第二章 眾數的計算例：某班50名學生統計學考試成績分組如下表，要求分別用下限公式和上限公式計算眾數。按考試成績分組（分） 學生人數（人） 60以下 6070 7080 8090 90以上 2 12 25 9 2 合 計 50解法一：利用下限公式計算眾數v 考分在70-80分這一組出現的學生人數（頻數）最多。v 70-80這一組就是眾數組。于是：v L=70 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10解法二：利用上限公式計算眾數v 考分在70-80分這一組的學生人數（頻數）出現次數最多。v 70-80分這一組就是眾數組。于是：v S=80 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10中位數的計算例：某班50名學生統計學考試成績組距分組資料如下表，要求分別采用下限公式和上限公式計算中位數。按考試成績分組（分）學生人數（人）F 累計頻數 向上累計 向下累計 60以下 6070 7080 8090 90以上 2 12 25 9 2 2 14 39 48 50 50 48 36 11 2 合計（） 50 解法一：用下限公式計算中位數（Me）v 中位數位置=F/2=50/2=25 因為：向上累計頻數39剛好大于中位數位置25，所以39所在組70-80分這一組就是中位數所在組。于是：L=70 Sm-1=14 fm=25 i=10解法二：用上限公式計算中位數（Me）中位數位置=F/2=50/2=25 因為：向下累計頻數36剛好大于中位數位置25，所以：36所在組70-80分這一組就是中位數所在組。于是：S=80 Sm+1=11 fm=25 i=10簡單均值的計算簡單均值主要適用于：“未分組整理的原始數據”的計算。設：一組數據為：X1 X2 .XN 或x1 x2xn則：簡單均值的計算公式為：總體均值：樣本均值：例：已知10名成年人的身高資料如下（單位：厘米）：166 169 172 177 180 170 172 174 168 173求：這10名成年人的身高的均值。解：這10名成年人的身高的均值加權均值的計算單變量分組數據計算均值即：利用“一個變量”作為“一組”的分組數據，計算“均值”。總體加權均值：樣本加權均值：例：某車間100名工人日產量數據分組及有關計算如下表，要求計算這100名工人的平均日產量。按日產量件數分組（件） （X）工人人數（人) (F)各組總產量（件）（XF) 20 22 24 26 15 20 40 25 300 440 960 650 合計 （）F =100XF=2350解：100名工人平均日產量為：例：某企業青年班組每月獎金分組數據及有關計算如下表，要求計算平均獎金。月獎金分組 （元）組中值 X 工人人數（人）F 各組獎金總額（元） XF 500600 600700 700800 800900 9001000 550 650 750 850 95010103040 10 5500 6500 22500 34000 9500 100 78000解：該青年班組月平均獎金為加權均值公式變形后的計算簡單算術均值”是“加權算術均值”的特殊形式。即：當：權數F1=F2=FK=F 時，則：例：某車間100名工人日產量的數據及有關計算如下表，要求計算平均產量。日產量分組（件） X 各組工人人數比重（%）F/F X F/F 20 22 24 26 15 20 40 25 3.00 4.40 9.60 6.50 100 23.50解：根據表中計算可得，平均日產量如下：幾何均值例：某廠有4個流水作業車間，。某月它們的產品合格率分別為：98%、97%、95%和90%，則各車間產品的平均合格率為加權幾何平均數的計算v 適用條件：適用于各變量值出現次數不相同的場合。v 計算公式為：例：某市GDP1995-1996兩年的的平均發展速度為108%，1997-1998兩年的平均發展速度為107.9%，1999年的平均發展速度為107.8%。則該市1995-1999年5年的平均發展速度為：.幾何平均數與均值的關系“幾何均值”可以看作是“均值”的一種變形。可以看出：幾何均值的對數是各變量值對數的算術平均數。 第四章 抽樣與抽樣分布樣本均值的抽樣分布例2：一個具有n=64個觀察值的隨機樣本抽自于均值等于20，標準差等于16的總體。（1）給出的抽樣分布（重復抽樣）的均值和標準差。（2）描述的抽樣分布的形狀。你的回答依賴于樣本容量嗎？（3）計算標準正態統計量Z對應于的值。（4）計算標準正態統計量Z對應于的值。解：（1）樣本均值的抽樣分布的均值=樣本均值的數學期望=總體均值。即：在重復抽樣的情況下，樣本均值的方差為總體方差的1/n。