習題參考答案2-1 已知R-L-C網絡如圖所示，試列寫以ui為輸入，uo為輸出的微分方程模型。解：電感方程：.（1）電容方程：.（2）有6個變量，列出微分方程模型時保留2個，因此要消掉4個變量，還需要列出3個方程：由KVL：.（3）由KCL：.（4）在輸出端：.（5）將（5）代入（1）（4）可消去，然后將（4）代入（1）（3）消去得到：用方程（2）消去：將（7）整理為后取時間的導數，再將（2）代入，得到：.（8）最后，將（6）整理為，代入得到經整理，可得到系統的微分方程模型為2-2 已知機械系統如圖所示，其中位移為輸入，位移為輸出。試列寫該系統的微分方程模型及其傳遞函數。解：在阻尼器1和2取輔助點，設其位移為，由彈簧力和阻尼力平衡的原則，可得到消去中間變量，可得到系統的微分方程模型為則系統的傳遞函數為2-3 已知水箱系統如圖所示，該系統為有自衡能力雙容過程，其中 和分別為水箱1和水箱2的容量系數，、和分別為閥門1、閥門2和閥門3的液阻，Q1為輸入，h2為輸出。試列寫該系統的微分方程模型及其傳遞函數。解：根據動態物料平衡，可列出下列增量方程：對水箱1：對水箱2：從以上四個式子中消去、和，并整理得上式中，令，則得對上式進行Laplace變換，并分解因式，得傳遞函數為2-4 試求下列函數的Laplace變換，假設時，函數。 解：2-5 已知某傳遞函數為 ，(1) 試將傳遞函數化為首1標準型（零、極點形式）；(2) 求系統的靜態增益； (3) 求系統的微分方程；(4) 求系統的零、極點。解：(1) (2)(3)由得到在零初始條件下進行Laplace反變換可得系統的微分方程(4)令分子多項式等于零，求出，令分母多項式等于零，求出，2-6 試用結構圖等效化簡求下圖的傳遞函數。解：（1）將環節輸出端的引出點后移，并將、反饋環節合并，得到圖（1）；（2）將環節輸出端的引出點后移，并將反饋環節合并，得到圖（2）；（3）由圖（2）可計算得系統的傳遞函數為2-7 已知系統方程組如下：試繪制系統結構圖，并求閉環傳遞函數。解：由系統方程繪制系統結構圖如下所示，該系統有4個獨立環路：，有1條前向通路，其前向通路的傳遞函數分別為。由Mason增益公式可直接寫出系統的傳遞函數為2-8 試用Mason增益公式求下圖中各系統的傳遞函數。解：（a）該系統有4個獨立環路：，。有1條前向通路，其前向通路的傳遞函數分別為。由Mason增益公式可直接寫出系統的傳遞函數為（b）該系統有3個獨立環路：，。有2條前向通路，其前向通路的傳遞函數分別為：，有1組互不接觸環路：和。由Mason增益公式可直接寫出系統的傳遞函數為2-9 已知系統如圖所示，試求系統的傳遞函數。解：該系統有3個獨立環路：，。有2條前向通路，其前向通路的傳遞函數分別為由Mason增益公式可直接寫出系統的傳遞函數為2-10 已知系統如圖所示，試求系統的輸出。解：令，則令，則令，則令，則根據疊加原理，則有系統的輸出633-1 已知系統的特征方程如下，判斷系統的穩定性。（1）（2）（3）（4）解：用Routh判據。（1）穩定。（2）不穩定。（3）不穩定。（4）不穩定。3-2 已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試確定使系統穩定的參數K的范圍。（1）（2）解：用Routh判據。（1）系統閉環特征多項式為。列出Routh表因此系統穩定的充要條件是。（2）系統閉環特征多項式為。列出Routh表因此系統穩定的充要條件是。3-3 已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試確定使系統穩定的參數K和T的范圍。（1）（2）解：用Routh判據。（1）系統閉環特征多項式為。列出Routh表因此系統穩定的充要條件是。（2）系統閉環特征多項式為。列出Routh表不妨設，則系統穩定的充要條件是即。