山西省山西大學附屬中學2016屆高三上學期期中考試數學（理科）考試時間：120分鐘 滿分：150分【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，以基礎知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養的考查.知識考查注重基礎、注重常規、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：不等式、函數的性質及圖象、三角函數、解三角形、數列、平面向量、立體幾何、導數的應用、圓錐曲線、復數、集合、程序框圖、排列組合、參數方程、不等式選講等；考查學生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.【題文】一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分.）【題文】1.設不等式的解集為，函數的定義域為，則A. B. C. D.【知識點】集合的運算A1【答案】【解析】B 解析：由得0x1，所以M=0，1,由得-1x1，所以N=(-1，1),則，所以選B.【思路點撥】可先解不等式得M，求函數的定義域得N，再求交集即可.【題文】2.若復數滿足，則的虛部位A. B. C.1 D.【知識點】復數的運算L4【答案】【解析】A 解析：因為，所以虛部為，則選A.【思路點撥】可先由已知條件計算出復數z再判斷其虛部，即可解答.【題文】3.命題“若都是偶數，則是偶數”的逆否命題是A. 若不是偶數，則都不是偶數 B.若不是偶數，則不都是偶數C.若都不是偶數，則不是偶數 D.若不都是偶數，則不是偶數【知識點】命題及其關系A2【答案】【解析】B 解析：由命題的逆否命題的含義可知選B.【思路點撥】寫一個命題的逆否命題，可先寫出其否命題，再對條件和結論同時否定即可.【題文】4.已知等差數列且，則數列的前13項和為A.24 B.39 C.52 D.104【知識點】等差數列的性質D2【答案】【解析】C 解析：因為，所以，則，所以選C.【思路點撥】一般遇到等差數列時，可先觀察項的項數是否有性質特征，有性質特征的可用性質轉化求解.【題文】5.若拋物線的焦點坐標是（0,1），則A.1 B. C.2 D.【知識點】拋物線的性質H7【答案】【解析】D 解析：因為拋物線方程為，所以其焦點坐標為，則有，所以選D.【思路點撥】本題主要考查的是拋物線的性質，由拋物線的方程求其焦點坐標時應先把方程化成標準方程再進行求值.【題文】6.已知函數在處取得最大值，則函數是A.偶函數且它的圖像關于點對稱B.偶函數且它的圖像關于點對稱C.奇函數且它的圖像關于點對稱D.奇函數且它的圖像關于點對稱【知識點】三角函數的圖象與性質C3【答案】【解析】B 解析：因為函數在處取得最大值，所以，b=-a，所以(a0)，則，所以為偶函數，且它的圖像關于點對稱，則選B.【思路點撥】可先結合最大值點得出a,b關系，再把函數f(x)化成一個角的三角函數進行解答判斷即可.【題文】7.執行如圖所示的程序框圖，若，取，則輸出的值為A. B. C. D. 【知識點】程序框圖 二分法求方程近似解B9 L1【答案】【解析】A 解析：因為,第一次執行循環體時，,；第二次執行循環體，；第三次執行循環體，第四次執行循環體，所以輸出，則選A.【思路點撥】遇到循環結構的程序框圖時，可依次執行循環體，直到跳出循環再進行判斷即可.【題文】8.已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：三棱錐的三視圖均為三角形，四個答案均滿足；且四個三視圖均表示一個高為3，底面為兩直角邊分別為1，2的棱錐；A與C中俯視圖正好旋轉180，故應是從相反方向進行觀察，而其正視圖和側視圖中三角形斜邊傾斜方向相反，滿足實際情況，故A，C表示同一棱錐；設A中觀察的正方向為標準正方向，以C表示從后面觀察該棱錐；B與D中俯視圖正好旋轉180，故應是從相反方向進行觀察，但側視圖中三角形斜邊傾斜方向相同，不滿足實際情況，故B，D中有一個不與其它三個一樣表示同一個棱錐，根據B中正視圖與A中側視圖相同，側視圖與C中正視圖相同，可判斷B是從左邊觀察該棱錐，綜上可知選D.【思路點撥】由已知中的四個三視圖，可知四個三視圖，分別表示從前、后、左、右四個方向觀察同一個棱錐，但其中有一個是錯誤的，根據A與C中俯視圖正好旋轉180，故應是從相反方向進行觀察，而其正視圖和側視圖中三角形斜邊傾斜方向相反，滿足實際情況，可得A，C均正確，而根據AC可判斷B正確，D錯誤.【題文】9.已知A,B,C三點是某球的一個截面的內接三角形的三個頂點，其中，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，則該球的表面積為A. B. C. D.