換元積分法第四章不定積分

基礎(chǔ)教學(xué)部第一換元積分法01第二換元積分法02目錄4.2.1第一換元積分法3例1求．解被積函數(shù)中，是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用，為此我們把原積分作下列變形：作變換，有再以代入，得4.2.1第一換元積分法4定理4.3

設(shè)有原函數(shù)，且是可導(dǎo)函數(shù)，則上述公式稱為第一換元公式．一般地，若求不定積分，且被積函數(shù)可以寫成即可用此方法解決，過程如下：上述求不定積分的方法稱為第一換元積分法，它是復(fù)合函數(shù)微分法的逆運(yùn)算．上式中由湊成微分是關(guān)鍵的一步，因此，第一換元積分法又稱湊微分法．4.2.1第一換元積分法5例2求解設(shè)，則，從而例3求解設(shè)，則，從而4.2.1第一換元積分法6例4求解設(shè)，則，從而當(dāng)運(yùn)算熟練后，設(shè)變量代換和回代這兩個步驟可省略不寫，而直接求解.4.2.1第一換元積分法7例5求解例6求解4.2.1第一換元積分法8例7求解例8求解同理

4.2.1第一換元積分法9例9求解例10求解同理

4.2.1第一換元積分法10例11求解利用例10結(jié)論，得同理

4.2.1第一換元積分法11例12求解例13求解4.2.1第一換元積分法12例15求解例16求解4.2.1第一換元積分法13例17求解例18求解設(shè)，則4.2.1第一換元積分法14例19求解設(shè)，則使用第一換元積分法的關(guān)鍵是設(shè)法把被積函數(shù)表達(dá)式湊成

的形式，以便選取變換，化為易積分的，最終不要忘記把新引入的變元還原成起初的變元．第一換元積分法01第二換元積分法02目錄4.2.2第二換元積分法16例20求解令，即，，則又設(shè)的一個原函數(shù)為，則4.2.2第二換元積分法17定理4.4（第二換元積分法）設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且，上述公式稱為第二換元公式．一般地，求積分時，如果設(shè)，且滿足定理4.4的條條件，則根據(jù)第二換元公式求積分的過程如下：4.2.2第二換元積分法18例21求解令，即，，則4.2.2第二換元積分法19例22求解令，，則4.2.2第二換元積分法20例23求解令，則，，由于，所以于是4.2.2第二換元積分法21例24求解令，則，，由于，所以于是4.2.2第二換元積分法22例25求解令，則，，由于，所以于是4.2.2第二換元積分法23被積函數(shù)中含有根式類型的不定積分換元?dú)w納如下：（1）含有根式時，令；（2）同時含有根式和根式時，令，其中是

的最小公倍數(shù)；（3）含有根式時，令；（4）含有根式時，令；（5）含有根式時，令.

另外，當(dāng)被積函數(shù)的分母次冪較高時，還有經(jīng)常用倒代換，利用它可以消去被積函數(shù)分母中的變量.4.2.2第二換元積分法24例26求解本題除了作三角代換去求解外，還可以用倒代換.設(shè)，則，于是4.2.2第二換元積分法25在基本積分公