南京市、鹽城市2015屆高三年級第二次模擬考試數 學一、 填空題1、函數的最小正周期為 。2、已知復數，其中是虛數單位，則復數在復平面上對應的點位 于第 象限。3、右圖是一個算法流程圖，如果輸入的值是，則輸出的值是 。4、某工廠為了了解一批產品的凈重（單位：克）情況，從中隨機抽測了100件產品的凈重， 所得數據均在區間96，106中，其中頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100件產品中，凈重在區100，104上的產品件數是 。若紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是 。6、如圖，在平面四邊形ABCD中，AC,BD相交于點O，E為線段AO的中點，若（），則 7、已知平面，直線，給出下列命題：若，則，若，則，若，則，若， ，則.其中是真命題的是 。（填寫所有真命題的序號）。8、如圖，在中，D是BC上的一點。已知，則AB= 。9、在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線C：的焦點為F，定點，若射線FA與拋物線C相交于點M，與拋物線C的準線相交于點N，則FM：MN= 。10、記等差數列的前n項和為，已知，且數列也為等差數列，則= 。11、已知知函數，則不等式的解集是 。12、在平面直角坐標系中，已知：，為與x負半軸的交點，過A作的弦AB，記線段AB的中點為M.則直線AB的斜率為 。13、已知均為銳角，且，則的最大值是 。14、已知函數，當時，關于的方程的所有解的和為 。二、解答題15、在中，角A、B、C的對邊分別為.已知.(1)若,求的面積；(2)設向量，且，求 的值。16、如圖，在四棱錐PABCD中，.（1）求證：平面；（2）若M為線段PA的中點，且過三點的平面與PB交于點N，求PN：PB的值。(第16題圖)PABCDM17右圖為某倉庫一側墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調節倉庫內的濕度和溫度，現要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH（其中E，F在圓弧AB上，G，H在弦AB上）。過O作，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知（單位：m）,記通風窗EFGH的面積為S（單位：）（1）按下列要求建立函數關系式： （i）設，將S表示成的函數；(ii)設，將S表示成的函數；（2）試問通風窗的高度MN為多少時？通風窗EFGH的面積S最大？18、如圖，在平面直角坐標系中，橢圓E：的離心率為，直線l：與橢圓E相交于A，B兩點，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N.（1）求的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值。xyAOBCDMN(第18題圖)19、已知函數，其中為常數.(1)若,求曲線在點處的切線方程.(2)若,求證：有且僅有兩個零點；(3)若為整數，且當時，恒成立，求的最大值。20給定一個數列，在這個數列中，任取項，并且不改變它們在數列中的先后次序，得到的數列的一個階子數列。已知數列的通項公式為，等差數列，是數列的一個3子階數列。（1） 求的值；（2） 等差數列是的一個階子數列，且，求證：（3） 等比數列是的一個階子數列，求證：南京市、鹽城市2015屆高三年級第二次模擬考試數學附加題21、選做題A，選修4-1；幾何證明選講如圖，過點A的圓與BC切于點D，且與AB、AC分別交于點E、F.已知AD為BAC的平分線，求證：EF|BCBADECF（第21A題圖）B選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣 ，A的逆矩陣（1） 求a,b的值； （2）求A的特征值。 C選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xoy中，已知曲線C：，直線l：.設曲線C與直線l交于A，B兩點，求線段AB的長度。D選修4-5：不行等式選講已知x,y,z都是正數且xyz=1,求證：(1+x)(1+y)(1+z)822、甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束。除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立.(1)分別求甲隊以3：0，3：1，3：2獲勝的概率；（2）若比賽結果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為3:2，則勝利方得2分、對方得1分.求甲隊得分X的分布列及數學期望。23、（本小題滿分10分） 已知，定義（1） 記 ，求的值；（2）記 ，求所有可能值的集合。 南京市、鹽城市2015屆高三年級第二次模擬考試數學參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1p 2一 32 455 5 6 7 8 9 1050 11(1，2) 12 2 13 141000015（本小題滿分14分）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c已知cosC（1）若，求ABC的面積；（2）設向量x(2sin，)，y(cosB，cos)，且xy，求sin(BA)的值解：（1）由，得abcosC 又因為cosC，所以ab 2分又C為ABC的內角，所以sinC 4分所以ABC的面積SabsinC3 6分（2）因為x/y，所以2sincoscosB，即sinBcosB 8分因為cosB0，所以tanB因為B為三角形的內角，所以B 