3-4某典型二階系統單位階躍響應曲線如圖所示。求（1）調節時間（5%）；（2）超調量%；（3）峰值時間；（4）阻尼振蕩頻率；（5）系統的極點位置。3-4題圖解：(1)過渡過程時間 (2)超調量 (3)峰值時間(4)阻尼振蕩頻率(5) ，極點為。3-5已知單位反饋系統結構圖如圖所示。求（1）K50時系統單位階躍響應的超調量；（2）K取何值才能使系統單位階躍響應的超調量。3-5題圖解：（1）閉環系統特征多項式，。代入得到。（2）由得到。令得到。將代入得到。因此。閉環系統特征多項式，。因此有，得到。3-6根據以下二階系統的技術指標要求，畫出系統極點在s平面上的分布。（1）（2）（3）（4）解：3-7某速度反饋系統結構圖如右圖所示。求（1）K0時，閉環系統的阻尼系數、超調量和調整時間。（2）K取何值閉環系統的阻尼系數？（3）K取何值使得閉環系統為過阻尼系統？3-7題圖解：閉環系統傳遞函數為。因此有，。（1）K0時，因此，（2）時，要求K0.207。（3）要使閉環系統為過阻尼系統，要求K0.5。3-8已知系統結構圖如圖所示。求（1）T0時，閉環系統的超調量和調整時間。（2）T2時，閉環系統的超調量和調整時間。（3）T取何值使得系統的超調量為零？3-8題圖解：閉環系統傳遞函數為。因此有，。（1）T0時，因此，（2）T2時，對于典型二階系統，但實際閉環系統傳遞函數為，含有零點。可用計算機輔助計算得到實際，。（3）要使系統的超調量為零，要求T4。3-9 某一階系統結構圖如圖所示。要求系統閉環增益為2，調節時間。試確定參數T和K的值。3-9題圖解：閉環系統傳遞函數為。閉環增益得到K0.5。調節時間得到。3-10給定典型二階系統的設計指標：超調量，調節時間，峰值時間。試確定系統極點配置的區域，以獲得預期的響應特性。解：系統為欠阻尼二階系統。根據設計指標確定系統參數（1）若令，前面已經得到。因此。（2）由得到。（3）調節時間比較復雜。如果設，則，得到。事實上，越大，調節時間越短。系統極點配置的區域如圖陰影部分所示。3-11 已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，求系統單位階躍響應和單位斜坡響應的穩態誤差。（1）（2）（3）（4）解：單位階躍響應的穩態誤差為。單位斜坡響應的穩態誤差為。（1）閉環系統穩定，（2）閉環系統不穩定。（3）閉環系統穩定，（4）閉環系統不穩定。 3-12 已知溫度計的傳遞函數為。用其測量容器內的水溫，1分鐘才能顯示出該溫度的98%的數值。若加熱容器使水溫按每分鐘5C的速度勻速上升，問溫度計的穩態指示誤差有多大？解：依題意，溫度計的時間常數。輸入信號為斜坡信號，。輸出穩態誤差為3-13 已知如圖系統的輸入和擾動均為。求（1）系統輸出的穩態誤差。（2）調整哪個環節可以使穩態誤差為零？如何調整？解：（1）系統輸出為。輸出穩態值為。穩態誤差。（2）在擾動輸入之前，即處，串聯一個比例積分環節就可以消除穩態誤差。只增加純積分環節不能保持系統穩定性。3-13題圖3-14題圖3-14 如圖是船舶橫搖鎮定系統結構圖，引入內環速度反饋是為了增加船只的阻尼。（1）求海浪擾動力矩對船只傾斜角的傳遞函數；（2）為保證為單位階躍輸入時傾斜角的值不超過0.1，且系統的阻尼比為0.5，求、和應滿足的方程；（3）=1時，確定滿足（2）中指標的和值。解：（1）由Mason公式得到（2）擾動。由Laplace變換的終值定理，傾斜角的穩態值，得到。系統的阻尼比為0.5，即，可簡化為。即應滿足，。（3）=1時，。3-15 已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試繪制系統的常規根軌跡。（1）（2）解：根軌跡如圖。步驟略。3-15（1）根軌跡3-15（2）根軌跡3-16 已知單位反饋系統的開環傳遞函數如下，試繪制以a為變量的參數根軌跡。