高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省宜賓市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考號、姓名、班級填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為（）A.2 B. C.3 D.5【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的模，故選：B．2.下列運算不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A．，故正確，不符合題意；B．，故正確，不符合題意；C．，故正確，不符合題意；D．，故選項錯誤，符合題意；．故選：D．3.在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，模型1、2、3、4的決定系數(shù)依次為0.20，0.48，0.96，0.85，則其中擬合效果最好的模型是（）A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4【答案】C【解析】因為越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，所以這4個不同的模型擬合效果最好的模型是模型3.故選：C4.展開式中含的項的系數(shù)是（）A. B. C.10 D.5【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，則含的項的系數(shù)是，故選：C5.已知函數(shù)的極小值為，則（）A.1 B. C.1或 D.0【答案】A【解析】由求導(dǎo)得，.①當(dāng)時，由可得或，由可得，即當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故的極小值為，不合題意；②當(dāng)時，，故在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；③當(dāng)時，由可得或，由可得，即當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故的極小值為，解得.綜上，.故選：A.6.3名男生和2名女生共5位同學(xué)站成一排照相，且2位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）A.120 B.72 C.36 D.12【答案】B【解析】先排3名男生，有種排法，借助插空法，共有4個空位，故2名女生有種排法，共有種排法.故選：B.7.若隨機事件滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，故選：A．8.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，若成立，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)因為，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.可變形為，即，即.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.隨機變量，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為，所以，所以，，故A正確，B錯誤；由對稱性可知，所以，由對稱性可知，，而，所以，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.有唯一極值點 B.在單調(diào)遞增C.的最大值為 D.在處的切線方程為【答案】BC【解析】由，得，令，則或，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以在上遞增，在上遞減,在上遞增，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值.因為，所以的最大值為.，又，函數(shù)在點處的切線方程是，即.故AD錯誤；BC正確；故選：BC11.設(shè)，則（）A. B.展開式中系數(shù)最大值為C. D.【答案】ACD【解析】對于A，取，代入可得，，故A正確；對于B，由二項式的通項公式知，展開式中系數(shù)最大值為和，即和，故B錯誤；對于C，取，代入可得，取，代入則得，，兩式相減可得，，即得，故C正確；對于D，取，代入可得，，故D正確.故選：ACD.12.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）A.B.平面平面C.點到平面的距離為D.該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為【答案】BCD【解析】對于A：以點為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，所以A錯誤；對于B：設(shè)平面的法向量為，，，取，則，同理可得平面的法向量為，，則平面平面，故B正確；對于C：，點到平面的距離為，故C正確；對于D：該正方體的外接球的球心為，且外接球的半徑為,，點到平面的距離為，則平面截得的截面圓的半徑為，所以該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13若隨機變量，且，則_________．【答案】【解析】因，由可得，解得.故答案為：.14.已知雙曲線的離心率為，則_________．【答案】【解析】由題意，從而雙曲線的離心率為，結(jié)合，解得滿足題意.故答案為：.15.有3臺車床加工同一型號的零件，第臺車床加工的次品率依次為，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的、，任取一個零件，則它是次品的概率為_________．【答案】0.037【解析】依題意，事件“零件為第i臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”；所以.故答案為：0.03716.若函數(shù)無零點，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】一方面，若，設(shè)為實數(shù)，由于對有，對有，故或，從而對任意實數(shù)，都有.故，而我們還有，故函數(shù)存在零點，不滿足條件；另一方面，若，設(shè)，則.故對有，對有，所以在上遞減，在上遞增.從而對任意都有，即，此即.對，在不等式中令，得；在不等式中令，得.從而將和二者結(jié)合就有.故由，知對任意都有這表明對任意都有，故函數(shù)無零點，滿足條件.綜上，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足：，點在直線上．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為點在直線，所以，即．所以是等差數(shù)列，且首項為，公差為3．于是，．（2）因為．所以18.通過對某商品在六個城市的銷售情況與廣告投入的關(guān)系進行調(diào)研，得到一些統(tǒng)計量的值（如下表）.并發(fā)現(xiàn)該商品的銷售額（單位：百萬元）與其廣告費（單位：萬元）成線性相關(guān).用模型進行擬合，得出相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析繪制了如圖所示的殘差圖，但在隨后數(shù)據(jù)整理的過程中不小心將部分數(shù)據(jù)損壞.城市廣告費萬元

