用向量求直線和平面所成的角進階練習一、選擇題1. 在三棱柱ABC- 中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則 與平面 所成角的大小（ ）A.B.C.D.2.在正方體 中,E為 的中點,則DE與平面 所成角的正切值為（ ）A.B.C.D.3.如圖，在底面是邊長為 的正方形的四棱錐PABCD中，已知PA面ABCD，且PA= ，則直線PB與平面PCD所成角的余弦值為（ ） A.B.C.D.二、解答題4.（本題滿分12分）如圖， 四棱錐 的底面是直角梯形, , , 和 是兩個邊長為 的正三角形, . （I）求證: 平面 平面 ； （II）求直線 與平面 所成角的正弦值.5.如圖，直四棱柱 中，底面 是正方形， 是側棱 的中點 （1）證明： 平面 ； （2）求直線 與平面 所成的角的正弦值參考答案1.A2.C3.D4.（I）證明：設O為BD的中點， PB=PD，POBD 連接OA， ABAD， ， ， ,又 ， PO平面ABCD， 平面， 平面平面； ()解：過點O分別作AD、AB的平行線（如圖），并以它們分別為、軸，以OP為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 由已知得：， ， 設平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角， 則即解得， 令，則平面PDC的一個法向量為， 又， ， CB與平面PDC成角的正弦值為.5.（1）證明：不妨設AA1=2AB=2，則AE2=AB2+BE2=1+1=2，AD12=AD2+D1D2=1+4=5,D1E2=D1B12+B1E2=2+1=3， 則AE2+D1E2=AD12， AED1E 同理可得ECD1E 因為AECE=E，AE，CE都在平面ACE內， D1E平面ACE （2）解：如圖建立空間直角坐標系D-xyz， 則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），C（0，1，0） 則， 設平面ACE的法向量為， 由得 令z=1，得 設直線AE與平面ACD1所成的角為，則sin= 即直線AE與平面ACD1所成的角為的正弦值為【解析】1. 【分析】 本題考查了利用空間向量求線面角，根據條件，建立空間直角坐標系，找出各點坐標，求出直線的方向向量與平面的法向量，然后由空間向量求解. 【解答】 解：以B為坐標原點，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標系， 則A(，1，0)，B1(0，0，3)，C1(0，2，3)，=(-，-1，3)，=(0，2，0)，=(0，0，3)設平面AB1C1所的一個法向量為=(x，y，z)，則即，取z=1，則得=(-，0，1)，cos，=，BB1與平面AB1C1所成的角的正弦值為，BB1與平面AB1C1所成的角為故選A 2. 【分析】 本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 【解答】 解：設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空直角坐標系，E為BC1的中點，D（0，0，0），E（1，2，1），設DE與面BCC1B1所成角的平面角為，面BCC1B1的法向量 故選C. 3. 【分析】 本題考查利用空間向量求線面角的余弦，首先求出平面PCD的一個法向量，則直線PB與平面PCD所成角的余弦值就等于向量PB與法向量的夾角的余角的余弦. 【解答】 解：以A為原點，以AB、AD、AP分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系， 則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a） 則，設為平面PCD的一個法向量， 則，即，取， ，則直線PB與平面PCD所成角的余弦值為. 故選D. 4. 本題考查證明線面垂直的方法，求直線和平面所成的角.()由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質證明POBD，由勾股定理求得POAO，從而證得PO平面ABCD，然后根據面面垂直的判定可得答案；()設平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角，求出一個法向量為，可得兩個向量夾角的余弦值，即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值 5. 本題考查線面垂直的判定定理和利用空間向量求線面角的正弦值的問題，線面角的正弦值即直線與平面向量的法向量的夾角的余弦值的絕對值，這點需要牢記 （1）利用勾