（1）（2）解：（1）閉環系統特征方程為解出a得到變換為實際上就是繪制的常規根軌跡。系統有2條根軌跡分支，起始于極點，一條趨向零點，另一條趨向實軸負無窮。起始角滿足相角條件可得到起始角為。分離點滿足方程，經整理得，解出。根軌跡如圖。（2）閉環系統特征方程為解出a得到變換為實際上就是繪制的常規根軌跡。系統有2條根軌跡分支，起始于極點，一條趨向零點，另一條趨向實軸負無窮。起始角滿足相角條件可得到起始角為。分離點滿足方程，解出。根軌跡如圖。3-17 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為。希望系統的所有特征根位于s平面上s2的左側區域，且阻尼比。求K和a的取值范圍。解：先畫出根軌跡。如圖所示。分別做出和的等阻尼線，它們與負實軸夾角分別為和。它們與根軌跡的交點分別為閉環系統特征多項式為。時特征根為，可得到時特征根為，可得到因此K的取值范圍是為了使所有特征根位于s平面上s2的左側區域，應使。即a的取值范圍是。3-18 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為。試確定系統在阻尼比時對應的值以及相應的閉環極點，估算此時系統的動態性能指標。解：先畫出根軌跡。做出的等阻尼線，它與負實軸夾角為。如圖所示。等阻尼線與根軌跡的交點即為相應的閉環極點，可設相應兩個復數閉環極點分別為閉環特征多項式為同時比較系數有解得故時在所求得的3個閉環極點中，至虛軸的距離與或至虛軸的距離之比為倍。可見，、是系統的主導閉環極點。于是，可由、所構成的二階系統來估算原三階系統的動態性能指標。將代入二階系統動態性能指標的公式得原系統為型系統，系統的靜態速度誤差系數計算如下系統在單位階躍信號作用下的穩態誤差為0，在單位斜坡信號作用下的穩態誤差為。3-19在正反饋條件下，系統特征方程為時，此時根軌跡方程為，相角條件為，；或者，將負反饋條件下非最小相位系統化為標準形式時，會出現增益為負的情形，根軌跡的相角條件也為。以相角條件為相應繪制的根軌跡稱為零度根軌跡。在繪制零度根軌跡時，僅與幅值有關的性質都與相角條件為的常規根軌跡的性質相同，而所有跟相位有關的性質則與常規根軌跡的性質不同，請你列舉零度根軌跡這些不同的性質，并加以說明。法則3 實軸上的根軌跡：實軸上的某一區域，若其右邊開環實數零、極點個數之和為偶數，則該區域必是根軌跡。法則4 根軌跡的漸近線與實軸夾角應改為 （=0，1，2，）法則6 根軌跡的出射角和入射角用可直接利用相角條件4-1已知單位反饋系統的開環傳遞函數為試求：使系統增益裕度為10的K值；使系統相角裕度為的K值。解: 系統開環頻率特性為(1) 求的K值：令為相角交越頻率，有，由可解得K=1。(2) 求的K值：由定義求得系統幅值交越頻率由將代入上式可求得。4-2試由幅相頻率計算式確定最小相位系統的傳遞函數。解:由相頻計算式可得出傳遞函數的形式為由幅頻計算式有求得，所求最小相位系統的傳遞函數為4-3已知單位反饋系統開環傳遞函數若希望系統閉環極點都具有小于-1的實部，試用Nyquist判據確定增益K的最大值。解：令，則“平面所有極點均處于負平面”等價于“平面所有閉環極點均具有小于-1的實部”，并且可見并無右半平面的開環極點，所以的Nyquist軌線不能包圍點。只要滿足：軌線與負實軸的交點在-1點右側（大于-1）即可，令的相頻為，得到求得的相角交越頻率 即若希望系統閉環極點都具有小于-1的實部，增益K的最大值為。4-4設某系統結構圖如下圖所示，其中K 0。（1）試求系統穩態誤差；（2）若=1時,要求穩態誤差幅值，試選擇K值。解：(1)求系統穩態誤差，系統開環傳遞函數為，閉環系統的誤差傳遞函數為其幅值與相位為因輸入，系統的穩態誤差為(2)因，令有解得 (舍去).