第7章 第7講一、選擇題1已知點A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析(5,1，7).(2，3,1)0ACBC.即ACB90，而|.ABC為直角三角形答案C2已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0，若ab，則x的值為()A8 B4C2 D0解析因x8,2,0時都不滿足ab，而x4時，a(8,2,4)2(4,1,2)2b，ab.故選B.另解：ab存在0使ab(8，x)(x，2)，故選B.答案B3已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析(1,1,0)，(1,0,1)設平面ABC的一個法向量n(x，y，z)令x1，則y1，z1，n(1,1,1)單位法向量為：(，)答案D4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數x，y，z分別為()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，則解得答案B5設點C(2a1，a1,2)在點P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則a等于()A16 B4C2 D8解析(1，3,2)，(6，1,4)根據共面向量定理，設xy (x、yR)，則(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.答案A6如圖，在四邊形ABCD中，|4，|4，|0，則(|)|的值為()A2 B2C4 D4解析根據0可知，ABDBDC90，則ABDC.又由|4和|4，可解得BD2，ABDC2.如圖，延長AB，過C作COAB交AB延長線于點O.則有AOBDOC2，AOC為等腰直角三角形于是CAO45，AC2.所以()22cos454.答案C二、填空題7已知空間三點A、B、C坐標分別為(0,0,2)，(2,2,0)，(2，4，2)，點P在xOy平面上且PAAB，PAAC，則P點坐標為_解析設p(x，y，z)則(x，y,2z)，(2,2，2)，(2，4，4)由已知得：解得：p(8,6,0)答案(8,6,0)8空間四邊形OABC中，OBOC，AOBAOC，則cos，的值是_解析由條件得，cos，0.答案09如圖所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQQD，則a的值等于_解析以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系，設PAm，BQx，則P(0,0，m)，Q(1，x,0)，D(0，a,0)，于是(1，x，m)，(1，ax,0)PQQD，0即1axx20x2ax10只有一個點Q滿足PQQD方程x2ax10只有一個實根，即a240，a2(a0)答案210如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E平面ABF，則CE與DF的和的值等于_解析以D1A1、D1C1、D1D分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設CEx，DFy，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案1三、解答題11(2007山東)如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)設E是DC的中點，求證：D1E平面A1BD；(2)求二面角A1BDC1的余弦值方法一：(1)證明如圖連接BE，則四邊形DABE為正方形，BEADA1D1，且BEADA1D1，四邊形A1D1EB為平行四邊形D1EA1B.又D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，D1E平面A1BD.(2)解以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設DA1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，(1,0,2)，(1,1,0)設n(x，y，z)為平面A1BD的一個法向量，由n，n，得取z1，則n(2,2,1)又(0,2,2)，(1,1,0)設m(x1，y1，z1)為平面C1BD的一個法向量，由m，m，得取z11，則m(1，1,1)設m與n的夾角為，二面角A1BDC1為，coscos()cos ，即所求二面角A1BDC1的余弦值為.方法二：(1)證明以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設DAa，由題意知D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，E(0，a,0)(0，a，2a)，(0，a，2a)，又，D1EA1B.A1B平面A1BD，D1E平面A1BD，D1E平面A1BD.(2)解取DB的中點F，DC1的中點M，連接A1F、FM，由(1)及題意得知：F，M(0，a，a)，(a，a,0)(，2a)(a，a,0)0(a，a,0)0.FA1DB，FMDB.A1FM為所求二面角的平面角cosA1FM.二面角A1BDC1的余弦值為.12(2009湖南，18)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，點D是A1B1的中點，點E在A1C1上，且DEAE.(1)證明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值(1)證明如圖所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性質知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA.所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1，(2)解解法一：如圖所示，設F是AB的中點，連接DF，DC1，C1F，由正三棱柱ABCA1B1C1的性質及D是A1B1的中點知，A1B1C1D，A1B1DF，又C1DDFD，所以A1B1平面C1DF，而ABA1B1，所以AB平面C1DF，又AB平面ABC1，故平面ABC1平面C1DF.過點D作DH垂直C1F于H點，則DH平面ABC1，連接AH，則HAD是直線AD和平面ABC1所成的角由已知ABAA1，不妨設AA1，則AB2，DF，DC1，C1F，AD，DH.所以sinHAD.即直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.解法二：如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，不妨設AA1，則AB2，相