,.;.首先我們來看看幾大定理：中值定理1、 介值定理： 設函數 f(x) 在閉區間 a,b 上連續，且在該區間的端點取不同的函數值 f(a)=a 及 f(b)=b，那么對于 a 與 b 之間的任意一個數 c，在開區間 (a,b)內至少有一點 使得f( )=c(a b).ps:c是介于 a、b 之間的，結論中的 取開區間。介值定理的推論：設函數f(x) 在閉區間 a,b 上連續 ,則 f(x)在a,b 上有最大值m ，最小值m, 若 mc m,則必存在 a,b,使得 f( )=c。（閉區間上的連續函數必取得介于最大值 m 與最小值 m 之間的任何值。此條推論運用較多）ps：當題目中提到某個函數f(x),或者是它的幾階導函數在某個閉區間上連續，那么該函數或 者其幾階導函數必可以在該閉區間上取最大值和最小值，那么就對于在最大值和最小值之間的任何一個值，必存在一個變量使得該值等于變量處函數值。2、 零點定理：設函數f(x) 在閉區間 a,b 上連續 ,且 f(a) 與 f(b)異號，即f(a).f(b)0, 那么在開區間內至少存在一點 使得 f( )=0.ps:注意條件是閉區間連續，端點函數值異號，結論是開區間存在點使函數值為0.3、 羅爾定理：如果函數f(x) 滿足：（1） 、在閉區間 a,b 上連續；（2） 、在開區間 (a,b)內可導 ;（3） 、在區間端點處函數值相等，即f(a)=f(b).那么在 (a,b)內至少有一點(a b), 使得 f(x)=0; 4、 拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：（1） 、在閉區間 a,b 上連續；（2） 、在開區間 (a,b)內可導 ;那么在 (a,b)內至少有一點(a b), 使得f(b)-f(a)=f( ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函數f(x) 及 g(x)滿足（1） 、在閉區間 a,b 上連續；（2） 、在開區間 (a,b)內可導 ;（3）、對任一 x(ax0)上具有二階連續導數，f(0)=0(1) 、寫出 f(x) 的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式(2) 、證明在 -a,a 上至少存在一點使得第一問課本上記住了寫出來就行，考的很基礎a3 f ()a3f ( x)dxa（1）、f ( x)f (0)f ( 0) x 1!f (2!) x2f ( 0)xf(2!) x2(2)、第二問先將第一問的式子f(x)代入看看有什么結果出來af ( x)dxaaf ()a2x 2dx ，f () 此處不能直接拿到積分號外面，因為他不是與x 無關的數。 做到這兒， 我們想辦法把他弄到積分號外面似乎就能出來，有了這樣想法就得尋求辦法。題目中說道f(x) 有二階連續導數，為何要這樣說呢，我們知道連續函數有最大值，最小值，往往會接著和介值定理一起運用。所以有：因為f(x) 有二階連續導數，所以存在最大值和最小值，設為m,m則對于區間-a,a ，mf ( x)m , mx 2f ()x 2mx 22 ma3m a x2 dxaa2f ()x 2 dxmx 2 dxma 33 a3amfa 3aaa3( x)dxm所以由介值定理有結論成立。ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運用。題目中說的很明白的， 有二階連續導數，往往當題目中提及到什么連續啊，特別是對于導函數連續的，我們總得注意下他有最大值，最小值，進而與介值定理聯合運用。5、設 f(x) 在 0, 上連續，且f ( x) dx00,f (x)0cosxdx0 .證明：在(0,) 內至少存在兩個不同點1、 2使得f (1 )f (2 )0本題看似很簡潔，但做起來去不容易。結論是證明等式成立且為0，很容易讓我們想到羅爾定理，我們如果能找到三個點處函數值相等，那么是不是就能有些思路了呢。x令： f ( x)f (t )dt, x00, ， f (0)f ()0似 乎 只 需 在 找 出 一 點f(c)=0即 可 。， 如 果 一 切 如 我 們 所 想 ， 證 明 也 就 完 成 了 。f (x)0sin x0cosxdxf ( x)dxcosxdf( x)00cosxf (x) 0sin x0f ( x) dx0似乎已經找到這個點了。但是積分中值定理中，是取閉區間， 如果要用的話得先構造函數用x拉格朗日中值定理來證明其在開區間內成立。構造函數g( x)sint0f (t )dt, x0,具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到c( 0,),使得g(c)0,即sin cf (c)0, 所以f (c)0所以有：f (0)f (c)f ()0,c(0,)接下來的證明就和第一題中第二小問一樣了，具體就不去證明了，自己證，關鍵掌握方法， 思路。ps：本題是02 年左右的數一一道證明題，看看題目很簡潔，但具體來做，如果對定理的運用不熟練，還是不好弄出來。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0，容易想到積分中值定理， 以及羅爾定理。 但是積分中值定理是對于閉區間而言，而我們要用到開區間， 只能自己構造函數來證明其在開區間內成立，如果在實際做題的時候你不證明直接用，估計一半的分都沒了。本題關鍵的就是尋找這個點c，找出來了其他的都不是問題，既然是關鍵 點，那得分點也肯定最多了，你不證明這個點，直接套用課本中定理（如果用的話，得分類討論了），硬是說c 點就成立，那估計一半的分都沒了。