3681058336214銷售額/百萬元

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現(xiàn)將殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被視為異常數(shù)據(jù)，需要剔除.（1）剔除異常數(shù)據(jù)后，分別計算廣告費、銷售額的平均值；（2）求剔除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗回歸方程；并估計當(dāng)廣告費為20萬元時，銷售額為多少.參考公式：解：（1）由題知，剔除城市D，E的數(shù)據(jù)后，廣告費的平均值為：銷售額的平均值為：.（2）依題意，..所以.即得：當(dāng)時，.所以，估計當(dāng)廣告費為20萬元時，銷售額為百萬元.19.如圖,在四棱錐中,平面，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）過點作，所以在中，因為，則，所以于是，，過點作交于點,連接,因為，所以，因,則且，于是，四邊形是平行四邊形則平面平面，所以//平面（2）法一：因為平面，所以因為，所以平面，因平面,所以平面平面過點作交直線于，因平面,平面平面,故平面.過點作交直線于點，因平面，平面,則,得矩形，則,故,連接，因平面，平面,則,因,故平面,平面,則,所以為二面角的平面角.易得,由,則,即，故.在中，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為；法二：如圖建系，因為，．所以設(shè)平面的法向量，所以，不妨設(shè)，于是，，所以，設(shè)平面的法向量，所以，，不妨設(shè)，于是，所以，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為．20.某校為了了解學(xué)生體能情況，從全校男女生體能測試成績中隨機抽取容量為20的樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，樣本數(shù)據(jù)整理如下（滿分100分）：女生75707570759585759075男生75708085908085809080若規(guī)定成績不低于80為A等，成績低于80為B等．性別成績合計A等B等女生10男生10合計20（1）完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為體能測試成績與性別有關(guān)聯(lián)?（2）從這20名體能測試成績?yōu)榈鹊膶W(xué)生中隨機挑選3名，求挑選出男生成績?yōu)榈鹊娜藬?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.050.0053.8417.897解：（1）填表如下：性別成績合計A等B等女生3710男生8210合計11920假設(shè)：體能測試成績與性別無關(guān)．．假設(shè)不成立，認為體能測試成績與性別有關(guān)．（2）由題知且．于是，的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．21.已知為拋物線的焦點，是拋物線上一點，且的最小值為1．（1）求的方程；（2）過的直線與交于兩點，過原點作直線的垂線交于點（異于點）．當(dāng)四邊形的面積為時，求直線的方程．解：（1）由題知，當(dāng)點在原點上時，的最小，所以，所以，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)方程為由聯(lián)立得：．于是，，于是，直線方程為．由聯(lián)立得：．解得或．于是，點，所以所以四邊形的面積即，令，則，所以于是，．即即解得或于是，或所以直線的方程為或22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因為對任意恒成立．設(shè)．所以．分類：①當(dāng)時，，知在單調(diào)遞增，所以，不成立．②當(dāng)時，，知在單調(diào)遞減，所以成立．③當(dāng)時，令．所以．（ⅰ）若即時，，知在單調(diào)遞減，所以，所以，所以在單調(diào)遞減，所以對任意時，成立．（ⅱ）若即時，由可得，所以當(dāng)時，，于是，在單調(diào)遞增，所以對任意時，，所以，所以在單調(diào)遞增，所以對任意時，恒成立．綜上所述：的取值范圍是．四川省宜賓市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考號、姓名、班級填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為（）A.2 B. C.3 D.5【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的模，故選：B．2.下列運算不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A．，故正確，不符合題意；B．，故正確，不符合題意；C．，故正確，不符合題意；D．，故選項錯誤，符合題意；．故選：D．3.在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，模型1、2、3、4的決定系數(shù)依次為0.20，0.48，0.96，0.85，則其中擬合效果最好的模型是（）A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4【答案】C【解析】因為越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，所以這4個不同的模型擬合效果最好的模型是模型3.故選：C4.展開式中含的項的系數(shù)是（）A. B. C.10 D.5【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，則含的項的系數(shù)是，故選：C5.已知函數(shù)的極小值為，則（）A.1 B. C.1或 D.0【答案】A【解析】由求導(dǎo)得，.①當(dāng)時，由可得或，由可得，即當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故的極小值為，不合題意；②當(dāng)時，，故在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；③當(dāng)時，由可得或，由可得，即當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故的極小值為，解得.綜上，.