用心 愛心 專心 1 第第 4 4 章章 第第 8 8 節節 一 選擇題 1 一船向正北航行 看見正西方向有相距 10 海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上 繼續航行半小時后 看見一燈塔在船的南偏西 60 另一燈塔在船的南偏西 75 則這只 船的速度是每小時 A 5 海里 B 5海里 3 C 10 海里 D 10海里 3 答案 C 解析 依題意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 從而 CD CA 10 在直角三角形ABC中 可得AB 5 于是這只船的速度是 10 海里 小時 5 0 5 2 如圖所示 設A B兩點在河的兩岸 一測量者在A所在的河岸邊選定一點C 測出 AC的距離為 50m ACB 45 CAB 105 后 就可以計算A B兩點的距離為 A 50m B 50m 23 C 25m D m 2 25 2 2 答案 A 解析 由題意知 ABC 30 由正弦定理 AC sin ABC AB sin ACB AB 50 m AC sin ACB sin ABC 50 2 2 1 22 3 一船自西向東勻速航行 上午 10 時到達一座燈塔P的南偏西 75 距塔 68 海里的M 處 下午 2 時到達這座燈塔的東南方向的N處 則這只船的航行速度為 A 海里 小時 B 34海里 小時 17 6 26 用心 愛心 專心 2 C 海里 小時 D 34海里 小時 17 2 22 答案 A 解析 如圖所示 在 PMN中 PM sin45 MN sin120 MN 34 v 海里 小時 68 3 26 MN 4 17 2 6 4 為測量某塔AB的高度 在一幢與塔AB相距 20m 的樓頂D處測得塔頂A的仰角為 30 測得塔基B的俯角為 45 那么塔AB的高度是 A 20m B 20m 1 3 3 1 3 2 C 20 1 m D 30m 3 答案 A 解析 如圖所示 四邊形CBMD為正方形 而CB 20m 所以 BM 20m 又在 Rt AMD中 DM 20m ADM 30 AM DMtan30 m 20 3 3 AB AM MB 20 20m 20 3 3 1 3 3 5 如圖所示 D C B三點在地面同一直線上 DC a 從C D兩點測得A點的仰角分 別是 0 x 1 6 7 如圖 在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為 15 向山頂前進 100 米到達B后 又測得C對于山坡的斜度為 45 若CD 50 米 山坡 對于地平面的坡角為 則 cos A B 2 3 23 C 1 D 3 2 2 答案 C 解析 在 ABC中 BC ABsin BAC sin ACB 50 100sin15 sin 45 15 62 在 BCD中 sin BDC 1 由圖知 BCsin CBD CD 50 6 2 sin45 503 cos sin ADE sin BDC 1 3 8 空中有一氣球 在它的正西方A點測得它的仰角為 45 同時在它南偏東 60 的B 點 測得它的仰角為 30 若A B兩點間的距離為 266 米 這兩個觀測點均離地 1 米 那 么測量時氣球到地面的距離是 A 米 B 米 266 7 7 266 7 7 1 用心 愛心 專心 4 C 266 米 D 266米 7 答案 B 解析 如圖 D為氣球C在過AB且與地面平行的平面上的正投影 設CD x米 依題 意知 CAD 45 CBD 30 則AD x米 BD x米 在 ABD中 由余弦定理得 3 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 即 2662 x2 x 2 2x x cos150 7x2 解 33 得x 故測量時氣球到地面的距離是米 故選 B 266 7 7 266 7 7 1 二 填空題 9 海上有A B兩個小島相距 10 海里 從A島望C島和B島成 60 的視角 從B島望 C島和A島成 75 的視角 則B C的距離是 答案 5海里 6 解析 在 ABC中由正弦定理得 10 sin45 BC sin60 BC 5 6 10 我艦在島A南 50 西 12 海里的B處 發現敵艦正從島沿北 10 西的方向以每小時 10 海里的速度航行 若我艦要用 2 小時追上敵艦 則速度為 答案 14 海里 小時 解析 設我艦在C處追上敵艦 