2.基本積分公式表(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1，x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=-cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=-cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=-cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注(1)不是在m=-1的特例(2)=ln|x|+C ，ln后面真數(shù)x要加絕對(duì)值，原因是(ln|x|) =1/x事實(shí)上，對(duì)x0，(ln|x|) =1/x；若x0，則(ln|x|) =(ln(-x) =. (3)要特別注意與的區(qū)別：前者是冪函數(shù)的積分，后者是指數(shù)函數(shù)的積分 下面我們要學(xué)習(xí)不定積分的計(jì)算方法，首先是四則運(yùn)算6. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分大量初等函數(shù)含有復(fù)合函數(shù)的成分，它們的導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算法則具有特別重要的意義定理.(鏈鎖法則)設(shè)z=f(y)，y=j(x)分別在點(diǎn)y0=j(x0)與x0可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)z=fj(x)在x0可導(dǎo)，且或(f o j) (x0)=f (y0)j (x0)證對(duì)應(yīng)于自變量x0處的改變量Dx，有中間變量y在y0=j(x0)處的改變量Dy及因變量z在z0=f(y0)處的改變量Dz，（注意Dy可能為0）現(xiàn)Dz=f(y0)Dy+v，Dy=j(x0)Dx+u， 且令，則v=Day，（注意，當(dāng)Dy=0時(shí)，v=Day仍成立）y在x0可導(dǎo)又蘊(yùn)含y在x0連續(xù)，即Dy=0于是 =f (y0)j (x0)+0j (x0)=f (y0)j (x0)為理解與記憶鏈鎖法則，我們作幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 略去法則中的x=x0與y=y0，法則成為公式，其右端似乎約去dy后即得左端，事實(shí)上，由前面定理的證明可知，這里并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的約分過(guò)程(2) 計(jì)算復(fù)合函數(shù)的過(guò)程：xy z 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過(guò)程：zy x ：各導(dǎo)數(shù)相乘例2.3.15 求y=sin5x的導(dǎo)數(shù)解令u=5x，則y=sinu于是 y =cosu5=5cos5x例2.3.16 求y=lncosx的導(dǎo)數(shù)解令u=cosx，則y=lnu于是 y = 例2.3.17 求冪函數(shù)y=xm的導(dǎo)數(shù)，m為任意實(shí)數(shù)解因y=，令u=mlnx，則y=eu y =eum m是正整數(shù)n時(shí)，即例2.3.2(3) 鏈鎖法則可以推廣到多層次中間變量的復(fù)合函數(shù)： 復(fù)合函數(shù)的求值： xyzuvw 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：wvuzyx ：各導(dǎo)數(shù)相乘(4) 在熟練掌握鏈鎖法則以后，為簡(jiǎn)便寫(xiě)法，中間變量v，u，z，y等可不必寫(xiě)出，只要做到心中有數(shù)例2.3.18 求的導(dǎo)數(shù)解 = (5) 鏈鎖法則的微分形式是：df(j(x)=f(j(x)dj(x) 例2.3.19 求函數(shù) y= 的微分解dy =dsin2x=2sinxdsinx =2sinx cosxdx=sin2xdx 思考題.請(qǐng)你仔細(xì)研究例2.3.18的解題過(guò)程，函數(shù)的構(gòu)成除由基本初等函數(shù)復(fù)合之外還包含四則運(yùn)算，因此求導(dǎo)的過(guò)程也應(yīng)遵循四則運(yùn)算與鏈鎖法則，兩個(gè)方面必須同時(shí)考慮.5. 導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算 設(shè)u=u(x)，v=v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，c是常數(shù)，則有公式(1) (uv) = u v，d(uv) = dudv 公式(2) (uv) = u v+uv，d(uv) = vdu+udv 公式(3) (cu) = cu，d(cu) = cdu 公式(4) ，(v0)點(diǎn)擊此處看公式(1)(4)的證明 例2.3.11 求y=tanx的導(dǎo)數(shù)解(tanx) = =sec2x同理可得(cotx) =-csc2x例2.3.12 求y=secx的導(dǎo)數(shù)解(secx) = =secx tanx同理可得(cscx) =-cscx cotx例2.3.13 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的導(dǎo)數(shù)解一y =(1+4x)(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3) =4(2x2-3x3)+(1+4x)(22x-33x2) =8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3 解二因y =2x2+5x3-12x4，故 y =22x+53x2-124x3=4x+15x2-48x3例2.3.14 求函數(shù)y=(x+sinx)lnx的微分解dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx =lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx =lnx(dx+cosxdx)+dx =dx2. 導(dǎo)數(shù)的定義從曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率以及其他有關(guān)函數(shù)變化速度問(wèn)題，我們抽象出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念.定義.