值 那么不與端點值比較 也可以知道這就是最大 小 值 3 在解決實際優化問題中 不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系式給予表示 還應確定函數關系式中自變量的定義區間 自主探究 有一長為16m的籬笆 要圍成一個矩形場地 則此矩形場地的最大面積為 a 32m2b 18m2c 16m2d 14m2解析設矩形長為xm 則寬為 8 x m 矩形面積s x 8 x 0 x 8 令s 8 2x 0 得x 4m 此時smax 42 16 m2 當然也可用配方法或基本不等式法求最值 答案c 預習測評 1 以長為10的線段ab為直徑作半圓 則它的內接矩形的面積的最大值為 a 10b 15c 25d 50解析法一 如圖 設 nob 則矩形面積為s 5sin 2 5cos 25sin2 故smax 25 2 答案c 如右圖所示 某工廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場 一邊可以利用原有的墻壁 其他三邊需要砌新的墻壁 當砌壁所用的材料最省時 堆料場的長和寬分別為 3 答案32米 16米 用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架 如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為3 4 那么容器容積最大時 高為 m 4 答案0 5 利用導數解決實際問題的一般方法 1 細致分析實際問題中各個量之間的關系 正確設定所求最值的變量y與自變量x 找出變量y與x的關系 即列出函數關系y f x 再根據實際問題確定函數y f x 的定義域 這樣就把實際問題轉化成了數學問題 2 求f x 解方程f x 0 求出定義域內所有的實數根 3 比較函數在各個根和端點處的函數值的大小 根據問題的實際意義確定函數的最大值或最小值 要點闡釋 注意 求實際問題的最值時 一定要考慮問題的實際意義 不符合實際意義的理論值要舍去 在實際問題中 若在函數的定義域內 使f x 0成立的值只有一個 且函數在這一點處取得極大 小 值 則不與端點值比較 也可以知道這就是最大 或小 值 在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去邊長相等的正方形 再把它的邊沿虛線折起 做成一個無蓋的方底箱子 箱底的邊長是多少時 箱子的容積最大 最大容積是多少 典例剖析 題型一容積 或面積 最大問題 例1 答 當箱底邊長為40cm時 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 點評在實際問題中 有時會遇到函數在定義區間內只有一個點使f x 0 如果函數在該點取得極大 小 值 極值就是函數的最大 小 值 做一個無蓋的圓柱形水桶 若要使其體積是27 且用料最省 則圓柱的底面半徑為 1 答案3 題型二時間 費用最省問題 點評利用導數的方法解決實際問題 要注意構造函數 但與解決一般的函數問題有區別 即注意利用導數所求出的函數最值點是否符合現實問題的要求 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比 已知在速度為10km h時 燃料費是每小時6元 而其他與速度無關的費用是每小時96元 問此輪船以 km h的速度航行時 能使行駛每千米的費用總和最小 2 答案20 某商品每件成本9元 售價30元 每星期賣出432件 如果降低價格 銷售量可以增加 且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x 單位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品單價降低2元時 一星期多賣出24件 1 將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數 2 如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大 解 1 設商品降價x元 則多賣的商品數為kx2 若記商品在一個星期的獲利為f x 元 則依題意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知條件24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 題型三利潤最大問題 例3 點評利潤 收益 銷售額 成本 在有關利潤 收益 的問題中 注意應用此公式列函數式 所以每月生產200噸產品時利潤達到最大 最大利潤為315萬元 點評關于利潤最大問題 利潤等于收入減去成本 而收入等于產量乘價格 由此可得出利潤與產量的函數關系式 再用導數求最大利潤 甲 乙兩地相距s千米 汽車從甲地勻速行駛到乙地 速度不得超過c千米 時 已知汽車每小時的運輸成本 以元為單位 由可變部分和固定部分組成 可變部分與速度v 千米 時 的平方成正比 比例系數為b 固定部分為a元 1 把全程運輸成本y 元 表示為速度v 千米 時 的函數 并指出這個函數的定義域 2 為了使全程運輸成本最小 汽車應以多大速度行駛 誤區警示