10分所以AC，所以AC 所以sin(BA)sin(A)sin(C)sinCcosC 14分16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中， ADCDAB， ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求證：BC平面PAC；(第16題圖)PABCDM（2）若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PN：PB的值證明：（1）連結AC不妨設AD1因為ADCDAB，所以CD1，AB2因為ADC90，所以AC，CAB45在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2所以BCAC 3分因為PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC 5分因為PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC 7分(第16題圖)PABCDMN（2）如圖，因為ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN 9分因為AB平面PAB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN 12分在PAB中，因為M為線段PA的中點，所以N為線段PB的中點，即PN：PB的值為 14分17（本小題滿分14分）右圖為某倉庫一側墻面的示意圖，其下部是一個矩形ABCD，上部是圓弧AB，該圓弧所在圓的圓心為O為了調節倉庫內的濕度和溫度，現要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH(其中E，F在圓弧AB上， G，H在弦AB上)過O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圓弧AB于P已知OP10，MP6.5（單位：m），記通風窗EFGH的面積為S（單位：m2） EBGANDMCFOHP(第17題圖)（1）按下列要求建立函數關系式：(i)設POF (rad)，將S表示成的函數；(ii)設MNx (m)，將S表示成x的函數； （2）試問通風窗的高度MN為多少時，通風窗EFGH的面積S最大？解：（1）由題意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5(i)在RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos在矩形EFGH中，EF2MF20sin，FGONOM10cos3.5，故SEFFG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函數關系是S10sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因為MNx，OM3.5，所以ONx3.5在RtONF中，NF在矩形EFGH中，EF2NF，FGMNx，故SEFFGx即所求函數關系是Sx，0x6.5 8分（2）方法一：選擇(i)中的函數模型：令f()sin(20cos7)，則f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因為00，所以coscos0，所以cos 設cos，且為銳角，則當(0，)時，f ()0 ，f()是增函數；當(，0)時，f ()0 ，f()是減函數， 所以當，即cos時，f()取到最大值，此時S有最大值即MN10cos3.54.5m時，通風窗的面積最大 14分方法二：選擇(ii)中的函數模型：因為S ，令f(x)x2(35128x4x2)，則f (x)2x(2x9)(4x39) 10分 因為當0x時 ，f (x)0，f(x)單調遞增，當x時，f (x)0，f(x)單調遞減， 所以當x時，f(x)取到最大值，此時S有最大值 即MNx4.5m時，通風窗的面積最大 14分18（本小題滿分16分）xyAOBCDMN(第18題圖)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：1(ab0) 的離心率為，直線l：yx與橢圓E相交于A，B兩點，AB2C，D是橢圓E上異于A，B的任意兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N （1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值解：（1）因為e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故橢圓方程為1由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C(x0，y0)，顯然k1k2從而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB 于是直線AD的方程為y1k2(x2)，直線BC的方程為y1(x2)由解得 從而點N的坐標為(，) 用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設DA的斜率為k2，由知kDB此時CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16分方法二：由（1）知，橢圓E的方程為 1，從而A(2，1)，B(2，1)當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2顯然k1k2直線AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0設點C的坐標為(x1，y1)，則2x1，從而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直線BC的方程為y1(x2)又直線AD的方程為y1k2(x2)由解得 