設(shè)函數(shù)y=f(x)在包含點(diǎn)x0的一個(gè)開(kāi)區(qū)間X(這樣的開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為x0的鄰域)內(nèi)有定義，y0=f(x0)如果xX-x0，我們稱(chēng)Dx=x-x0 0(D讀作delta)為自變量的改變量，Dy=f(x)-f(x0)為函數(shù)的(對(duì)應(yīng))改變量，比值為函數(shù)的差商或平均變化率如果極限 存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) (或可微)，該極限稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)關(guān)于自變量x的導(dǎo)數(shù)(或微商)記作因Dx=x-x0，x=x0+Dx，故還有此時(shí)，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)的切線(xiàn)方程是注意.Dx可正可負(fù)，依x大于或小于x0而定 根據(jù)定義求已知函數(shù)y=f(x)在給定點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)的步驟是：(1) 計(jì)算函數(shù)在自變量x0+Dx處的函數(shù)值f(x0+Dx)；(2) 計(jì)算函數(shù)的改變量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；(3) 寫(xiě)出函數(shù)的差商；(4) 計(jì)算極限，即導(dǎo)數(shù)值例2.3.1 求常數(shù)函數(shù)y=c的導(dǎo)數(shù)解因Dy=y(x+Dx)-y(x)=c-c=0，差商=0，故 =0此處x可為任意實(shí)數(shù)，即常數(shù)函數(shù)y=c在任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為0例2.3.2 設(shè)n是正整數(shù)，求冪函數(shù)y=xn 在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)解因y(x+Dx)=(x+Dx)n=xn+，Dy=y(x+Dx)-y(x)=，故= 特別，當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)y=x在任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為1例2.3.3 求曲線(xiàn)y=x3在點(diǎn)(2,8) 處的切線(xiàn)方程解在上例中取n=3可知函數(shù)y=x3在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為3x2，于是在點(diǎn)(2，8)處的切線(xiàn)斜率是：y(2)=322=12，故曲線(xiàn)y=x3在(2,8)處的切線(xiàn)方程是y-8=12(x-2) 12x-y-16=0注(1)從上述例子我們看到，一般情況下，給定函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間X內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，這樣可求出X內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)y(x)，xX 于是y(x)成為X內(nèi)有定義的一個(gè)新函數(shù)，我們稱(chēng)它為給定函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且常常省略定義中的字樣“在x點(diǎn)處關(guān)于自變量的”，甚至簡(jiǎn)稱(chēng)f(x)的導(dǎo)數(shù)例如我們說(shuō)常數(shù)函數(shù)y=c的導(dǎo)數(shù)是0， y=x的導(dǎo)數(shù)是1，y=xn的導(dǎo)數(shù)是等等，分別記作c =0，x =1，(xn) =等等(2)關(guān)于改變量的記號(hào)D，應(yīng)把它與其后面的變量x或y看作一個(gè)整體量，就象sinx中的sin一樣，絕不能把Dx看成D與x的乘積，特別，為避免誤解，我們用(Dx)2來(lái)表示Dx的平方而不寫(xiě)Dx2 從導(dǎo)數(shù)的定義我們還可以導(dǎo)出其它一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(點(diǎn)擊此處看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6證明) 例2.3.4 y=sinx的導(dǎo)數(shù)是(sinx) =cosx，y=cosx的導(dǎo)數(shù)是(cosx) =-sinx 例2.3.5 y=logax(0a1)的導(dǎo)數(shù)是(logax) = 特別，(lnx) =1/x 例2.3.6 指數(shù)函數(shù)y=ax(0a1)的導(dǎo)數(shù)是(ax) =axlna 特別，(ex) =ex 8. 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)-二階導(dǎo)數(shù)一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)還是以x為自變量的函數(shù)：y =f (x)，如果它還可導(dǎo)，我們又可得f (x)的導(dǎo)數(shù)：(y ) =f (x) ，稱(chēng)為y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y =f (x)，或=如果它還可導(dǎo)，我們就可繼續(xù)逐次求三階，四階，的導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)n ，n階導(dǎo)數(shù)被定義為y(n)=(y(n-1) ，n=2，3，統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)y 的高階導(dǎo)數(shù)例2.3.22 求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù)解y =cosx=sin，用歸納法不難求出 y(n)=sin例2.3.23 若s =s(t)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)，則s (t)=v(t)是運(yùn)動(dòng)速度又,二階導(dǎo)數(shù)s(t)=v (t)=a(t)則是運(yùn)動(dòng)的加速度例2.3.24 求y =arc tanx的二階導(dǎo)數(shù)y 解y =，y =-(1+x2)-2(1+x2) =思考題.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)f (x)表示曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率，請(qǐng)你考慮，如果f (x)還可導(dǎo)，那么f (x)的正或負(fù)，反映函數(shù)y=f(x)的圖像的什么性態(tài).實(shí)驗(yàn)題.選擇不同的函數(shù)，使二階導(dǎo)數(shù)取正或負(fù)值，然后作出函數(shù)的圖像，觀察二階導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響.7. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式求導(dǎo)公式 求微分公式 (1) c =0 (2) ( xm) =mxm-1(3) (ax) =axlna (ex ) =ex(4) (logax) = (lnx) =(5) (sinx) =cosx(6) (cosx) =-sinx(7) (tanx) =sec2x(8) (cotx) =-csc2x(9) (secx) = secx tanx(10) (cscx) = -cscx cotx(11) (arcsinx) = (12) (arccosx) =-(13) (arctanx) =(14) (arccotx) =- dc=0 dxm=mxm-1dx，mRdax=axlnadx，0 a1dex=exdxdlogax=，0x0；在左側(cè)時(shí)xx0動(dòng)直線(xiàn)PQ是曲線(xiàn)的割線(xiàn)如果動(dòng)點(diǎn)Q無(wú)限地逼近定點(diǎn)P時(shí), 動(dòng)直線(xiàn)PQ