故滿足題意要求的K值范圍為4-5已知系統型次（含有個積分環節），Nyquist曲線起始于實軸（），試問什么情況下起始于負實軸，什么情況下起始于正實軸。答：當開環增益時，起始點位于正實軸；當開環增益時，起始點位于負實軸。4-6 設系統的開環傳遞函數為 其中。（1）已知，試概略繪制該系統的Nyquist圖。（2）若，請概略繪制該系統的Nyquist圖。解：（1），而且對于小正數，有， 概略繪制的Nyquist圖如下 （2），而且對于小正數，有，概略繪制的Nyquist圖如下 4-7 設系統的開環頻率特性函數的極坐標圖如圖所示。試用Nyquist穩定性判據判定閉環系統的穩定性。 開環系統穩定 開環系統穩定 開環系統有2個RHP極點解：（1）P=0，2，N= P+=2，閉環系統不穩定，有2個RHP極點。（2）P=0，1，故N= P+=1，閉環系統不穩定，有1個RHP極點。（3）P=2，-2，故N= P+=0，閉環系統穩定。4-8已知系統開環傳遞函數把虛軸上的開環極點視為不穩定的開環極點，重新確定Nyquist路徑，并繪制L(s)的Nyquist圖，據此判定閉環系統的穩定性。解：s平面小圓弧順時針的路徑映射為L(s)平面逆時針的大圓弧。 Nyquist路徑 L(s)的Nyquist圖wn =-1（逆時針）， P=1，N=0，閉環系統穩定。4-9已知最小相位（單位反饋）開環系統的漸近對數幅頻特性如圖所示。（1）試求取系統的開環傳遞函數；（2）要求系統具有的穩定裕度，求開環放大倍數應改變的倍數。解: (1) 由圖可得出系統開環傳遞函數的基本形式為 將點(0.1，40)代入上式，因低頻段幅值僅由比例環節和積分環節決定，即求得 K=10，所求系統開環傳遞函數為(2)由相角裕度的定義導出 解出由交越頻率的定義有解出K=0.335。即開環放大倍數衰減30倍。4-10 已知系統的開環傳遞函數為（1）用漸近線法繪制系統的開環Bode圖；（2）由Bode圖判斷閉環系統的穩定性；（3）求出交越頻率以及相角裕度的近似值；（4）由MATTAB作Bode圖，求出交越頻率和相角裕度，并與漸近線圖解比較。解：（1）首先將化為尾1標準形式=知該系統為典型型系統，各環節轉折頻率為0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，過=1，|G(i)|dB=20的點，作斜率為-40的直線，遇到轉折頻率0.2、0.6 、12、50時，相應地直線斜率變化，如下圖所示。（2）P=0，故N= P+=0，閉環系統穩定。（3）由=1 ，解得5.56，（4）MATTAB程序校驗num=400/3*25 15 9;den=conv(1 0.2 0 0,1 62 600);bode(num,den); grid on Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(num,den)Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533交越頻率為5.05rad/s，相角裕度為，這與近似計算值非常接近。4-11 已知各最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線如圖所示，（1）試確定各系統的開環傳遞函數；（2）求相角裕度；（3）概略畫出對應的相頻特性曲線；（4）分析閉環系統的穩定性。解：I. 針對(a)圖：(1)如圖，轉折頻率為2、10、20。該系統為典型型系統，其開環傳遞函數形式為即20lgK=20，解得K=10。該系統的開環傳遞函數為(2)即20=20lg(2) ，解得=5，由此(3) (4)P=0，故N= P+=0，閉環系統穩定。II. 