考點14 三角形及其全等一、三角形的基礎知識1三角形的概念由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形2三角形的三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊推論：三角形的兩邊之差小于第三邊（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：判斷三條已知線段能否組成三角形；當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；證明線段不等關系3三角形的內角和定理及推論三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180推論：直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角4三角形中的重要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）（4）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半二、全等三角形1三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）2全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都相等考向一 三角形的三邊關系在判斷三條線段能否組成一個三角形時，可以根據兩條較短線段的長度之和是否大于第三條線段的長度來判斷典例1 小芳有兩根長度為6 cm和9 cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應該選擇長度為_的木條A2 cmB3 cmC12 cmD15 cm【答案】C【解析】設木條的長度為x cm，則96x9+6，即3x15，故她應該選擇長度為12 cm的木條故選C1以下列各組線段為邊，能組成三角形的是A2 cm，5 cm，8 cmB3 cm，3 cm，6 cmC3 cm，4 cm，5 cmD1 cm，2 cm，3 cm考向二 三角形的內角和外角在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角典例2 小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，則等于ABCD【答案】C【解析】如圖，=，故選C2如圖，CE是ABC的外角的平分線，若，則_3如圖，在ABC中，ACB=68，若P為ABC內一點，且1=2，則BPC=_考向三 三角形中的重要線段三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系另外，要注意區分三角形的中線和中位線中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.典例3 在ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分別為AB，BC，AC中點，連接DF，FE，則四邊形DBEF的周長是A5B7C9D11【答案】B【解析】D、E、F分別為AB、BC、AC中點，DF=BC=2，DFBC，EF=AB=，EFAB，四邊形DBEF為平行四邊形，四邊形DBEF的周長=2（DF+EF）=2（2+）=7，故選B【名師點睛】三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半典例4 在ABC中，BAC=115，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則EAG的度數為A50B40C30D25【答案】A【解析】BAC=115，B+C=65，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，EA=EB，GA=GC，EAB=B，GAC=C，EAG=BAC（EAB+GAC）=BAC（B+C）=50，故選A4如圖，在RtABC中，A=90，BD平分ABC交AC于D點，AB=4，BD=5，點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是_考向四 全等三角形1從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路：（1）已知兩邊 （2）已知一邊、一角 （3）已知兩角 2若題中沒有全等的三角形，則可根據題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目典例5 如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，ABDE，A=D，BF=EC（1）求證：ABCDEF；（2）若A=120，B=20，求DFC的度數【解析】（1）ABDE，B=E，BF=ECBF+FC=EC+CF，即BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（2）A=120，B=20，ACB=40，由（1）知ABCDEF，ACB=DFE，DFE=40，DFC=40【名師點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，三邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“SSS”；兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，簡記為“SAS”；兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“ASA”；兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“AAS”；斜邊及一直角邊對應相等的兩個三角形全等，根據這幾種判定方法解答即可5如圖，OA=OB，A=B，有下列3個結論：AODBOC，ACEBDE，點E在O的平分線上，其中正確的結論個數是A0B1C2D36如圖，在BCE中，ACBE，AB=AC，點A、點F分別在BE、CE上，BF、AC相交于點D，BD=CE求證：AD=AE1下列線段，能組成三角形的是A2 cm，3 cm，5 cmB5 cm，6 cm，10 cmC1 cm，1 cm，3 cmD3 cm，4 cm，8 cm2下列圖形不具有穩定性的是A正方形B等腰三角形C直角三角形D鈍角三角形3直角三角形中兩銳角之差為20，則較大銳角為A45B55C65D504如圖，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為點E，DE=1，則BC=AB2C3D+25如圖所示，AB=DB，BC=BE，欲證ABEDBC，則需補充的條件是AA=DBE=CCA=CD1=26如圖，ABC中，H是高AD、BE的交點，且BH=AC，則ABC=_7如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則123=_度8如圖，已知ABCF，E為DF的中點，若AB=8，CF=5，則BD=_9如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90，BD是中線，AFBD，F為垂足，過點C作AB的平行線交AF的延長線于點E求證：（1）ABD=FAD；（2）AB=2CE10如圖，在RtABC中，ACB=90，點D，F分別在AB，AC上，CF=CB連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90后得CE，連接EF（1）求證：BCDFCE；（2）若EFCD求BDC的度數11如圖，操場上有兩根旗桿CA與BD之間相距12 m，小強同學從B點沿BA走向A，一定時間后他到達M點，此時他測得CM和DM的夾角為90，且CM=DM，已知旗桿AC的高為3 m，小強同學行走的速度為0.5 m/s，則：（1）請你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強從M點到達A點還需要多長時間？