【知識點】球的截面性質G8【答案】【解析】A 解析：因為,所以三角形ABC外接圓圓心在AC中點處，半徑為15，設球半徑為R，由球的截面性質得,得,所以該球的表面積為,則選A.【思路點撥】一般遇到球的截面問題時，通常利用球的截面性質尋求截面與球半徑的關系進行解答.【題文】10.已知約束條件表示的平面區域為D，若區域D內至少有一個點在函數的圖像上，那么實數的取值范圍為A. B. C. D.【知識點】簡單的線性規劃E5【答案】【解析】B 解析：由題意作出其平面區域及函數y=ex的圖象，結合函數圖象知，當x=1時，y=ex=e；故實數a的取值范圍為e，+），所以選B.【思路點撥】可先作出指數函數的圖象，再由不等式表示的平面區域數形結合得出實數a滿足的條件即可.【題文】11.已知函數，若關于的方程在區間內有兩個實數解，則實數的取值范圍是A. B. C. D.【知識點】函數與方程B9【答案】【解析】A 解析：由得，令，由得，得函數t(x)在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以若關于的方程在區間內有兩個實數解，則實數的取值范圍是，則選A.【思路點撥】一般遇到方程的解的個數問題通常轉化為函數的圖象的交點個數問題；通過導數研究函數的單調性及極值；通過對k與函數h（x）的極值的大小關系的討論得到結論.【題文】12.已知橢圓C:的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是A. B. C. D.【知識點】橢圓的幾何性質H5【答案】【解析】D 解析：6個不同的點有兩個為短軸的兩個端點，另外4個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱。不妨設P在第一象限，當時，即2c2a2c，解得，又因為e1，所以；當時，即2a2c2c且2cac，解得，綜上可得或，故選D.【思路點撥】可結合橢圓的對稱性判斷只需在第一象限存在點P使三角形為等腰三角形，再利用橢圓的定義及在第一象限點P到兩焦點距離的大小關系進行解答.【題文】二、填空題（本大題共4題，每小題5分，共20分.）【題文】13.已知向量，如果向量與垂直，則的值為 【知識點】向量的坐標運算F2【答案】【解析】 解析：由題可知（）=0即 解得 所以 ，= .【思路點撥】可應由向量垂直計算出的值，再由向量的求模公式求得所求向量的模.【題文】14.有5種不同的顏色可供使用.將一個五棱錐的各個側面涂色，五個側面分別編有1,2,3,4,5號，而有公共邊的兩個面不能涂同一種顏色則不同的涂色方法有 種.【知識點】基本計數原理J1【答案】【解析】1020 解析：在五個側面上順時針或逆時針編號分1號面、3號面同色和1號面、3號面不同色兩種情況：1、3同色，1和3有5種選擇，2、4各有4種、5有3種，共有5x4x4x3=240種；1、3不同色，1有5種選擇，2有4種，3有3種，再分4與1同，則5有4種，4不與1同，4有3種，5有3種，共有5x4x3x（4+3x3）=780種；根據分類加法原理得共有240+780=1020種【思路點撥】可在五個側面上順時針或逆時針編號，分1號面、3號面同色和1號面、3號面不同色兩種情況：當1、3同色，1和3有5種選擇，2、4各有4種、5有3種，當1、3不同色，1有5種選擇，2有4種，3有3種，再分4與1同，則5有4種，4不與1同，4有3種，5有3種，最后根據分類加法得結果.【題文】15.圓關于直線對稱，則的取值范圍是 【知識點】直線與圓的位置關系 函數的值域H4 B3【答案】【解析】 解析：因為圓關于直線對稱，則說明直線過圓心，則有-2a-2b+2=0,a+b=1,那么利用二次函數的值域可知它的取值范圍是.【思路點撥】可先結合圓的特征確定圓心位置，再轉化為二次函數求值域問題進行解答.【題文】16.函數，則此函數的所有零點之和等于 【知識點】函數與方程B9【答案】【解析】8 解析：由和圖像如圖，交點的橫坐標是零點的值，由圖像可知，那些零點關于x=1對稱，所以所有零點的值為8.【思路點撥】一般遇到判斷函數的零點個數問題，若直接判斷不方便時，可轉化為兩個函數的圖象交點個數問題進行判斷，本題抓住兩個函數圖象都關于直線x=1對稱是解題的關鍵.【題文】三、解答題（本大題共5題，每小題12分，共60分.）【題文】17.如圖，在中，點在邊上，為垂足(1)若的面積為，求的長；(2)若，求角的大小【知識點】解三角形C8【答案】【解析】(1) ；(2) 解析：(1)由已知得SBCDBCBDsin B，又BC2，sin B，BD，cos B.