速度為V 則在 ABC中 AC 20 AB 12 BAC 120 BC2 784 V 14 海里 小時 11 2009 年 8 月 9 日 莫拉克臺風即將登陸福建省霞浦縣 如圖 位于港口O正東方向 20 海里的B處的漁船回港避風時出現故障 位于港口南偏西 30 方向 距港口 10 海里的C 處的拖輪接到海事部門營救信息后以 30 海里 小時的速度沿直線CB去營救漁船 則拖輪到 B處需要 小時 分析 求解本題的關鍵是把實際應用問題轉化為數學問題 然后再利用余弦定理解 決 用心 愛心 專心 5 答案 7 3 解析 由題易知 BOC 120 因為BC2 OC2 OB2 2 OC OB cos120 700 所以BC 10 所以拖輪到達B處需要的時間t 小時 7 10 7 30 7 3 三 解答題 12 如圖某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東 75 距離為 12n mile 在A處看燈塔C在貨輪的北偏西 30 距離為 8n 63 mile 貨輪由A處向正北航行到D處時 再看燈塔B在南偏東 60 求 1 A處與D處的距離 2 燈塔C與D處的距離 結果精確到 1n mile 解析 1 在 ABD中 ADB 60 B 45 由正弦定理得 AD 24 n mile ABsinB sin ADB 12 6 2 2 3 2 2 在 ADC中 由余弦定理得 CD2 AD2 AC2 2AD ACcos30 解得CD 8 14 n mile 3 即A處與D處的距離為 24n mile 燈塔C與D處的距離約為 14n mile 13 某海域內一觀測站A 某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東 50 且 與A相距 80 海里的位置B 經過 1 小時又測得該船已行駛到點A北偏東 50 其中 sin 0 90 且與A相距 60 海里的位置C 15 8 1 求該船的行駛速度 2 若該船不改變航行方向繼續向前行駛 求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離 解析 1 如圖 AB 80 AC 60 BAC sin 15 8 用心 愛心 專心 6 由于 0 90 所以 cos 1 15 8 2 7 8 由余弦定理得BC 40 AB2 AC2 2AB ACcos 所以船的行駛速度為 40 海里 小時 2 在 ABC中 由正弦定理得 BC sin BAC AC sin ABC sin ABC AC sin BAC BC 60 15 8 40 3 15 16 自A作BC的垂線 交BC的延長線于D 則AD的長是船離觀測站的最近距離 在 Rt ABD中 AD ABsin ABD 80 15 海里 3 15 1615 船在行駛過程中離觀測站A最近距離為 15海里 15 14 2010 陜西理 如圖A B是海面上位于東西方向相距 5 3 海里的兩個觀測點 現位于A點北偏東 45 B點北偏西 3 60 的D點有一艘輪船發出求救信號 位于B點南偏西 60 且與B 點相距 20海里的C點的救援船立即前往營救 其航行速度為 30 3 海里 小時 該救援船到達D點需要多長時間 解析 本題考查正余弦定理在實際問題中的應用 本題要結合圖像確定恰當三角形進 行邊角的求解 求解過程中三角函數的變形 轉化是易錯點 注意運算的準確性 由題意知AB 5 3 海里 3 DBA 90 60 30 DAB 45 ADB 105 在 DAB中 由正弦定理得 DB sin DAB AB sin ADB DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 sin60 cos45 10 海里 5 3 3 1 3 1 23 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 海里 3 在 DBC中 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 用心 愛心 專心 7 300 1200 2 10 20 900 33 1 2 CD 30 海里 則需要的時間t 1 小時 30 30 答 救援船到達D點需要 1 小時 點評 1 解決實際應用問題 要過好語言關 圖形關和數理關 考生在平時訓練中要注 意加強 2 本題若認定 DBC為直角三角形 由勾股定理正確求得CD 