專題33 直線（線段）平移【母題來源】2013年甘肅天水第25題（12分）【母題原題】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）。又點D在直線y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0。拋物線與直線只有一個公共點，=164m=0，解得：m=4。此時x1=x2=2，y=x23x=2。D點的坐標為（2，2）。（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點A關于直線OB的對稱點A的坐標是（0，3）。根據軸對稱性質和三線合一性質得出ABO=ABO，設直線AB的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直線AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點N在直線AB上。設點N（n，），又點N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）。N點的坐標為（）。如圖，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則N1（），B1（4，4）。O、D、B1都在直線y=x上。由勾股定理，得OD=，OB1=，P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1。點P1的坐標為（）。將OP1D沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（）。綜上所述，點P的坐標是（）或（）。【命題意圖】本題是基于二次函數的代數幾何綜合題，綜合考查了待定系數法求拋物線解析式、一次函數（直線）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉變換以及相似三角形等重要知識點。本題將初中階段重點代數、幾何知識熔于一爐，難度很大，對學生能力要求極高，具有良好的區分度，是一道非常好的中考壓軸題。1.【2013年江蘇揚州10分】如圖，拋物線交y軸于點A，交x軸正半軸于點B。（1）求直線AB對應的函數關系式；（2）有一寬度為1的直尺平行于x軸，在點A、B之間平行移動，直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ，設M點的橫坐標為m，且0m3試比較線段MN與PQ的大小。【答案】解：（1）當x=0時，y=8；當y=0時，x22x8=0，解得，x1=4，x2=8。A（0，8），B（4，0）。設一次函數解析式為y=kx+b，將A（0，8），B（4，0）分別代入解析式得，解得，。一次函數解析式為y=2x8。2.【2013年江蘇泰州10分】如圖，在平面直角坐標系中直線y=x2與y軸相交于點A，與反比例函數在第一象限內的圖象相交于點B（m，2）。（1）求反比例函數的關系式；（2）將直線y=x2向上平移后與反比例函數圖象在第一象限內交于點C，且ABC的面積為18，求平移后的直線的函數關系式。【答案】解：（1）將B坐標代入直線y=x2中得：m2=2，解得：m=4，B（4，2），即BE=4，OE=2。設反比例解析式為，將B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，反比例解析式為。（2）設平移后直線解析式為y=x+b，C（a，a+b），對于直線y=x2，令x=0求出y=2，得到OA=2，過C作CDy軸，過B作BEy軸，將C坐標代入反比例解析式得：a（a+b）=8，。聯立，解得：b=7。平移后直線解析式為y=x+7。3.【2013年湖南益陽10分】閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（xp，yp）由xpx1=x2xp，得，同理，所以AB的中點坐標為由勾股定理得，所以A、B兩點間的距離公式為。注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立。解答下列問題：如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C。（1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；（2）連結AB、AC，求證ABC為直角三角形；（3）將直線l平移到C點時得到直線l，求兩直線l與l的距離。（3）如圖，過點C作CGAB于G，過點A作AHPC于H，則H點的坐標為（，）。又直線l與l之間的距離等于點C到l的距離CG，直線l與l之間的距離為。4.【2013年福建晉江13分】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一動直線l從y軸出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點P，以OP為半徑的P與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B設直線l的運動時間為t秒（1）填空：當t=1時，P的半徑為 2 ，OA= 2 ，OB= 2 ；（2）若點C是坐標平面內一點，且以點O、P、C、B為頂點的四邊形為平行四邊形請你直接寫出所有符合條件的點C的坐標；（用含t的代數式表示）當點C在直線y=x上方時，過A、B、C三點的Q與y軸的另一個交點為點D，連接DC、DA，試判斷DAC的形狀，并說明理由【答案】解：（1）；2；2。（2）符合條件的點C有3個，分別為C1（t，3t）、C2（t，t）、C3（t，t）。（3）DAC是等腰直角三角形。理由如下：當點C在第一象限時，如圖2，連接DA、DC、PA、AC，由（2）可知，點C的坐標為（t，3t），由點P坐標為（t，t），點A坐標為（2t，0），點B坐標為（0，2t），可知OA=OB=2t，OAB是等腰直角三角形。又PO=PB，進而可得OPB也是等腰直角三角形，則POB=PBO=45。AOB=90，AB為P的直徑。A、P、B三點共線。又BCOP，CBE=POB=45。ABC=180CBEPBO=90。AC為Q的直徑。DADC。CDE+ADO=90。過點C作CEy軸于點E，則有DCE+CDE=90，ADO=DCE。RtDCERtADO，即，解得OD=t或OD=2t。依題意，點D與點B不重合，舍去OD=2t，只取OD=t。，即相似比為1，此時兩個三角形全等，則DC=AD。DAC是等腰直角三角形。當點C在第二象限時，如圖3，同上可證DAC也是等腰直角三角形。綜上所述，當點C在直線y=x上方時，DAC必為等腰直角三角形。正確作出圖形，找到線段CD與AD之間的關聯，這就是RtDCERtADO，通過計算可知其相似比為1，即兩個三角形全等，從而得到CD=AD，DAC為等腰直角三角形。本問符合條件的點C有2個，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示。5.【2013年甘肅天水12分】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）。（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點A關于直線OB的對稱點A的坐標是（0，3）。根據軸對稱性質和三線合一性質得出ABO=ABO，設直線AB的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直線AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點N在直線AB上。設點N（n，），又點N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去