即：（2）因為屬于大樣本，所以根據中心極限定理可知，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為20，方差為4的正態分布。我的回答是依賴于樣本容量的。（3）當時，標準 正態統計量的值：（4）當時，標準正態統計量的值：第五章 參數估計總體均值區間估計區間估計例1：（正態總體-方差已知）某種零件的長度服從正態分布，現從該產品中隨機抽取9件，測得其平均長度為21.4厘米。根據以往的經驗，該批產品的總體標準差=0.15厘米。要求以95%的置信度估計該種零件平均長度的置信區間。例1解：依題意得：零件長度XN(,0.152)n=9, , =0.15 ， 1-=0.95， =0.05查P434的“標準正態分布表”得出“臨界值”為：Z/2=Z0.05/2=Z0.025=Z1-/2=Z1-0.025=Z0.975=1.96于是：抽樣平均誤差：抽樣極限誤差：區間估計例2：（總體分布未知或非正態總體且大樣本、總體方差已知）某財經大學從該校學生中隨機抽取100人，調查得到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。又知總體方差為36（分鐘)2，試以95%的置信水平估計該財經大學全體學生每天平均參加體育鍛煉時間的置信區間。例2解：由于總體的分布形式未知，且總體方差2=36(分鐘)2已知，且樣本容量n=10030為“大樣本”，故可以近似地認為：總體X服從N(，2/n),依題意知道： 查表得到： ，于是：抽樣平均誤差： 抽樣極限誤差：區間估計例3：（總體分布未知或非正態總體且大樣本、總體方差未知）在大興安嶺林區，隨機抽取了120塊面積為1公頃的樣地，根據調查測量求得每公頃林地平均出材量為88（m3)，標準差為10（m3）,試在99%的置信水平下估計大興安嶺林區每公頃地平均出材量的置信區間。例3解：總體分布形式和總體方差2均未知，但由于n=12030,屬于大樣本，故可近似地采用正態分布處理，并用樣本方差代替總體方差。依題意又知： 查標準正態分布表得：于是抽樣平均誤差： 抽樣極限誤差（允許誤差）區間估計例4（正態總體、總體方差未知且小樣本）設某上市公司的股票價格服從正態分布，為了掌握該上市公司股票的平均價格情況，現隨機抽取了26天的交易價格進行調查，測得平均價格為35元，方差為4(元2)，試以98%的置信度估計該上市公司股票平均交易價格的置信區間。例5解：因為總體服從正態分布，但n=2630屬于“大樣本”，所以“樣本標準差S”近似服從“正態分布”。又知：S=0.08 1-=0.95,=0.05 查表得：Z/2=Z0.025=Z1-/2=Z0.975=1.96某自動車床加工的某種零件長度X，XN( ,2)，現隨機抽查16個零件，測得其方差為0.00244(mm)2，試以95%的置信度估計該種零件方差的置信區間。解：S2=0.00244 1-=0.95，=0.05，/2=0.025 查“2分布表”得：20.025(16-1)=20.025(15)=27.48821-0.025(16-1)=20.975(15)=6.262第六章 假設檢驗假設檢驗的步驟一、 提出原假設和備擇假設 二、從所研究總體中抽取一個隨機樣本 三、選擇檢驗統計量，并確定其分布形式 四、選擇顯著性水平，確定臨界值 五、作出決策（或結論）總體均值假設檢驗例1：（正態總體、總體方差已知、雙側檢驗）某廠生產銅絲，其主要質量指標為折斷力X，根據歷史資料統計，可假定XN(570,82)。今新換材料生產，抽取的樣本值為：578、572、570、568、572、570、570、572、596、584（斤），欲檢驗“新材料生產的銅絲的折斷力X”有無明顯變化。（假定方差2=82仍保持不變，=0.05）例1解：依題意 樣本均值為：問題可歸結為正態總體均值的假設檢驗問題： 原假設 H0: = 570 備擇假設H1：570由于銅絲折斷力X服從正態分布且總體方差2=82已知，故可以采用“Z檢驗法”。 總體均值假設檢驗例2：（正態總體、總體方差已知、左側檢驗）完成生產線上某件工作所需的平均時間不少于15.5分鐘，標準差為3分鐘，對隨機抽選的9名職工講授一種新方法，訓練期結束后這9名職工完成此項工作所需的平均時間為13.5分鐘，這個結果是否提供了充分證據，說明用新方法所需的時間短？設=0.05，并假定完成這件工作的時間服從正態分布。例2解：要檢驗的假設為：原假設H0：15.5 備擇假設H1:15.5 由于總體服從正態分布且總體方差已知，故采用“Z檢驗法”。依題意已知： 檢驗統計量Z的計算為：顯著性水平=0.05時，臨界值Z=Z0.05=1.645因為：Z=-218.3由于總體服從正態分布且總體方差已知，故可用“Z檢驗法”。