故選：A.6.3名男生和2名女生共5位同學(xué)站成一排照相，且2位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）A.120 B.72 C.36 D.12【答案】B【解析】先排3名男生，有種排法，借助插空法，共有4個空位，故2名女生有種排法，共有種排法.故選：B.7.若隨機事件滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，故選：A．8.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，若成立，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)因為，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.可變形為，即，即.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.隨機變量，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為，所以，所以，，故A正確，B錯誤；由對稱性可知，所以，由對稱性可知，，而，所以，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.有唯一極值點 B.在單調(diào)遞增C.的最大值為 D.在處的切線方程為【答案】BC【解析】由，得，令，則或，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以在上遞增，在上遞減,在上遞增，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值.因為，所以的最大值為.，又，函數(shù)在點處的切線方程是，即.故AD錯誤；BC正確；故選：BC11.設(shè)，則（）A. B.展開式中系數(shù)最大值為C. D.【答案】ACD【解析】對于A，取，代入可得，，故A正確；對于B，由二項式的通項公式知，展開式中系數(shù)最大值為和，即和，故B錯誤；對于C，取，代入可得，取，代入則得，，兩式相減可得，，即得，故C正確；對于D，取，代入可得，，故D正確.故選：ACD.12.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）A.B.平面平面C.點到平面的距離為D.該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為【答案】BCD【解析】對于A：以點為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，所以A錯誤；對于B：設(shè)平面的法向量為，，，取，則，同理可得平面的法向量為，，則平面平面，故B正確；對于C：，點到平面的距離為，故C正確；對于D：該正方體的外接球的球心為，且外接球的半徑為,，點到平面的距離為，則平面截得的截面圓的半徑為，所以該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13若隨機變量，且，則_________．【答案】【解析】因，由可得，解得.故答案為：.14.已知雙曲線的離心率為，則_________．【答案】【解析】由題意，從而雙曲線的離心率為，結(jié)合，解得滿足題意.故答案為：.15.有3臺車床加工同一型號的零件，第臺車床加工的次品率依次為，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的、，任取一個零件，則它是次品的概率為_________．【答案】0.037【解析】依題意，事件“零件為第i臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”；所以.故答案為：0.03716.若函數(shù)無零點，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】一方面，若，設(shè)為實數(shù)，由于對有，對有，故或，從而對任意實數(shù)，都有.故，而我們還有，故函數(shù)存在零點，不滿足條件；另一方面，若，設(shè)，則.故對有，對有，所以在上遞減，在上遞增.從而對任意都有，即，此即.對，在不等式中令，得；在不等式中令，得.從而將和二者結(jié)合就有.故由，知對任意都有這表明對任意都有，故函數(shù)無零點，滿足條件.綜上，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足：，點在直線上．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為點在直線，所以，即．所以是等差數(shù)列，且首項為，公差為3．于是，．（2）因為．所以18.通過對某商品在六個城市的銷售情況與廣告投入的關(guān)系進行調(diào)研，得到一些統(tǒng)計量的值（如下表）.并發(fā)現(xiàn)該商品的銷售額（單位：百萬元）與其廣告費（單位：萬元）成線性相關(guān).用模型進行擬合，得出相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析繪制了如圖所示的殘差圖，但在隨后數(shù)據(jù)整理的過程中不小心將部分數(shù)據(jù)損壞.城市廣告費萬元

3681058336214銷售額/百萬元

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現(xiàn)將殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被視為異常數(shù)據(jù)，需要剔除.（1）剔除異常數(shù)據(jù)后，分別計算廣告費、銷售額的平均值；（2）求剔除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗回歸方程；并估計當(dāng)廣告費為20萬元時，銷售額為多少.參考公式：解：（1）由題知，剔除城市D，E的數(shù)據(jù)后，廣告費的平均值為：銷售額的平均值為：.（2）依題意，..所以.即得：當(dāng)時，.所以，估計當(dāng)廣告費為20萬元時，銷售額為百萬元.19.如圖,在四棱錐中,平面，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）過點作，所以在中，因為，則，所以于是，，過點作交于點,連接,因為，所以，因,則且，于是，四邊形是平行四邊形則平面平面，所以//平面（2）法一：因為平面，所以因為，所以平面，因平面,所以平面平面過點作交直線于，因平面,平面平面,故平面.過點作交直線于點，因平面，平面,則,得矩形，則,故,連接，因平面，平面,則,因,故平面,平面,則,所以為二面角的平面角.易得,由,則,即，故.在中，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為；法二：如圖建系，因為，．所以設(shè)平面的法向量，所以，不妨設(shè)，于是，，所以，設(shè)平面的法向量，所以，，不妨設(shè)，于是，所以，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為．20.某校為了了解學(xué)生體能情況，從全校男女生體能測試成績中隨機