針對(b)圖：(1)設未知轉折頻率從左至右依次為、，則其開環傳遞函數形式為， 解得K=10；，解得=1 =1；，解得=82.54， =0.0121，解得=46.42，=0.0215 解得=2.61 =0.383該系統的開環傳遞函數為(2)=100，由此(3) (4)P=0，故N= P+=2，閉環系統不穩定，有2個RHP極點。4-12針對正反饋系統，Nyquist給出=0的幅相頻率特性圖如下，臨界點為1，重新表述Nyquist穩定性定理。正反饋系統的Nyquist圖，臨界點為1答：若開環傳遞函數的RHP極點數為P, 則閉環系統穩定的充分必要條件是L(s) 的Nyquist 圖 L(i) ，=順時針環繞臨界點L=1的圈數為P。4-13設系統的開環傳遞函數為，求交越頻率和相角交越頻率，并用MATLAB程序進行校核，你得到什么結論。解：（1）起點：（2）終點： （3）=與實軸的交點：令虛部為即=0 解得=0.2，=0.447，此時=-9。與虛軸的交點：令實部為即=0 解得=9.57 =3.09，此時=4.43。使用理論計算值與nyquist(sys)的計算結果基本沒差別，但相差較大。原因是變化范圍為-+。若指定頻率范圍，采用命令nyquist(sys,w)，w=wmin,wmax，可使之與理論計算值吻合。num=6 -18 30;den=1 2 -3;sys=tf(num,den);w=0.1,100;nyquist(sys,w)margin(sys)5-1設一單位負反饋系統的開環傳遞函數為。設計串聯校正環節，使校正后系統的相角裕度，交越頻率。解 由MATLAB程序num=200;den=0.1 1 0;margin(num,den);grid on繪制未校正環節的幅頻特性圖，得到：，所需要的相角最大超前量為由于，可使用超前校正 校正裝置在處增益。令，在交越頻率處幅值為，由此得到，由此解出。校正裝置的傳遞函數，校驗否滿足設計條件：校正后系統的開環傳遞函數為由MATLAB程序num=200*0.035 1;den=conv(0.1 1 0,0.006 1);margin(num,den);grid on校正后系統的Bode圖為，滿足設計要求。5-2 設單位反饋系統的開環傳遞函數要求校正后系統的靜態速度誤差系數，相角裕度，試設計串聯校正裝置。解（1）根據穩態誤差要求，選取控制器的靜態增益。(2)繪制未校正系統的Bode圖。的Bode圖及穩定裕度因為，可使用滯后校正，由確定校正后系統的交越頻率，從圖中直接讀出。在交越頻率下的增益為11.8dB，由，解出，滯后校正為校正后系統的開環傳遞函數為MATLAB程序驗證：num=100;den=0.04 1 0;numc=0.5 1;denc=1.9 1;G=tf(num,den);C=tf(numc,denc);L=G*C;margin(L)校正后系統的Bode圖及穩定裕度，滿足要求。5-3 已知單位反饋最小相位系統的固有部分對數幅頻特性和串聯校正裝置的對數幅頻特性如下圖所示。（1）由圖形寫出傳遞函數和；（2）求校正前系統的相角裕度；（3）畫出校正后系統的對數幅頻特性。解 （1）未校正系統的開環傳遞函數為當時，其幅值為80dB，即，故。（2）未校正系統的交越頻率為，解得，未校正系統的相位裕度為（3）校正裝置的傳遞函數為，校正后開環系統的傳遞函數為，由可以求得，在各轉折頻率處的幅值：當時，74dB；當時，21.9dB；當時，6dB；當時，46dB。由此可知，已校正系統的交越頻率。故有，解出，校正后的對數幅頻特性圖。5-4 已知系統開環傳遞函數為試設計串聯校正裝置，使系統對斜坡輸入的穩態誤差為零，且，系統具有的高頻滾降特性。解 依題意，校正裝置需具有積分控制功能。由MATLAB程序：num=250;den=0.001 0.11 1 0;margin(num, den)作的Bode圖，由此可知不能僅靠PI校正實現系統的校正目標，應采用PID校正選擇。使系統校正后的交越頻率。