總體均值假設檢驗例4：（正態總體、總體方差未知且小樣本、雙側檢驗）某車床加工一種零件，要求長度為150mm，現從一批加工后的這種零件中隨機抽取9個，測得其長度（單位：mm)為：147 150 149 154 152 153 148 151 155，如果零件長度服從正態分布，問這批零件是否合格？（=0.05）例4解：根據題中數據計算得到：樣本均值，樣本方差 ,樣本標準差s=2.739，n=930,屬于小樣本，故在總體方差未知的情況下，采用“t檢驗法”，所要檢驗的假設為：H0：=150 H1：150當=0.05時，查“t分布表”得出臨界值為：因為： 所以：應不拒絕原假設H0而拒絕H1，可以認為該批零件是合格的。 總體均值假設檢驗例5：（正態總體、總體方差未知且小樣本、右側檢驗）某公司年度報表指出其應收賬款的平均計算誤差不超過50元，審計師從該公司年度應收賬款賬戶中隨機抽取17筆進行調查，測得應收賬款的平均計算誤差為56元，標準差為8元。假定應收賬款的平均計算誤差服從正態分布。問：當檢驗水平=0.01時，該公司應收賬款的平均計算誤差是否超過50元？例5解：依題意： ，總體服從正態分布，總體方差未知，且n=1750 檢驗統計量t：當=0.01時，查“t分布表”得出臨界值為：因為：所以：應拒絕H0而接受H1，可以認為該公司應收賬款的平均計算誤差超過50元。總體均值假設檢驗例6：（正態總體、總體方差未知且小樣本、左側檢驗）某番茄罐頭中，維生素C的含量X服從正態分布，按規定標準，維生素C的含量不得少于21mg。現從一批罐頭中隨機抽取17罐，測得樣本均值，樣本標準差S=3.98，試問該批罐頭中維生素C的含量是否合乎標準？（=0.05）例6解：此題屬于正態總體、總體方差未知且小樣本（n=1730),故采用t檢驗法。所要檢驗的假設為： H0:21 H1: 5，屬于大樣本，故采用Z檢驗法。檢驗統計量為：對于給定的顯著性水平=0.05，查“標準正態分布表”得出臨界值因為： 或所以：應拒絕H0而接受H1，由此可以判定：業務科長的說法不可信，即參加保險的戶數不足80%。總體比率假設檢驗例2：某生產商向供應商購一批西紅柿，雙方規定若優質西紅柿的比例在40%以上按一般市場價格收購，否則按低于市場價格收購。現隨機抽取了100個西紅柿，只有34個為優質品。于是，生產商欲按低于市場價格收購，而供應商則認為樣本比例不足40%是由隨機因素引起的。請用=0.05進行檢驗并加以說明。例2解：依題意，可建立如下假設H0:P0.4 H1:P5，屬于大樣本，故采用“Z檢驗法”。檢驗統計量為：當=0.05時，查“正態分布表”得出左側檢驗臨界值：因為：所以：接受原假設H0而拒絕備擇假設H1，即：根據樣本數據還不能認為優質西紅柿的比例顯著地低于40%，故而生產商仍應按一般市場價格收購。第七章 方差分析單因素方差分析的步驟一、提出假設 二、構造檢驗統計量F 三、對于給定的顯著性水平，查F分布表得出F臨界值 四、列出方差分析表 五、作出接受或拒絕原假設的決策單因素方差分析舉例欲考察包裝顏色對產品銷量的影響。現將不同包裝顏色的同種產品放到四家銷售條件基本相同的商店銷售，進行對比試驗，其結果及水平均值和總均值的計算如下表：試分析包裝顏色對產品銷量有無顯著影響？（）例解：提出假設 原假設 備擇假設計算水平均值和總均值 計算離差平方和：SST的計算SSE的計算注意：用每一列中的每一個數據，與其列均值離差平方，然后求和！SSA的計算是各列的數據個數分別乘以各自列均值與總均值的離差平方，然后求和自由度的確定 注意n-1=(r-1)+(n-r)=2+9=11 若不等，說明計算有誤！計算平均平方：組間方差和組內方差注意：與前面的方差計算的基本思想是完全一致的！計算F統計量的值列出方差分析表方差來源離差平方和SS自由度 df平均平方 MS F值組間差異組內差異總差異SSA=72SSE=102SST=174r-1=2n-r=9n-1=11MSA=36MSE=11.33 F=3.18 作出決策第八章 相關與回歸分析相關系數例：隨機抽取某班10同學的身高和體重資料如下表，要求計算相關系數。學 生 身高 x體重 yx2 y2 xyABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600272137214900422574268000777690201029210080884010492121801144016705702792203303295546解：10名同學身高和體重的相關系數為：計算結果表明：這10名同學的身高和體重之間呈高度的線性正相關關系。相關系數的顯著性檢驗例：以前面10名同學身高和體重的相關系數檢驗為例（=0.05） 例：假設對15戶居民家庭的人均月收入和人均月食品消費支出進行調查，試就表中資料計算簡單樣本線性相關系數，并進行檢驗。