對于中值定理這章，就先給出上面一些經典的題目，大家好好體會下，多做些題，多思考。下面來講講對于證明題中的，函數如何來構造： 基本上都是從結論出發，運用求導或是積分， 或是求微分方程，解出來也可。本人自己總結了一些東西，與大家交流下：首先我們來看看一些構造函數基本方法：一、要證明的等式是一階導數與原函數之間的關系：一般都會構造出g( x)xxxex 或者 ex或者 xn , n為任意常數1、如果只是單純導函數和原函數之間關系，想想構造帶有ex 或者e xf ( x)f (x)可以構造g (x)xf (x)ef ( x)f (x)0 可構造g( x)f ( x)exf ( x)f (x)可構造g( x)f ( x)exexxf (t )dtaf (x) 這個也是原函數與一階導函數問題，構造函數g( x)e xfxa(t )dtf ( x)( f ( x)x)1先將其變形下：f ( x)f ( x)1x 左邊是導函數與原函數關系可構造：f ( x)ex右邊可以看成是xx 也成了導函數和原函數之間關系，如是可以構造：x從而ex要構造的函數就是：g( x)( f ( x)x)ex2、如果還涉及到變量x，想想構造x nxf ( x)f ( x)0 可構造g( x)f ( x)xf ( x)2 f ( x) x可構造g( x)f ( x)x2xf ( x)nf ( x)0 可構造g(x)f ( x)xn3、另外還可以解微分方程來構造函數：如 xf (x)f ( x)0f ( x)x, f ( x)ln f ( x)1 x 2c2ln f2 ( x)ex 2cf 2 ( x)ex 2c所以構造函數g( x)f 2 ( x)ex2二、二階導數與原函數之間關系構造帶有ex或者e xf ( x)f ( x)如何構造如下：f ( x)f ( x)f ( x)f (x) 對于此式子， 你會不會有所想法呢，在上面講到一階導函數與原函數之間的構造方法，等式前面也可以看成是一階導函數與原函數（只不過原函數是f ( x)）之間關系，從而等式左邊可以構造f ( x)xe 等式右邊可以構造f (x)xe 總的構造出來函數為：g( x)( f ( x)f (x)ex另：如果這樣變形：( f ( x)f ( x)( f ( x)f ( x)0構造函數如下：g( x)( f ( x)f ( x)e，可以看上面原函數與導函數之間關系如何構x造的。從而對于此函數構造有兩種方法，具體用哪一種構造得看題目給的條件了。如果題目給了f ( x)f ( x) 為什么值可以考慮第一中構造函數，如果題目給了f ( x)f ( x) ，則可以考慮第二種構造方法。f ()3 f ()2 f ()0先變形：變成一階導函數和原函數之間關系f ()f ( x)e2 f (2 x)f (x)f ()e 2 x2 f ()e2 x所以構造的函數為：g( x)( f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)0這個函數確實不好構造，如果用微分方程來求會遇到復數根。g( x)g( x)f 2 ( x)2 f ( x)( f ( x) 2( f ( x)f ( x)實際做的時候還得看題目是否給了f ( x)的一些條件，如果在某個開區間內不為0，而構造出來的函數在閉區間端點取值相等，便可用羅而定理來證明。具體來看看題目：1、 設f (x) 在0,1 上連續，在 (0,1)內可導，且f(0)=f(1)=0,f(1 /2)=1 證明：（1） 、存在( 1 ,1), 使得 f () 2（2） 、存在(0,),使得f ()f ()1（1） 、對一問直接構造函數用零點定理：f ( x)f ( x)x 具體詳細步驟就不寫了。（2） 、該問主要問題是如何構造函數：如果熟練的話用上面所講方法來構造：f ()f ()1先變形f ()f ( f ( x)e x)1xe x構造函數為g( x)( f ( x)x)e x另：用微分方程求解法來求出要構造的函數f ()1f ()( f (x)x)f ( x)xln( f (x)x)xcf ( x)xex cexc( f (x)x)e xc把常數退換掉之后就是要構造的函數g( x)( f (x)x) e x函數構造出來了，具體步驟自己去做。b2、設f ( x)在a,b 上連續， f(x) 在(a,b)內二階可導， f(a)=f(b)=0,f (x)dx0a證明：（ 1）存在1 ,2(a,b)使得f ( 1 )f (1 ), f (2 )f (2 )（ 2）存在(a, b),1 ,2使得f ()f ()（1） 、第一問中的函數構造：f ( x)f ( x)e x（2） 、第二問中函數構造有兩種構造方法，上面講解中說道了我們在這用第一種g( x)( f ( x)xf (x)e原因在于第一問中f ( x)f ( x) =0 符合此題構造。具體詳細步驟自己去寫寫。3、設奇函數f (x)在1,1 上具有二階導數，且f(1)=1,證明：(1) 存在(0,1),使得f ()1(2) 存在(1,1), 使得f ()f ()1第一問中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點本題很容易想到用羅爾定理構造函數來求，因為涉及到了導函數（1） 、 f (x)f (x)x ，題目中提到奇函數，f(0)=0有 f(0)=f(1)=0 從而用羅爾定理就出來了。（2） 、第二問中的結論出發來構造函數，從上面講的方法來看，直接就可以寫出要構造的函數先變形下：f (f ( x)g( x)exf