1（2019徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是A，B，12C，D，2（2019百色）三角形的內角和等于ABCD3（2019荊門）將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相垂直，則的度數是ABCD4（2019大慶）如圖，在ABC中，BE是ABC的平分線，CE是外角ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若A=60，則BEC是A15B30C45D605（2019長春）如圖，在中，為鈍角用直尺和圓規在邊上確定一點使，則符合要求的作圖痕跡是ABCD6（2019張家界）如圖，在中，BD平分，則點D到AB的距離等于A4B3C2D17（2019梧州）如圖，是的邊的垂直平分線，為垂足，交于點，且，則的周長是A12B13C14D158（2019臨沂）如圖，是上一點，交于點，若，則的長是A0.5B1C1.5D29（2019河南）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，D=90，AD=4，BC=3分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O若點O是AC的中點，則CD的長為A2B4C3D10（2019宿遷）一副三角板如圖擺放（直角頂點重合），邊與交于點，則等于ABCD11（2019青島）如圖，BD是ABC的角平分線，AEBD，垂足為F若ABC=35，C=50，則CDE的度數為A35B40C45D5012（2019濱州）如圖，在和中，連接交于點，連接下列結論：；平分；平分其中正確的個數為A4B3C2D113（2019蘭州）在ABC中，AB=AC，A=40，則B=_14（2019長沙）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE=50 m，則AB的長是_m15（2019成都）如圖，在ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，BAD=CAE，若BD=9，則CE的長為_16（2019南通）如圖，ABC中，AB=BC，ABC=90，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若BAE=25，則ACF=_度17（2019瀘州）如圖，和相交于點，求證：18（2019廣州）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，FCAB，求證：19（2019無錫）如圖，在ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點O求證：（1）；（2）變式拓展1【答案】C【解析】2cm+5cm10，故正確；C、1+13，故錯誤；D、4+38，故錯誤故選B2【答案】A【解析】根據三角形具有穩定性可知，只有選項A不具有穩定性，故選A3【答案】B【解析】設兩個銳角分別為x、y，由題意得，解得，所以最大銳角為55故選B4【答案】C【解析】根據角平分線的性質可得CD=DE=1，根據RtADE可得AD=2DE=2，根據題意可得ADB為等腰三角形，則DE為AB的中垂線，則BD=AD=2，則BC=CD+BD=1+2=3故選C5【答案】D【解析】根據全等“SAS”判定可知，要證ABEDBC還需補充條件AB，BE與BC，BD的夾角相等，即ABE=CBD或者1=2，故選D6【答案】45【解析】ADBC，BEAC，ADB=ADC=BEC=90，HBD+C=CAD+C=90，HBD=CAD，在HBD和CAD中，HBDCAD，AD=BD，DAB=DBA，ADB=90，ABD=45，即ABC=45故答案為：457【答案】135【解析】如圖所示：由題意可知ABCEDC，3=BAC，又1+BAC=90，1+3=90，DF=DC，2=45，1+2+3=135度，故答案為：1358【答案】3【解析】ABCF，A=FCE，ADE=F，又DE=FE，ADECFE，AD=CF=5，AB=8，BD=ABAD=85=3，故答案為：39【解析】(1)BAC=90，FADBAF=90.AFBD，在RtABF中，ABDBAF=90，ABD=FAD(2)CEAB，BAC=90，ACE=90，在BAD和ACE中，ABD=CAE，AB=CA，BAC=ACE=90，BADACE(ASA)，AD=CE.BD為ABC中AC邊上的中線AC=2AD，AC=2CE.又AB=AC，AB=2CE.10【解析】（1）將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90后得CE，CD=CE，DCE=90，ACB=90，BCD=90ACD=FCE，在BCD和FCE中，CB=CF，BCD=FCE，CD=CE，CB=CF，BCD=FCE，BCDFCE（2）由（1）可知BCDFCE，BDC=E，BCD=FCE，DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90，EFCD，E=180DCE=90，BDC=9011【解析】（1）如圖，CM和DM的夾角為90，1+2=90，DBA=90，2+D=90，1=D，在CAM和MBD中，CAMMBD（AAS），AM=DB，AC=MB，AC=3m，MB=3m，AB=12m，AM=9m，DB=9m；（2）90.5=18（s）答：小強從M點到達A點還需要18秒直通中考1【答案】D【解析】，不能組成三角形，故選項A錯誤，不能組成三角形，故選項B錯誤，不能組成三角形，故選項C錯誤，能組成三角形，故選項D正確，故選D2【答案】B【解析】因為三角形的內角和等于180度，故選B3【答案】C【解析】如圖，由題意得，由三角形的外角性質可知，故選C4【答案】B【解析】BE是ABC的平分線，EBM=ABC，CE是外角ACM的平分線，ECM=ACM，則BEC=ECMEBM=（ACMABC）=A=30，故選B5【答案】B【解析】且，點是線段中垂線與的交點，故選B6【答案】C【解析】如圖，過點D作于E，BD平分，即點D到AB的距離為2，故選C7【答案】B【解析】是的邊的垂直平分線，的周長是：故選B8【答案】B【解析】，在和中，故選B9【答案】A【解析】如圖，連接FC，則AF=FCADBC，FAO=BCO在FOA與BOC中，FOABOC（ASA），AF=BC=3，FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1在FDC中，D=90，CD2+DF2