例解（1）計算樣本相關系數（2）樣本相關系數顯著性檢驗 提出假設： H0:=0 ,H1:0對于給定的顯著性水平=0.05，查t分布表，得出臨界值t(a/2)=t(0.025)(15-2)=2.1604 |t|=19.5768 拒絕原假設H0，表明樣本線性相關系數在統計上是顯著的。回歸系數的估計例：仍以前面10名同學身高和體重的有關資料，擬合樣本線性回歸方程。 可決系數例：仍以前面10名同學的身高和體重資料為例計算樣本可決系數（r2）回歸系數顯著性檢驗例1：仍以前面10名同學的身高和體重資料為例，進行回歸系數的顯著性檢驗例2：仍以前面10名同學的身高和體重資料為例，進行回歸系數的顯著性檢驗線性關系檢驗步驟1.提出假設 H0：b1=b2=bp =0 線性關系不顯著 H1：b1，b2，bp至少有一個不等于02. 計算檢驗統計量F3. 確定顯著性水平a和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出臨界值F a4. 作出決策：若FF a，拒絕H0回歸系數的檢驗1.提出假設 H0： bi = 0 (自變量 xi 與 因變量 y 沒有線性關系) H1： bi 0 (自變量 xi 與 因變量 y有線性關系) 2.計算檢驗的統計量 t 3.確定顯著性水平a，并進行決策 tt2/a，拒絕H0； tt2/a，不能拒絕H0第九章 時間序列分析線性趨勢方程的最小二乘估計例：擬合某公司1991-2000年銷售額的趨勢方程有關計算如下表，請擬合趨勢方程并預測2005年的銷售額。年 份 時間t 銷售額 yt ytt t2199119921993199419951996199719981999200012345678910104010070401301001301901601080300280200780700104017101600149162536496481100 559706700385解：有關趨勢方程擬合過程及預測如下：線性趨勢方程擬合的簡捷方法 例：仍以前例為例 年 份 時間t 銷售額 yt ytt t21991199219931994199519961997199819992000-9-7-5-3-11357910401007040130100130190160-90-280-500-210-40130300650133014408149259119254981 09702730330解：簡捷法擬合線性趨勢方程及預測2005年的銷售額。 則線性趨勢方程為： 與前一種方法的預測結果254.23大體相同第十章 統計指數例：三種商品的銷售量和價格資料及有關計算如下表商 品計 量單 位價 格銷 售 量銷售額（萬元）基期p。報告期p1基 期q。 報 告 期 q1p。q。 p。q1p1q。p1q1甲乙丙件支個2.000.400.154.000.600.15120800100000100100012000024032015000200400180004804801500040060018000-15560186001596019000要求計算：（1）拉氏銷售量綜合指數；（2）拉氏價格綜合指數；（3）帕氏銷售量綜合指數；（4）帕氏價格綜合指數。解：（1）計算三種商品的拉氏銷售量綜合指數：計算結果表明：三種商品的銷售量報告期與基期相比總的增長（上升）或者平均增長（上升）了19.54%，在價格不變的情況下，使得銷售額增加的絕對額 =p。q1-p。q。=18600-15560=3040元。（2）計算三種商品的拉氏價格綜合指數：計算結果表明：三種商品的價格報告期與基期相比總的增長（上升）或平均增長（上升）了2.57%，在商品銷售量不變的情況下，使得銷售額增加的絕對額 = p1q。-p。q。=15960-15560=400元。（3）計算三種商品的帕氏銷售量綜合指數計算結果表明：三種商品的銷售量報告期與基期相比總的增長（上升）或者平均增長（上升）了19.05%，在價格不變的情況下，使得銷售額增加的絕對額=p1q1-p1q。=19000-15960=3040元。（4）計算三種商品的帕氏價格綜合指數計算結果表明：三種商品的價格報告期與基期相比總的增長（上升）或平均增長（上升）了2.15%，在商品銷售量不變的情況下，使得銷售額增加的絕對額= p1q1-p0q1=15960-15560=400元。v 拉氏指數采用了基期加權v 帕氏指數則采用了報告期加權例1：某公司三種商品的有關資料及其計算表如下：商品名稱計量單位 銷售量（q) 價格（元）p 銷 售 額 (萬元）基期 q0報告期 q1 基期 p0報告期 p1基 期 q0p0報告期 q1p1假 定 q1p0甲乙丙件米臺10