在BCD中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcos B22222.CD.CDAD，在BCD中，由正弦定理，得，又BDC2A，得，解得cos A，所以A.【思路點撥】在求邊與角時，可先分析所求的邊與角所在的三角形，再由已知條件結合正弦定理或余弦定理進行求解.【題文】18.已知函數為偶函數，數列滿足，且（1）設，證明：數列為等比數列（2）設，求數列的前項和【知識點】等比數列 數列求和D3 D4【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：（1）證明：因為函數為偶函數，所以b=0,則，所以，又，所以數列為首項為2，公比為2的等比數列；（2）由(1)得，所以，令，兩式相減得，所以，則 .【思路點撥】證明等比數列時通常利用其定義直接證明，求數列的前n項和時，通常先確定數列的通項公式，再結合通項公式特征確定求和思路.【題文】19. 如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC= (1)求證：平面ABC平面APC(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值(3)若動點M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值ABC【知識點】垂直關系 空間角的求法G5 G11【答案】【解析】(1) 略；(2) ； (3) 解析：（1）取AC中點O,因為AP=BP，所以OPOC 由已知易得三角形ABC為直角三角形，OA=OB=OC,POAPOBPOC,OPOBOP平面ABC, OP在平面PAC中，平面ABC平面APC（2） 以O為坐標原點,OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),設平面PBC的法向量，由得方程組，取 ，直線PA與平面PBC所成角的正弦值為；（3）由題意平面PAC的法向量， 設平面PAM的法向量為，又因為，取 ，B點到AM的最小值為垂直距離.【思路點撥】證明線面垂直通常利用其判定定理進行證明，一般遇到空間角的問題，通常建立空間直角坐標系，利用空間向量進行轉化解答.【題文】20.已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于 ，它的兩個頂點恰好是雙曲線的焦點.（1）求橢圓C的方程；（2）點，在橢圓上，是橢圓上位于直線兩惻的動點，若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；當運動時，滿足于，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.【知識點】橢圓 直線與橢圓位置關系H5 H8【答案】【解析】（1）；（2）；直線的斜率是定值 解析：(1）設橢圓的方程為，則.由，得橢圓C的方程為. （2）解：設，直線的方程為， 代入，得 由，解得 由韋達定理得. 四邊形的面積當，.解：當，則、的斜率之和為0，設直線的斜率為則的斜率為，的直線方程為 由（1）代入（2）整理得 同理的直線方程為，可得 所以的斜率為定值. 【思路點撥】求橢圓方程可結合條件利用待定系數法解答；一般遇到直線與圓錐曲線位置關系問題，通常聯立方程，結合韋達定理尋求系數關系進行解答.【題文】21.已知函數的定義域，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”。把所有由“一階比增函數”組成的集合記為，把所有由“二階比增函數”組成的集合記為（1）已知函數，若且，求實數的取值范圍（2）已知，且存在常數，使得對任意的，都有，求的最小值【知識點】導數的應用 函數的單調性B3 B12【答案】【解析】 （1）h0；（2）0 解析：（1）若且，即在上為增函數，所以h0；而在上不為增函數，因為，則h0,綜上得h0；（2）先證明f(x) 0對x成立，假設存在，使得，記，因為f（x）A2，所以f（x）為“二階比增函數”，即是增函數，所以當xx00時，=m，即f（x）mx2；所以一定存在x1x00，使得f（x1）mk成立，這與f（x）k對任意的x（0，+）成立矛盾，所以f（x）0對任意的、x（0，+）都成立；再證明f（x）=0在（0，+）上無解，假設存在x20，使得f（x2）=0；f（x）為“二階比增函數”，即是增函數，一定存在x3x20，使得=0成立，這與上述的證明結果矛盾所以f（x）=0在（0，+）上無解，綜上所述，當f（x）A2時，對任意的x（0，+），都有f（x）0成立，所以當常數k0時，使得對任意的x（0，+），都有f（x）k；故k的最小值為0.【思路點撥】(1) 根據“一階比增