2013年全國統一高考數學試卷（文科）（大綱版）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）設集合U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，則UA=（）A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5D2（5分）若為第二象限角，sin=，則cos=（）ABCD3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D14（5分）不等式|x22|2的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）5（5分）（x+2）8的展開式中x6的系數是（）A28B56C112D2246（5分）函數f（x）=log2（1+）（x0）的反函數f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）7（5分）已知數列an滿足3an+1+an=0，a2=，則an的前10項和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）8（5分）已知F1（1，0），F2（1，0）是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且|AB|=3，則C的方程為（）ABCD9（5分）若函數y=sin（x+）（0）的部分圖象如圖，則=（）A5B4C3D210（5分）已知曲線y=x4+ax2+1在點（1，a+2）處切線的斜率為8，a=（）A9B6C9D611（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD12（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M（2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若，則k=（）ABCD2二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）設f（x）是以2為周期的函數，且當x1，3）時，f（x）=x2，則f（1）= 14（5分）從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有 種（用數字作答）15（5分）若x、y滿足約束條件，則z=x+y的最小值為 16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，則球O的表面積等于 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）等差數列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通項公式； （）設bn=，求數列bn的前n項和Sn18（12分）設ABC的內角A，B，C的內角對邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形（）證明：PBCD；（）求點A到平面PCD的距離20（12分）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判（）求第4局甲當裁判的概率；（）求前4局中乙恰好當1次裁判概率21（12分）已知函數f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=時，討論f（x）的單調性；（）若x2，+）時，f（x）0，求a的取值范圍22（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為（I）求a，b；（II）設過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數列2013年全國統一高考數學試卷（文科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）設集合U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，則UA=（）A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5D【分析】由題意，直接根據補集的定義求出UA，即可選出正確選項【解答】解：因為U=1，2，3，4，5，集合A=1，2所以UA=3，4，5故選：B【點評】本題考查補集的運算，理解補集的定義是解題的關鍵2（5分）若為第二象限角，sin=，則cos=（）ABCD【分析】由為第二象限角，得到cos小于0，根據sin的值，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cos的值【解答】解：為第二象限角，且sin=，cos=故選：A【點評】此題考查了同角三角函數間的基本關系，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D1【分析】利用向量的運算法則、向量垂直與數量積的關系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故選：B【點評】熟練掌握向量的運算法則、向量垂直與數量積的關系是解題的關鍵4（5分）不等式|x22|2的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）【分析】直接利用絕對值不等式的解法，去掉絕對值后，解二次不等式即可【解答】解：不等式|x22|2的解集等價于，不等式2x222的解集，即0x24，解得x（2，0）（0，2）故選：D【點評】本題考查絕對值不等式的解法，考查轉化思想與計算能力5（5分）（x+2）8的展開式中x6的系數是（）A28B56C112D224【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為6求出x6的系數【解答】解：（x+2）8展開式的通項為T r+1=Cx 8r2 r令8r=6得r=2，展開式中x6的系數是2 