高等數學第一章的總結課件 1 函數與極限 高等數學第一章的總結課件 2 性質 閉區間上連續函數 函數 極限 數列極限 函數極限 連續 或間斷 內容 高等數學第一章的總結課件 3 一 函數 函數的分類 函數 初等函數 非初等函數 分段函數 有無窮多項等函數 代數函數 超越函數 有理函數 無理函數 有理整函數 多項式函數 有理分函數 分式函數 高等數學第一章的總結課件 4 鄰域 高等數學第一章的總結課件 5 絕對值 運算性質 絕對值不等式 高等數學第一章的總結課件 6 函數的特性 有界 無界 1 函數的有界性 高等數學第一章的總結課件 7 數列的有界性 補充內容 1 單調遞增且有上界數列必有極限 2 單調遞減且有下界數列必有極限 高等數學第一章的總結課件 8 2 函數的單調性 高等數學第一章的總結課件 9 高等數學第一章的總結課件 10 3 函數的奇偶性 偶函數 高等數學第一章的總結課件 11 奇函數 高等數學第一章的總結課件 12 函數的周期性 通常說周期函數的周期是指其最小正周期 高等數學第一章的總結課件 13 典型例題 例 解 高等數學第一章的總結課件 14 例 解 故 高等數學第一章的總結課件 15 思考題 高等數學第一章的總結課件 16 思考題解答 設 則 故 高等數學第一章的總結課件 17 二 極限 函數極限的統一定義 見下表 高等數學第一章的總結課件 18 高等數學第一章的總結課件 19 思考題 高等數學第一章的總結課件 20 思考題解答 左極限存在 右極限存在 不存在 補充結論 高等數學第一章的總結課件 21 小結 高等數學第一章的總結課件 22 解 商的法則不能用 由無窮小與無窮大的關系 得 例 高等數學第一章的總結課件 23 解 例 消去零因子法 高等數學第一章的總結課件 24 例 解 無窮小因子分出法 高等數學第一章的總結課件 25 結論 無窮小分出法 以分母中自變量的最高次冪除分子 分母 以分出無窮小 然后再求極限 高等數學第一章的總結課件 26 例 解 先變形再求極限 高等數學第一章的總結課件 27 例 證明 證 利用夾逼準則 且 由 高等數學第一章的總結課件 28 例 高等數學第一章的總結課件 29 1 求極限 解 原式 2 求極限 提示 原式 左邊 右邊 高等數學第一章的總結課件 30 故極限存在 例 設 且 求 解 設 則由遞推公式有 數列單調遞減有下界 故 利用極限存在準則 高等數學第一章的總結課件 31 思考與練習 1 如何判斷極限不存在 方法1 找一個趨于 的子數列 方法2 找兩個收斂于不同極限的子數列 2 已知 求 時 下述作法是否正確 說明理由 設 由遞推式兩邊取極限得 不對 此處 高等數學第一章的總結課件 32 例 解 高等數學第一章的總結課件 33 意義 高等數學第一章的總結課件 34 定理 意義 1 極限符號可以與函數符號互換 高等數學第一章的總結課件 35 定理 注意 該定理是上個定理的特殊情況 高等數學第一章的總結課件 36 無窮小 量 無窮小的性質 無窮小的比較 常用等價無窮小 兩個重要極限 2 1 高等數學第一章的總結課件 37 兩個重要極限 或 高等數學第一章的總結課件 38 思考與練習 填空題 1 4 高等數學第一章的總結課件 39 例 求下列極限 提示 高等數學第一章的總結課件 40 令 高等數學第一章的總結課件 41 則有 復習 若 高等數學第一章的總結課件 42 則 2 填空題 1 2 0 高等數學第一章的總結課件 43 極限的計算方法 1 極限的四則運算法則及其推論 2 多項式與分式函數代入法求極限 3 消去零因子法求極限 4 無窮小因子分出法 等價無窮小代換 求極限 5 利用無窮小運算性質求極限 6 利用左右極限求分段函數極限 7 復合函數極限運算法則 尤其利用復合函數連續性 8 利用兩邊夾逼準則求極限 9 利用羅比達法則求極限 10 利用泰勒公式求極限 11 利用定積分求極限 12 利用無窮級數的性質求極限 高等數學第一章的總結課件 44 思考題 在某個過程中 若有極限 無極限 那么是否有極限 為什么 與 是否有極限 高等數學第一章的總結課件 45 思考題解答 沒有極限 假設有極限 有極限 由極限運算法則可知 必有極限 與已知矛盾 故假設錯誤 高等數學第一章的總結課件 46 思考題 任何兩個無窮小都可以比較嗎 高等數學第一章的總結課件 47 思考題解答 不能 例當時 都是無窮小量 但 不存在且不為無窮大 故當時 高等數學第一章的總結課件 48 例 解 高等數學第一章的總結課件 49 例 高等數學第一章的總結課件 50 例 高等數學第一章的總結課件 51 思考題 如何做 高等數學第一章的總結課件 52 說明 對于形如 的函數 通常稱為冪指函數 如果 那么有 高等數學第一章的總結課件 53 思考題 高等數學第一章的總結課件 54 例 解 原式 例 求 高等數學第一章的總結課件 55 例 解 解法討論 典型例題 高等數學第一章的總結課件 56 高等數學第一章的總結課件 57 例 高等數學第一章的總結課件 58 例 高等數學第一章的總結課件 59 三 連續與間斷 1 函數連續的等價形式 有 2 函數間斷點 第一類間斷點 第二類間斷點 可去間斷點 跳躍間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點 高等數學第一章的總結課件 60 小結 1 函數在一點連續必須滿足的三個條件 3 間斷點的分類與判別 2 區間上的連續函數 第一類間斷點 左右極限都存在的間斷點 第二類間斷點 左右極限至少有一個不存在的間斷點 間斷點 見下圖 高等數學第一章的總結課件 61 可去型 第一類間斷點 跳躍型 無窮型 振蕩型 第二類間斷點 高等數學第一章的總結課件 62 閉區間連續函數的性質小結 在 上有最大值與最小值 上可取最大值與最小值之間的任何值 3 若 使 至少存在一個 上有界 在 在 高等數學第一章的總結課件 63 思考題 高等數學第一章的總結課件 64 思考題解答 且 高等數學第一章的總結課件 65 但反之不成立 例 但 高等數學第一章的總結課件 66 例 解 高等數學第一章的總結課件 67 高等數學第一章的總結課件 68 例 證明 討論 高等數學第一章的總結課件 69 由零點定理知 綜上 高等數學第一章的總結課件 70 例設f x 在 a b 內連續 x1 x2 xn是 a