第一章三角函數 7正切函數 學習目標1 理解任意角的正切函數的定義 2 能畫出y tanx x r x k k z 的圖像 3 理解正切函數的定義域 值域 周期性 奇偶性 及其在區間 內的單調性 4 正切函數誘導公式的推導及應用 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1 知識點一正切函數的定義 設角 的終邊與單位圓交于點p a b 那么何時有意義 答案 答案當a 0時 有意義 思考2 正切函數與正弦 余弦函數有怎樣的關系 答案 答案tan r k k z 梳理 1 任意角的正切函數 tan 2 正切函數與正弦 余弦函數的關系 3 正切值在各象限的符號根據定義知 當角在第和第象限時 其正切函數值為正 當角在第和第象限時 其值為負 一 三 二 四 思考 知識點二正切線 正切線是過單位圓上哪一點作出的 答案 答案過單位圓與x軸的非負半軸的交點a 1 0 梳理 如圖所示 線段為角 的正切線 at 思考1 知識點三正切函數的圖像與性質 正切函數的定義域是什么 答案 答案 x x r x k k z 思考2 能否說正切函數在整個定義域內是增函數 答案 答案不能 正切函數y tanx在每段區間 k z 上是增函數 但不能說正切函數在其整個定義域內是增函數 梳理 奇 思考 知識點四正切函數的誘導公式 前面我們學習過 2 等的正弦 余弦的誘導公式 并總結出 奇變偶不變 符號看象限 的記憶口訣 對正切函數能適用嗎 答案 答案因為tan k 所以口訣對正切函數依然適用 梳理 題型探究 類型一正切函數的概念 答案 解析 1 解決本題的關鍵是熟記正切函數的定義 即tan 2 已知角終邊上的一點m a b a 0 求該角的正切函數值 或者已知角 的正切值 求角 終邊上一點的坐標 都應緊扣正切函數的定義求解 在解題過程中 應注意分子 分母的位置 反思與感悟 解答 跟蹤訓練1已知點p 2a 3a a 0 是角 終邊上的一點 求tan 的值 類型二正切函數的圖像及性質 例2畫出函數y tanx 的圖像 并根據圖像判斷其單調區間 奇偶性 周期性 解答 其圖像如圖所示 由圖像可知 函數y tanx 是偶函數 1 作出函數y f x 的圖像一般利用圖像變換方法 具體步驟是 保留函數y f x 圖像在x軸上方的部分 將函數y f x 圖像在x軸下方的部分沿x軸向上翻折 2 若函數為周期函數 可先研究其一個周期上的圖像 再利用周期性 延拓到定義域上即可 反思與感悟 跟蹤訓練2將本例中的函數y tanx 改為y tan x 回答同樣的問題 結果怎樣 解答 其圖像如下 由圖像可知 函數y tan x 是偶函數 類型三正切函數誘導公式的應用 解答 例3求下列各式的值 1 7cos270 3sin270 tan765 解原式 7cos 180 90 3sin 180 90 tan 2 360 45 7cos90 3sin90 tan45 0 3 1 1 2 解答 1 熟記誘導公式和特殊角的三角函數值是解決此類問題的基礎和關鍵 2 無條件求值 又稱給角求值 關鍵是利用誘導公式將任意的三角函數值轉化為銳角的三角函數值 反思與感悟 解答 當堂訓練 2 3 4 1 答案 解析 5 答案 2 函數f x tan x 的遞增區間為 2 3 4 1 5 答案 2 3 4 1 5 4 tan等于a cot b cot c tan d tan 2 3 4 1 5 答案 解析 2 3 4 1 5 5 比較大小 tan1tan4 解析由正切函數的圖像易知tan1 0 答案 解析 所以tan1 tan 4 tan4 規律與方法 1 正切函數的圖像正切函數有無數多條漸近線 漸近線方程為x k k z 相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線 且是增加的 2 正切函數的性質 1 正切函數y tanx的定義域是 x x k k z 值域