同樣可以 15 2010 福建文 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上 在 小艇出發時 輪船位于港口O北偏西 30 且與該港口相距 20 海里的A處 并正以 30 海里 小里的航行速度沿正東方向勻速行駛 假設該小船沿直線方向以v海里 小時的航 行速度勻速行駛 經過t小時與輪船相遇 1 若希望相遇時小艇的航行距離最小 則小艇航行速度的大小應為多少 2 為保證小艇在 30 分鐘內 含 30 分鐘 能與輪船相遇 試確定小艇航行速度的最小值 3 是否存在v 使得小艇以v海里 小時的航行速度行駛 總能有兩種不同的航行方向 與輪船相遇 若存在 試確定v的取值范圍 若不存在 請說明理由 解析 本小題主要考查解三角形 二次函數等基礎知識 考查推理論證能力 抽象概 括能力 運算求解能力 應用意識 考查函數與方程思想 數形結合思想 化歸與轉化思 想 1 設相遇時小艇的航行距離為S海里 則 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故當t 時 Smin 10 v 30 1 33 10 3 1 33 即小艇以 30海里 小時的速度航行 相遇時小艇的航行距離最小 3 2 設小艇與輪船在B處相遇 由題意可得 vt 2 202 30t 2 2 20 30t cos 90 30 化簡得 v2 900 400 2 675 400 t2 600 t 1 t 3 4 用心 愛心 專心 8 由 00 400 t2 600 t 1 t 于是 400u2 600u 900 v2 0 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇 等價于方程 應有兩個不等正根 即 Error 解得 15 v0 時 可得 4m 2cosx 對一切實數x都成立 1 2cosx 4m min 2cosx 1 2cosx 而 2cosx 2 當且僅當 cosx 時取等號 1 2cosx 1 2 故 4m 2 即m 1 2 當 cosx2R或a b 2R時 所求的 ABC不存在 當a 2R且b a時 A 90 所求的 ABC只存在一個 且c a2 b2 當a 2R且b a時 A B 且A B都是銳角 由 sinA sinB A B唯一確 a 2R b 2R 定 因此 所求的 ABC只存在一個 且c 2a cosA a R4R2 a2 當b a 2R時 B總是銳角 A可以是鈍角也可以是銳角 因此 所求的 ABC存在兩 個 由 sinA sinB 得 a 2R b 2R 當A90 時 cosA 1 2R4R2 a2 c a2 b2 ab 2R2 4R2 a2 4R2 b2 ab 三 三角函數與平面向量的綜合 例 3 已知向量m m f x cosx n n sinx cosx 1 且m m n n 3 1 求函數f x 的最小正周期和單調遞增區間 2 若函數f x 的圖像關于直線x x0對稱 且 0 x0 1 求x0的值 分析 對于 1 利用已知求出函數f x 的解析式 轉化為三角函數知識 進一步解決 問題 對于 2 根據對稱坐標之間的關系求x0即可 解析 1 由m m n n得 f x 1 cosx sinx cosx 0 則f x 3 sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 3 3 2 1 2 1 2 2x 6 1 2 用心 愛心 專心 11 T 2 2 由 2k 2x 2k k Z Z 得 2 6 2 k x k k Z Z 3 6 f x 的最小正周期為 單調遞增區間為 k Z Z k 3 k 6 2 f x 的圖像關于直線x x0對稱 2x0 k 即x0 k Z Z 6 2 k 2 6 0 x0 1 x0 6 四 三角函數的實際應用 例 4 某單位在抗雪救災中 需要在A B兩地之間架設高壓電線 測量人員在相距 6000m 的C D兩地 A B C D在同一平面上 測得 ACD 45 ADC 75 BCD 30 BDC 15 如圖 假設考慮到電線的自然下垂的施工損耗等原因 實際所 需電線長度大約是A B距離的 1 2 倍 問 施工單位至少應該準備多長的電線 參考數據 1 4 1 7 2 6 237 分析 解決此類問題的一般步驟是 1 根據題意 抽象 地構造出三角形 2 確定實際問題所涉及的數據以及要求解的結論與所構造 的三角形的邊和角