2C82=112故選：C【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具6（5分）函數f（x）=log2（1+）（x0）的反函數f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）【分析】把y看作常數，求出x：x=，x，y互換，得到y=log2（1+）的反函數注意反函數的定義域【解答】解：設y=log2（1+），把y看作常數，求出x：1+=2y，x=，其中y0，x，y互換，得到y=log2（1+）的反函數：y=，故選：A【點評】本題考查對數函數的反函數的求法，解題時要認真審題，注意對數式和指數式的相互轉化7（5分）已知數列an滿足3an+1+an=0，a2=，則an的前10項和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【分析】由已知可知，數列an是以為公比的等比數列，結合已知可求a1，然后代入等比數列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0數列an是以為公比的等比數列a1=4由等比數列的求和公式可得，S10=3（1310）故選：C【點評】本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎試題8（5分）已知F1（1，0），F2（1，0）是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且|AB|=3，則C的方程為（）ABCD【分析】設橢圓的方程為，根據題意可得=1再由AB經過右焦點F2且垂直于x軸且|AB|=3算出A、B的坐標，代入橢圓方程得，兩式聯解即可算出a2=4，b2=3，從而得到橢圓C的方程【解答】解：設橢圓的方程為，可得c=1，所以a2b2=1AB經過右焦點F2且垂直于x軸，且|AB|=3可得A（1，），B（1，），代入橢圓方程得，聯解，可得a2=4，b2=3橢圓C的方程為 故選：C【點評】本題給出橢圓的焦距和通徑長，求橢圓的方程著重考查了橢圓的標準方程和橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于基礎題9（5分）若函數y=sin（x+）（0）的部分圖象如圖，則=（）A5B4C3D2【分析】利用函數圖象已知的兩點的橫坐標的差值，求出函數的周期，然后求解【解答】解：由函數的圖象可知，（x0，y0）與，縱坐標相反，而且不是相鄰的對稱點，所以函數的周期T=2（）=，所以T=，所以=4故選：B【點評】本題考查三角函數解析式以及函數的周期的求法，考查學生的視圖用圖能力10（5分）已知曲線y=x4+ax2+1在點（1，a+2）處切線的斜率為8，a=（）A9B6C9D6【分析】先求導函數，再利用導數的幾何意義，建立方程，即可求得a的值【解答】解：y=x4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲線y=x4+ax2+1在點（1，a+2）處切線的斜率為8，42a=8a=6故選：D【點評】本題考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基礎題11（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】設AB=1，則AA1=2，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設=（x，y，z）為平面BDC1的一個法向量，CD與平面BDC1所成角為，則sin=|，在空間坐標系下求出向量坐標，代入計算即可【解答】解：設AB=1，則AA1=2，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，如下圖所示：則D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），設=（x，y，z）為平面BDC1的一個法向量，則，即，取=（2，2，1），設CD與平面BDC1所成角為，則sin=|=，故選：A【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運算及應用，準確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關系是解決問題的關鍵12（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M（2，2），過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若，則k=（）ABCD2【分析】斜率k存在，設直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出k的值【解答】解：由拋物線C：y2=8x得焦點（2，0），由題意可知：斜率k存在，設直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，得到k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，設A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故選：D【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）設f（x）是以2為周期的函數，且當x1，3）時，f（x）=x2，則f（1）=1【分析】利用函數的周期，求出f（1）=f（1），代入函數的解析式求解即可【解答】解：因設f（x）是以2為周期的函數，且當x1，3）時，f（x）=x2，則f（1）=f（1）=12=1故答案為：1【點評】本題考查函數的周期的應用，函數值的求法，值域函數的定義域是解題的關鍵，考查計算能力14（5分）從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有60種（用數字作答）【分析】6名選手中決出1名一等獎有種方法，2名二等獎，種方法，利用分步計數原理即可得答案【解答】解：依題意，可分三步，第一步從6名選手中決出1名一等獎有種方法，第二步，再決出2名二等獎，有種方法，第三步，剩余三人為三等獎，根據分步乘法計數原理得：共有=60種方法故答案為：60【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，掌握分步計數原理是解決問題的關鍵，屬于中檔題15（5分）若x、y滿足約束條件，則z=x+y的最小值為0【分析】作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的ABC及其內部，再將目標函數z=x+y對應的直線進行平移，可得當x=y=1時，目標函數z取得最小值，從而得到本題答案【解答】解：作出不等式組表示的平面區域，得到如圖的ABC及其內部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）設z=F（x，y）x+y，將直線l：z=x+y進行平移，當l經過點A時，目標函數z達到最小值z最小值=F（1，1）=1+1=0故答案為：0【點評】題給出二元一次不等式組，求目標函數z=x+y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，則球O的表面積等于16【分析】正確作出圖形，利用