的Bode圖PD校正部分：，PI校正部分：rad/s，s，解出高頻滾降部分：，s，所以，校正裝置的傳遞函數：驗算：校正后系統的開環傳遞函數為采用MATLAB來驗證：numP=250;denP=conv(0.1 1 0,0.01 1);P=tf(numP,denP);numC=0.44*conv(0.1 1,0.316 1);denC=conv(0.01 1 0,0.003162 0.00316 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L)由圖直接讀出以下數據：；高頻具有滯后相角，對應于具有的高頻滾降特性。滿足校正要求。的Bode圖5-5設一單位反饋系統如下圖所示，試設計一速度反饋校正裝置，使系統校正后對單位階躍響應的超調量不超過15%。解 采用如下圖所示的局部速度反饋校正方案校正后系統的開環傳遞函數為閉環傳遞函數為由此得到， 由，得到，取5-6 對含有諧振環節的高階系統，設其開環傳遞函數為試設計串聯校正裝置，使校正后的系統滿足：模裕度，誤差系數，交越頻率。解：（1）由校正后系統的穩態誤差要求，確定的靜態增益為。繪制KP(s)的頻率特性，由如下MATLAB程序numKP=500*0.2*1 0.1 0.5; denKP=conv(1 1 0,1 0.05 0.45); KP=tf(numKP,denKP); margin(KP)計算出KP(s)的交越頻率。由如下MATLAB程序S0=feedback(1,KP ,-1); ninf,fpeak = norm(S0,inf)得到，模裕度。這些性能指標都不符合系統的設計要求。（2）確定校正裝置采用超前校正顯然不能滿足交越頻率要求；若使用滯后校正，可能使諧振頻段的開環幅頻特性靠近0dB線，對系統的魯棒性不利。因此考慮采用滯后-超前校正。 取,計算校正后的相角裕度；取，由上圖讀出。取，。超前校正部分提供的相角補償，s所以，超前裝置部分的參數為確定滯后校正部分由圖可以讀出，滯后校正部分提供的高頻衰減參數為， （3）驗算寫出校正后系統的開環傳遞函數繪制校正后系統的頻率特性，得到，符合要求。numP=0.2*1 0.1 0.5; denP= conv(1 1 0,1 0.05 0.45) ;P=tf(numP,denP);numC=500*conv(0.48 1,2 1);denC=conv(0.083 1,13.4 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L) 由MATLAB 程序S=feedback(1,L ,-1); ninf,fpeak = norm(S,inf)得到，模裕度，滿足要求。5-7極點配置：已知圖5-29中被控對象的傳遞函數為設參考輸入uc指令至輸出y的理想的閉環系統傳遞函數由指定，求控制器的多項式，和。解：(1)，（2）取，令，得到多項式和 的Diophantine方程比較方程各次冪的系數，給出若，這些方程有解，有，控制器的多項式，和為6-1 已知線性系統的微分方程如下，試用等傾線法繪制其相軌跡。（1）（2）（3）（4）（5）（6）6-2 已知二階非線性系統的微分方程如下，求其奇點并確定奇點類型。（1）（2）6-3 如圖所示二階系統，非線性部分輸出M1。（1）輸入時，試用等傾線法做出變量x的相平面圖，分析極限環的形成情況。（1）輸入時，試用等傾線法做出變量x的相平面圖，并與（1）對比。題6-3圖解：由圖列出系統變量的方程：得到變量x的方程：（1）時，變量x的方程：在I區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。在II區，等傾線方程為，即一簇平行線。在III區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。