11 8直線與圓錐曲線的位置關系 1 過點 2 4 作直線與拋物線y2 8x只有一個公共點 這樣的直線有 a 1條b 2條c 3條d 4條 b 2 若a b且ab 0 則直線ax y b 0和二次曲線bx2 ay2 ab的位置關系可能是 解析 由已知 直線方程可化為y ax b 其中a為斜率 b為縱截距 二次曲線方程可化為應用淘汰法可知a b d均自相矛盾 故選c 3 直線y kx k 1與橢圓的位置關系為 a 相交b 相切c 相離d 不確定 a 4 直線y kx 2與橢圓x2 4y2 80相交于不同的兩點p q 若pq的中點的橫坐標為2 則弦長 pq 等于 解析 由于y kx 2x2 4y2 80 消去y整理得 1 4k2 x2 16kx 64 0 設p x1 y1 q x2 y2 則x1 x2 得從而x1 x2 4 因此 5 若直線mx ny 4和圓o x2 y2 4沒有公共點 則過點 m n 的直線與橢圓的交點個數為 2 1 直線與圓的位置關系的判斷由圓心到直線的距離d與圓半徑r比較大小判斷位置關系 1 當d r時 直線與圓 2 當d r時 直線與圓 3 當d r時 直線與圓 相離 相切 相交 2 直線與圓錐曲線的位置關系的判斷判斷直線l與圓錐曲線c的位置關系時 可將直線l的方程代入曲線c的方程 消去y 或x 得一個關于變量x 或y 的一元二次方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 當a 0時 則有 l與c相交 l與c相切 l與c相離 0 0 0 2 當a 0時 即得到一個一次方程 則l與c相交 且只有一個交點 此時 若曲線c為雙曲線 則l于雙曲線的漸近線 若c為拋物線 則l于拋物線的對稱軸 平行 平行 3 弦長公式連接圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦 要能熟練地利用方程與根的系數關系來計算弦長 常用的弦長公式 ab 當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題 常用 韋達定理 設而不求計算弦長 考點1 直線與圓錐曲線的位置關系例題1 2010 棗莊模擬 設直線l y k x 1 與橢圓x2 3y2 a2 a 0 相交于a b兩個不同的點 與x軸相交于點c 記o為坐標原點 1 證明 a2 點評 在討論直線和圓錐曲線的位置關系時 先聯立方程組 再消去x 或y 得到關于y 或x 的方程 如果是直線與圓或橢圓 則所得方程一定為一元二次方程 如果是直線與雙曲線或拋物線 則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況 只有二次方程才有判別式 另外還應注意斜率不存在的情形 拓展練習 已知雙曲線c 2x2 y2 2與點p 1 2 求過點p 1 2 的直線l的斜率的取值范圍 使l與c分別有一個交點 兩個交點 沒有交點 解析 當l垂直x軸時 此時直線與雙曲線相切 當l不與x軸垂直時 設直線l的方程為y 2 k x 1 代入雙曲線c的方程中 并整理得 2 k2 x2 2 k2 2k x k2 4k 6 0 當k2 2 即時 為一次方程 顯然只有一解 當k2 2時 4 k2 2k 2 4 2 k2 k2 4k 6 48 32k 令 0 可解得令 0 即48 32k 0 此時令 0 即48 32k 0 此時所以當或或k不存在時 l與c只有一個公共點 當或或時 l與c有兩個交點 當時 l與c沒有交點 考點2 弦長與中點弦的問題例題2 設過原點的直線l與拋物線y2 4 x 1 交于a b兩點 且以ab為直徑的圓恰好過拋物線的焦點f 求 1 直線l的方程 2 ab 的長 分析 1 要注意討論斜率k是否為0 2 利用弦長公式 點評 求直線被二次曲線截得的弦長 通常是將直線與二次曲線方程聯立 得到關于x 或y 的一元二次方程 然后利用韋達定理及弦長公式求解 拓展訓練 本例中將 以ab為直徑的圓恰好過拋物線的焦點f 改為 ab的中點為 2 3 求l的方程 點評 有關弦中點的軌跡 中點弦所在直線的方程 中點坐標問題 一般采用如下兩種方法 1 設而不求 的方法 若直線l與圓錐曲線c有兩個交點a和b 一般地 首先設出交點坐標a x1 y1 b x2 y2 其中有四個參數x1 y1 x2 y2 它們只是過渡性符號 通常是不需要具體求出的 但有利于用韋達定理等解決問題 是直線與圓錐曲線位置關系中常用的方法 2 作差法 在給定的圓錐曲線f x y 0中 求中點為 m n 的弦ab所在直線方程時 一般可設a x1 y1 b x2 y2 利用a b在曲線上 得f x1 y1 0 f x2 y2 0及x1 x2 2m 考點3 直線與圓錐曲線的綜合問題例題3 過點 1 0 的直線l與中心在原點 焦點在x軸上且離心率為的橢圓c相交于a b兩點 直線過線段ab的中點 同時橢圓c上存在一點與右焦點關于直線l對稱 試求直線l與橢圓c的方程 解析 方法1 由得從而a2 2b2 c b 設橢圓的方程為x2 2y2 2b2 a x1 y1 b x2 y2 在橢圓上 則兩式相減得 即 設線段ab的中點為 x0 y0 則又 x0 y0 在直線上 所以于是故kab 1 所以直線l的方程為y x 1 設右焦點 b 0 關于直線l的對稱點為 x y 則解得x 1 y 1 b 由點 1 1 b 在橢圓上 得1 2 1 b 2 2b2 則故所以所求橢圓c的方程為直線l的方程為y x 1 解法2 由得從而a2 2b2 c b 設橢圓c的方程為x2 2y2 2b2 直線l的方程為y k x 1 