勾股定理，建立方程，即可求得結論【解答】解：如圖所示，設球O的半徑為r，AB是公共弦，OCK是面面角根據題意得OC=，CK=在OCK中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球O的表面積等于4r2=16故答案為16【點評】本題考查球的表面積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）等差數列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通項公式； （）設bn=，求數列bn的前n項和Sn【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結合等差數列的通項公式可求a1，d，進而可求an（II）由=，利用裂項求和即可求解【解答】解：（I）設等差數列an的公差為da7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=（II）=sn=【點評】本題主要考查了等差數列的通項公式及裂項求和方法的應用，試題比較容易18（12分）設ABC的內角A，B，C的內角對邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C【分析】（I）已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，整理后得到關系式，利用余弦定理表示出cosB，將關系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（II）由（I）得到A+C的度數，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（AC），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函數值求出AC的值，與A+C的值聯立即可求出C的度數【解答】解：（I）（a+b+c）（ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又B為三角形的內角，則B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2=，AC=30或AC=30，則C=15或C=45【點評】此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形（）證明：PBCD；（）求點A到平面PCD的距離【分析】（I）取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE，證明PBOE，OECD，即可證明PBCD；（II）取PD的中點F，連接OF，證明O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，即可求得點A到平面PCD的距離【解答】（I）證明：取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE由PAB和PAD都是等邊三角形知PA=PB=PDOA=OB=OD，即O為正方形ABED對角線的交點OEBD，PBOEO是BD的中點，E是BC的中點，OECDPBCD；（II）取PD的中點F，連接OF，則OFPB由（I）知PBCD，OFCD，=POD為等腰三角形，OFPDPDCD=D，OF平面PCDAECD，CD平面PCD，AE平面PCD，AE平面PCDO到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離OF=點A到平面PCD的距離為1【點評】本題考查線線垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生轉化的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題20（12分）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判（）求第4局甲當裁判的概率；（）求前4局中乙恰好當1次裁判概率【分析】（I）設A1表示事件“第二局結果為甲勝”，A2表示事件“第三局甲參加比賽結果為甲負”，A表示事件“第四局甲當裁判”，可得A=A1A2利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出；（II）設B1表示事件“第一局比賽結果為乙勝”，B2表示事件“第二局乙參加比賽結果為乙勝”，B3表示事件“第三局乙參加比賽結果為乙勝”，B表示事件“前4局中乙恰好當1次裁判”可得B=，利用互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式即可得出【解答】解：（I）設A1表示事件“第二局結果為甲勝”，A2表示事件“第三局甲參加比賽結果為甲負”，A表示事件“第四局甲當裁判”則A=A1A2P（A）=P（A1A2）=（II）設B1表示事件“第一局比賽結果為乙勝”，B2表示事件“第二局乙參加比賽結果為乙勝”，B3表示事件“第三局乙參加比賽結果為乙勝”，B表示事件“前4局中乙恰好當1次裁判”則B=，則P（B）=P（）=+=+=【點評】正確理解題意和熟練掌握相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式是解題的關鍵21（12分）已知函數f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=時，討論f（x）的單調性；（）若x2，+）時，f（x）0，求a的取值范圍【分析】（I）把a=代入可得函數f（x）的解析式，求導數令其為0可得x=，或x=，判斷函數在區間（，），（，），（，+）的正負可得單調性；（II）由f（2）0，可得a，當a，x（2，+）時，由不等式的證明方法可得f（x）0，可得單調性，進而可得當x2，+）時，有f（x）f（2）0成立，進而可得a的范圍【解答】解：（I）當a=時，f（x）=x3+3x2+3x+1，f（x）=3x2+6x+3，令f（x）=0，可得x=，或x=，當x（，）時，f（x）0，f（x）單調遞增，當x（，）時，f（x）0，f（x）單調遞減，當x（，+）時，f（x）0，f（x）單調遞增；（II）由f（2）0，可解得a，當a，x（2，+）時，f（x）=3（x2+2ax+1）3（）=3（x）（x2）0，所以函數f（x）在（2，+）單調遞增，于是當x2，+）時，f（x）f（2）0，綜上可得，a的取值范圍是，+）【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，涉及函數的最值問題，屬中檔題22（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為3，直線y=