當a = 0時，不存在II區，可形成極限環。（2）時，變量x的方程：在I區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。在II區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。在III區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。可見相軌跡形成一個穩定的極限環。（1）（2）6-4 如圖所示二階系統，非線性部分k1，輸入。試用等傾線法做出變量x的相平面圖，分析極限環的形成情況。題6-4圖解：由圖列出系統變量的方程：，即。再由得到變量x的微分方程：在I區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。在III區，等傾線方程為。當時，當時，當時，因此相軌跡匯合到水平線并趨向無窮遠處。在II區，作變量替換，系統方程變為。奇點z0（xT）是穩定的焦點。當Ta時，I區和III區的相軌跡進入II區，但是II區的奇點xT在I區，因此相軌跡將在I區和II區循環，形成極限環。6-5 如圖所示非線性系統中，繼電特性輸出幅值M=4.7。（1）如果繼電器特性的a=0，求系統的自持振蕩周期和振幅。（2）a為何值時，系統無自持振蕩？題6-5圖解： 設正弦輸入信號的幅值為A。死區繼電器特性描述函數為：其負倒描述函數為實數。系統頻率特性，產生自持振蕩的條件是，即。因此分析系統自持振蕩就是確定和的交點。線性部分的頻率特性為畫出其Nyquist圖。當，即時，與實軸相交，交點為。（1）a=0時，當A從變化時，從。時，與相交，交點為實軸的2/3，即，得到。因此自持振蕩周期，振幅。（2）a0時，當A從變化時，從，其中時達到最大值。如果，則和不相交。因此時，系統無自持振蕩。6-6已知非線性系統結構圖如圖所示，其中Mh1，。當K取何值時，系統會產生自振？題6-6圖解：輸入為正弦信號時，非線性元件的描述函數與頻率無關，可以看作常數。由梅森公式寫出閉環系統的傳遞函數為閉環系統特征方程為，即由Nyquist判據可知，當在右半平面沒有零極點時，要使系統穩定，要求曲線與不相交。兩位置滯環繼電器特性的描述函數負倒描述函數為再由將代入得到作出s平面圖如下。下面計算曲線與虛軸的交點。令實部為0，即，得到。此時就是曲線與虛軸的交點。當時，交點為0；當時，交點也為0。因此當K由變化時，交點由0向虛軸負無窮方向移動，達到最大值后又向0移動。當交點位于虛軸時，曲線與不相交，系統穩定。臨界的K值滿足即解得即，根據前面分析，當時，系統產生自振，頻率。6-7已知非線性系統結構圖如圖所示，。當K取何值時，系統會產生自振？題6-7圖解：前面已經得到飽和非線性特性的描述函數為當Aa時取最小值k，作出G(i)平面圖如下。下面計算曲線與負實軸的交點。令虛部為0，即，得到。此時當時，交點為0；當時，交點為5/3。因此當K由變化時，交點由0向5/3移動。當交點位于實軸時，曲線與不相交。臨界點的K值滿足解出K6。根據前面分析，當K6時，系統產生自振。6-8 已知非線性速度反饋系統如圖所示。利用MATLAB的輔助，求系統單位階躍響應的解析表達式。題6-8圖解：系統的閉環傳遞函數為（1）當時，系統為欠阻尼系統（），單位階躍響應為借助MATLAB可知當t1.294時。此時（2）當，即tt01.294時，系統微分方程為作拉普拉斯變換得到得到系統響應總之，系統單位階躍響應為7-1 求如下信號的頻譜。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：控制系統中的信號都是指時函數。以下信號不考慮頻譜中的奇異信號。（1）（2）（3）（4）（5）（6）7-2 對題7-1的信號進行采樣，采樣頻率為T=0.1秒，（