將直線l的方程代入橢圓c的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 則 故又直線過線段ab的中點則解得k 0或k 1 若k 0 則直線l的方程為y 0 焦點f c 0 關于直線l的對稱點就是f點本身 不可能在橢圓c上 所以k 0舍去 從而k 1 故直線l的方程為y x 1 即y x 1 以下同方法一 點評 由題設情境中點在直線上 聯想 點差法 從而應用點差法及點在直線上而求得直線l的方程 進一步應用對稱的幾何性質求得 對稱點 利用 對稱點 在橢圓上求得橢圓方程 同時應注意 涉及弦的中點與弦的斜率問題常常可應用 點差法 求解 拓展訓練 直線l y kx 1與雙曲線c 2x2 y2 1的右支交于不同的兩點a b 1 求實數k的取值范圍 解析 1 將直線l的方程y kx 1代入雙曲線c的方程2x2 y2 1后 整理得 k2 2 x2 2kx 2 0 依題意 直線l與雙曲線c的右支交于不同兩點 故k2 2 0 2k 2 8 k2 2 0解得k的取值范圍是 2 k 2 2 是否存在實數k 使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f 若存在 求出k的值 若不存在 說明理由 解析 設a b兩點的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 則由 式得 假設存在實數k 使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f c 0 則由fa fb 得 x1 c x2 c y1y2 0 即 x1 c x2 c kx1 1 kx2 1 0 整理得 k2 1 x1x2 k c x1 x2 c2 1 0 把 式及代入 式化簡得解得或 2 2 舍去 可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點 點評 本例主要涉及的知識有直線 雙曲線的方程和性質 曲線與方程的關系 及其綜合應用能力 1 直線交雙曲線右支 聯立方程后得到的關于x的方程 的根分布的區間 0 上 由一元二次方程根分布的區間的充要條件得到了關于k的不等式組 可求出k的取值范圍 2 問題 2 中 假設存在實數k 使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f 這時用了圓的幾何性質fa fb 再轉化為坐標之間的關系 結合韋達定理 得到k的方程 求出k值 1 直線與圓錐曲線位置關系的探究方法 直線與圓錐曲線的位置關系 從幾何角度來看有三種 相離 相交和相切 從代數角度一般通過它們的方程來研究 設直線l ax by c 0 二次曲線c f x y 0 聯立方程組ax by c 0f x y 0 消去y 或x 得到一個關于x 或y 的方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 然后利用方程根的個數判定 同時應注意如下四種情況 1 對于橢圓來說 a不可能為0 即直線與橢圓有一個公共點 直線與橢圓必相切 反之 直線與橢圓相切 則直線與橢圓必有一個公共點 2 對于雙曲線來說 當直線與雙曲線有一個公共點時 除了直線與雙曲線相切外 還有直線與雙曲線相交 此時直線與雙曲線的漸近線平行 3 對于拋物線來說 當直線與拋物線有一個公共點時 除了直線與拋物線相切外 還有直線與拋物線相交 此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合 4 0 直線與雙曲線相交 但直線與雙曲線相交不一定有 0 當直線與雙曲線的漸近線平行時 直線與雙曲線相交且只有一個交點 故 0是直線與雙曲線相交的充分條件 但不是必要條件 5 0 直線與拋物線相交 但直線與拋物線相交不一定有 0 當直線與拋物線的對稱軸平行時 直線與拋物線相交且只有一個交點 故 0也僅是直線與拋物線相交的充分條件 但不是必要條件 2 數形結合思想的應用 要注意數形結合思想的運用 在做題時 最好先畫出草圖 注意觀察 分析圖形的特征 將形與數結合起來 特別地 1 過雙曲線外一點p x0 y0 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下 p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時 有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線 共四條 p點在兩漸近線之間且包含雙曲線的區域內時 有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線 共四條 p在兩條漸近線上但非原點 只有兩條 一條是與另一漸近線平行的直線 一條是切線 p為原點時 不存在這樣的直線 2 過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點 兩條切線和一條平行于對稱軸的直線 3 特殊弦問題的探究方法 1 若弦過焦點時 焦點弦問題 焦點弦的弦長的計算一般不用弦長公式計算 而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后 利用焦半徑公式求解 2 若問題涉及弦的中點及直線斜率問題 即中點弦問題 可考慮 點差法 即把兩點坐標代入圓錐曲線方程 然后兩式作差 同時常與根和系數的關系綜合應用 易錯點 考慮不全 造成遺漏例題 求過點p 0 1 且與拋物