從而點N的坐標為(，) 用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為(，) 11分所以kMN 1即直線MN的斜率為定值1 14分當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C(2，1)仍然設DA的斜率為k2，則由知kDB此時CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點N(2，1)，從而kMN1也成立由可知，直線MN的斜率為定值1 16分19（本小題滿分16分）已知函數f(x)1lnx，其中k為常數（1）若k0，求曲線yf(x)在點 (1，f(1)處的切線方程；（2）若k5，求證：f(x)有且僅有兩個零點；（3）若k為整數，且當x2時，f(x)0恒成立，求k的最大值（參考數據ln82.08，ln92.20，ln102.30）解：（1）當k0時，f(x)1lnx因為f (x)，從而f (1)1又f (1)1，所以曲線yf(x)在點 (1，f(1)處的切線方程y1x1，即xy0 3分（2）當k5時，f(x)lnx4因為f (x)，從而當x(0，10)，f (x)0，f(x)單調遞減；當x(10，)時，f (x)0，f(x)單調遞增所以當x10時，f(x)有極小值 5分因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之間有一個零點因為f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之間有一個零點從而f(x)有兩個不同的零點 8分（3）方法一：由題意知，1+lnx0對x(2，)恒成立，即k對x(2，)恒成立令h(x)，則h(x)設v(x)x2lnx4，則v(x)當x(2，)時，v(x)0，所以v(x)在(2，)為增函數因為v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 當x(2，x0)時，h(x)0，h(x)單調遞減，當x(x0，)時，h(x)0，h(x)單調遞增所以當xx0時，h(x)的最小值h(x0)因為lnx0，所以h(x0)(4，4.5) 故所求的整數k的最大值為4 16分方法二：由題意知，1+lnx0對x(2，)恒成立f(x)1+lnx，f (x) 當2k2，即k1時，f(x)0對x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上單調遞增而f(2)1ln20成立，所以滿足要求當2k2，即k1時，當x(2，2k)時，f (x)0， f(x)單調遞減，當x(2k，)，f (x)0，f(x)單調遞增所以當x2k時，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk從而f(x)0在x(2，)恒成立，等價于2ln2kk0令g(k)2ln2kk，則g(k)0，從而g(k) 在(1，)為減函數因為g(4)ln820，g(5)ln1030 ，所以使2ln2kk0成立的最大正整數k4綜合，知所求的整數k的最大值為4 16分20（本小題滿分16分）給定一個數列an，在這個數列里，任取m(m3，mN*)項，并且不改變它們在數列an中的先后次序，得到的數列稱為數列an的一個m階子數列已知數列an的通項公式為an (nN*，a為常數)，等差數列a2，a3，a6是數列an的一個3階子數列 （1）求a的值；（2）等差數列b1，b2，bm是an的一個m (m3，mN*) 階子數列，且b1 (k為常數，kN*，k2)，求證：mk1； （3）等比數列c1，c2，cm是an的一個m (m3，mN*) 階子數列，求證：c1c2cm2 解：（1）因為a2，a3，a6成等差數列，所以a2a3a3a6又因為a2，a3， a6，代入得，解得a0 3分（2）設等差數列b1，b2，bm的公差為d因為b1，所以b2，從而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因為bm0，所以0即m1k1所以mk2又因為m，kN*，所以mk1 9分（3）設c1 (tN*)，等比數列c1，c2，cm的公比為q因為c2，所以q 從而cnc1qn1（1nm，nN*） 所以c1c2cm1 13分設函數f(x)x，（m3，mN*）當x(0，)時，函數f(x)x為單調增函數因為當tN*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分南京市、鹽城市2015屆高三年級第二次模擬考試數學附加題參考答案A選修41：幾何證明選講BADECF（第21A題圖）如圖，過點A的圓與BC切于點D，且與AB、AC分別交于點E、F已知AD為BAC的平分線，求證：EFBC證明：如圖，連接EDBADECF（第21A題圖）因為圓與BC切于D，所以BDEBAD 4分因為AD平分BAC，所以BADDAC又DACDEF，所以BDEDEF所以EFBC 10分B選修42：矩陣與變換已知矩陣A， A的逆矩陣A1 （1）求a，b的值；（2）求A的特征值解：（1）因為A A1 所以 解得a1，b 5分（2）由（1）得A，則A的特征多項式f()(3)( 1)令f()0，解得A的特征值11，23 10分C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：(s為參數），直線l：（t為參數）設C與l交于A，B兩點，求線段AB的長度解：由消去s得曲線C的普通方程為yx2；由消去t得直線l的普通方程為y3x2 5分聯立直線方程與曲線C的方程，