河南省洛陽市理工學院附中2025屆數學高一下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（）A． B． C． D．2．在中，內角的對邊分別為，若，那么（）A． B． C． D．3．若關于的不等式在區間上有解,則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．下列各角中與角終邊相同的角是A． B． C． D．5．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．6．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．圓的圓心坐標和半徑分別為（）A． B． C． D．8．某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．9．直線的傾斜角是()A． B． C． D．10．已知組數據，，…，的平均數為2,方差為5,則數據2+1，2+1，…，2+1的平均數與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=21二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在直角坐標系中，已知任意角以坐標原點為頂點，以軸的非負半軸為始邊，若其終邊經過點，且，定義：，稱“”為“的正余弦函數”，若，則_________．12．若函數的圖象與直線恰有兩個不同交點，則的取值范圍是________.13．設向量與向量共線，則實數等于__________．14．已知直線過點，，則直線的傾斜角為______.15．若數列滿足（）,且，，__.16．已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．△ABC的內角A，B，C所對邊分別為，已知△ABC面積為.（1）求角C；（2）若D為AB中點，且c=2，求CD的最大值.18．已知.（1）求；（2）求的值.19．數列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和，并求使成立的實數最小值.20．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為中點.（1）求證:平面；（2）求證:平面.21．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面積S．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據奇函數和增函數的定義逐項判斷.【詳解】選項A：不是奇函數，不正確；選項B:：在是減函數，不正確；選項C：定義域上沒有單調性，不正確；選項D：設，是奇函數，，在都是單調遞增，且在處是連續的，在上單調遞增，所以正確.故選:D.【點睛】本題考查函數的性質，對于常用函數的性質要熟練掌握，屬于基礎題.2、B【解析】

化簡,再利用余弦定理求解即可.【詳解】.故.又,故.故選：B【點睛】本題主要考查了余弦定理求解三角形的問題,屬于基礎題.3、A【解析】

利用分離常數法得出不等式在上成立，根據函數在上的單調性，求出的取值范圍【詳解】關于的不等式在區間上有解在上有解即在上成立，設函數數，恒成立在上是單調減函數且的值域為要在上有解，則即的取值范圍是故選【點睛】本題是一道關于一元二次不等式的題目，解題的關鍵是掌握一元二次不等式的解法，分離含參量，然后求出結果，屬于基礎題．4、B【解析】

根據終邊相同角的概念，即可判斷出結果.【詳解】因為，所以與是終邊相同的角.故選B【點睛】本題主要考查終邊相同的角，熟記有關概念即可，屬于基礎題型.5、D【解析】

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根據同向不等式可以相加，可判定B的真假；根據a-b>0則b-a<0，進行判定C的真假；a的符號不確定，從而選項D不一定成立，從而得到結論．【詳解】∵a，b∈R，并且a>b，∴?a<?b，故A一定正確；a>b，?1>?2，根據同向不等式可以相加得，a?1>b?2，故B一定正確；a?b>0則b?a<0，所以a?b>b?a，故C一定正確；不等式兩邊乘(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變，而a的符號不確定，故D不一定正確.故選D.【點睛】本題主要考查利用不等式的性質判斷不等關系，屬于基礎題.6、C【解析】

由二倍角公式可得，，再根據誘導公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【詳解】因為，，所以，，即，．故選：C．【點睛】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進行三角恒等變換，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題．7、B【解析】

根據圓的標準方程形式直接確定出圓心和半徑.【詳解】因為圓的方程為：，所以圓心為，半徑，故選：B.【點睛】本題考查給定圓的方程判斷圓心和半徑，難度較易.圓的標準方程為，其中圓心是，半徑是.8、A【解析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關于三角函數在幾何中的應用的題目，掌握正余弦定理是解題的關鍵；首先根據三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進而得到正方形的面積，最后得到答案.9、B【解析】

先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【詳解】，可知，即，故選B【點睛】一般直線方程求傾斜角將直線轉換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．10、C【解析】

根據題意，利用數據的平均數和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據題意，數據，，，的平均數為2，方差為5，則數據，，，的平均數，其方差；故選．【點睛】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據的平均數、方差的計算公式，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：根據正余弦函數的定義，令，則可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本題正確答案為.考點：三角函數的概念.12、【解析】

作出函數的圖像，根據圖像可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，作出函數的圖像，由圖可知故答案為：【點睛】本題考查了正弦型函數的圖像，考查了數形結合思想，屬于基礎題.13、3【解析】

利用向量共線的坐標公式,列式求解.【詳解】因為向量與向量共線,所以,故答案為:3.【點睛】本題考查向量共線的坐標公式,屬于基礎題.14、【解析】

根據兩點求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點睛】本小題主要考查兩點求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.15、1【解析】

由數列滿足，即，得到數列的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列，利用等比數列的極限的求法，即可求解．【詳解】由題意，數列滿足，即，又由，，所以數列的奇數項構成首項為1，公比為，偶數項構成首項為，公比為的等比數列，當為奇數時，可得，當為偶數時，可得．所以．故答案為：1.【點睛】本題主要考查了等比數列的定義，以及無窮等比數列的極限的計算，其中解答中得出數列的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、.【解析】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數量積，先將平方，再開平方即可的結果.詳解：∵，故答案為.點睛：平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據，由正弦定理化角為邊，得，再根據余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，又，結合基本不等式可求得．由中點公式的向量式得，再利用數量積的運算，即可求出的最大值．【詳解】（1）依題意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因為，所以.（2）∵，，∴，即．∵為中點，所以，∴當且僅當時，等號成立.所以的最大值為．【點睛】本題主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中點公式的向量式結合基本不等式解決中線的最值問題，意在考查學生的邏輯推理和數學運算能力，屬于中檔題．18、（1）（2）【解析】

（1）根據三角函數的基本關系式，可得，再結合正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1）知，結合三角函數的基本關系式，即可求解，得到答案.【詳解】（1）由，根據三角函數的基本關系式，可得，所以.（2）由（1）知，又由.【點睛】本題主要考查了三角函數的基本關系式和正切的倍角公式的化簡求值，其中解答中熟記三角函數的基本關系式和三角恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.19、（1）；（2），.【解析】

（1）由已知可先求得首項，然后由，得，兩式相減后可得數列的遞推式，結合得數列是等比數列，從而易得通項公式；（2）對數列可用錯位相減法求其和．不等式恒成立，可轉化為先求的最大值．【詳解】（1）由得.由，可知，可得，即.因為，所以，故因此是首項為，公比為的等比數列，故.（2）由（1）知.所以①兩邊同乘以得②①②相減得從而于是，當是奇數時，，因為，所以.當是偶數時，因此.因為，所以，的最小值為.【點睛】本題考查等比數列的通項公式，前項和公式，考查錯位相減法求和．適用錯位相減法求和的數列一般是，其中是等差數列，是等比數列．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）通過證明得線面平行；（2）連接交于，連接，通過證明得線面平行.【詳解】（1）由題：四棱錐的底面為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）連接交于，連接，如圖：底面為平行四邊形，是中點，為中點，所以，平面，平面，所以平面.【點睛】此題考查線面平行的證明，關鍵在于準確尋找出線線平行，證明題注意書寫規范.21、（1）（1）【解析】試題分析：（1）由已知利用正弦定理，兩角和的