3.2均值不等式課堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事項剖析：(1)a，b都是正實數，即所求最值的代數式中的各項必須都是正數，否則就會得出錯誤答案例如，當x0時，函數f(x)x22，所以函數f(x)的最小值是2由于f(2)22，很明顯這是一個錯誤的答案其原因是當x0時，不能直接用均值不等式求f(x)x的最值因此，利用均值不等式求最值時，首先確定所求最值的代數式中的各項是否都是正數其實，當x0，則f(x)x22，此時有f(x)2因此，當所求最值的代數式中的各項不都是正數時，應利用變形，轉化為各項都是正數的代數式(2)ab與ab有一個是定值，即當ab是定值時，可以求ab的最值；當ab是定值時，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就會得出錯誤答案例如，當x1時，函數f(x)x2，所以函數f(x)的最小值是2由于2是一個與x有關的代數式，很明顯這是一個錯誤的答案其原因是沒有掌握均值不等式求最值的條件：ab與ab有一個是定值其實，當x1時，有x10，則函數f(x)x1213因此，當ab與ab沒有一個是定值時，通常把所求最值的代數式采用配湊的方法化為和或積為定值的形式(3)等號能夠成立，即存在正數a，b使均值不等式兩邊相等，也就是存在正數a，b使得如果忽視這一點，就會得出錯誤答案例如，當x2時，函數f(x)x22，所以函數f(x)的最小值是2很明顯x中的各項都是正數，積也是定值，但是等號成立的條件是當且僅當x，即x1，而函數的定義域是x2，所以這是一個錯誤的答案其原因是均值不等式中的等號不成立其實，根據解題經驗，遇到這種情況時，一般就不再用均值不等式求最值了，此時該函數的單調性是確定的，可以利用函數的單調性求得最值利用函數單調性的定義可以證明，當x2時，函數f(x)x是增函數，函數f(x)的最小值是f(2)2因此在使用均值不等式求最值時，上面三個條件缺一不可，通常將這三個條件總結成口訣：一正、二定、三相等二、教材中的“思考與討論”均值不等式與不等式a2b22ab的關系如何？請對此進行討論剖析：(1)在a2b22ab中，a，bR；在ab2中，a，b0(2)兩者都帶有等號，等號成立的條件從形式上看是一樣的，但實質不同(范圍不同)(3)證明的方法都是作差比較法(4)都可以用來求最值題型一利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x，y(0，)，且2xy1，求的最小值；(2)已知x2，求函數f(x)x的最大值分析：(1)利用“1”的代換，即將等價轉化為1或即可；(2)將x等價轉化為2即可解：(1)(2xy)2133232，當且僅當，即時等號成立的最小值為32(2)x0，f(x)x2222，當且僅當2x，得x0或x4(舍去)，即x0時，等號成立x取得最大值2反思：求最值問題第一步就是“找”定值，觀察、分析、構造定值是問題突破口定值找到還要看“”是否成立，不管題目是否要求指出等號成立的條件，都要驗證“”是否成立題型二利用均值不等式比較大小【例2】 若ab0，試比較a，b的大小分析：這是一個有趣的不等式鏈，取特殊值可判斷其大小關系借助不等式和重要不等式變形可尋求判斷和證明的方法解：ab0，aa2b22ab，2(a2b2)(ab)2，2又a0，b0，則，b0，bab反思：均值不等式ab2(a，bR)是綜合證明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的條件，它與兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數是等價命題有趣的不等式鏈(a，bR)，揭示了兩正數倒數和、積、和平方、平方和之間的不等關系，當某一部分為定值時，其余三部分都能取到最值，且都在兩數相等時取等號，利用這個不等式鏈往往使復雜問題簡單化，要在理解的基礎上記憶和應用題型三利用均值不等式證明不等式【例3】 已知a，b，c都是正實數，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc分析：注意到abc1，故可運用“常數代換”的策略將所證不等式的左邊的“1”代換成字母形式證明：abc1，(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)又a，b，c都是正實數，0，0，0abc(1a)(1b)(1c)8abc當且僅當abc時，等號成立反思：這是一道條件不等式的證明題，充分利用條件是證題的關鍵，此題要注意“1”的整體代換及三個“”必須同時取到題型四利用均值不等式解恒成立問題【例4】 已知不等式(xy)9對任意正實數x，y恒成立，求正實數a的最小值分析：解：(xy)1a，又x0，y0，a0，22，1a1a2，要使(xy)9對任意正實數x，y恒成立，只需1a29恒成立即可(1)29，即13，a4，正實數a的最小值為4反思：恒成立問題是數學問題中非常重要的問題，在此類問題的解法中，利用均值不等式和不等式的傳遞性求解是最重要的一種方法，在高考中經常考查題型五易錯辨析【例5】 已知0x1，求f(x)2log5x的最值錯解：f(x)2log5x2222，f(x)的最小值為22錯因分析：ab2的前提條件是a，b0，0x1，log5x00不能直接使用均值不等式正解：0x1，log5x0(log5x)22log5x2f(x)22當且僅當log5x，即x5時，等號成立，此時f(x)有最大值22【例6】 求f(x)1的最小值錯解：因為f(x)111213，所以f(x)1的最小值為3錯因分析：忽視了等號成立的條件