拋物線的綜合問題課后練習（二）主講教師：紀榮強 北京四中數學教師題一： 已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點Al，B為直線AF與拋物線C的一個交點，若,則=_題二： 已知直線l與拋物線y28x交于A、B兩點，且l經過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是_題三： 已知圓C過定點F，且與直線x相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：yk(x1)(kR)相交于A、B兩點(1)求曲線E的方程；(2)當OAB的面積等于時，求k的值題四： 過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、ww()當時，求證：；()記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立若存在,求出的值；若不存在,說明理由題五： 已知拋物線C1：x2y，圓C2：x2(y4)21的圓心為點M(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點)，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程題六： 已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，F關于原點的對稱點為P過F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點有下列四個命題：PMN必為直角三角形；PMN不一定為直角三角形；直線PM必與拋物線相切；直線PM不一定與拋物線相切其中正確的命題是()A B C D拋物線的綜合問題課后練習參考答案題一： 4詳解：設A(-1，a)，B(m，n)，則，m= n，|a|=的焦點為F(1，0)題二： 詳解：由y28x知2p8，p4，設B點坐標為(xB，yB)，由AB直線過焦點F知8yB16，則yB2，xB線段AB中點到準線的距離為2題三： (1) y2x；(2)k詳解: (1)由題意，點C到定點F和直線x的距離相等，點C的軌跡方程為y2x(2)由方程組消去x后，整理得ky2yk0設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理有y1y2，y1y21設直線l與x軸交于點N，則N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1SOAB，所以，解得k題四： () 見詳解；()存在詳解：依題意，可設直線MN的方程為，則有由消去x可得從而有 于是 又由，可得 ()如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線此時可得證法1：證法2： ()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：記直線與x軸的交點為,則于是有 wwwks5ucOm 將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立題五： (1) ；(2)yx4詳解：(1)由題意可知，拋物線的準線方程為：y，所以圓心M(0,4)到準線的距離是 (2)設P(x0，x)，A(x1，x)，B(x2，x)，由題意得x00，x01，x1x2設過點P的圓C2的切線方程為yxk(xx0)，即ykxkx0x則1即(x1)k22x0(4x)k(x4)210設PA，PB的斜率為k1，k2(k1k2)，則k1，k2是上述方程的兩根，所以k1k2，k1k2將代入yx2得x2kxkx0x0，由于x0是此方程的根，故x1k1x0，x2k2x0，所以kAB x1x2k1k22x0 2x0，kMP由MPAB，得kABkMP1，解得x，即點P的坐標為，所以直線l的方程為yx4題六： A詳解：|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，從而可知MPN90 ，故正確，錯誤當x時，|y|p，|MF|NF|PF|p，故MPFNPF45，即MPN90；當M在第一象限時可得直線PM的斜率為1，可得直線PM方程為