期貨和遠期的定價 南開大學數學科學學院白曉棠 可編輯 Contents 現貨 遠期平價定理 2 可編輯 遠期 遠期合約是20世紀80年代初興起的一種金融衍生產品 它是一種交易雙方約定在未來的某一確定時間 以確定的價格買賣一定數量的某種資產的合約 合約中要規定交易的標的物 有效期和交割時的執行價格等項內容 期貨與遠期的定義很相似但是細細觀察不難看出它們還是有一些差別的 再考慮到其交易方式等細節 我們總結它們的主要區別如下 3 可編輯 期貨和遠期的區別 1 交易場所不同 2 合約的規范性不同 3 交易風險不同 4 保證金制度不同 5 履約責任不同 6 會計上的優勢不同 4 可編輯 遠期利率協議 在所有遠期市場中 貨幣遠期市場是最為發達的 主要的金融遠期合約 遠期利率協議 FRA 遠期外匯合約和遠期股票合約 遠期利率協議 FRA 是1983年由銀行引入的一種遠期合約 協議雙方同意按某項 存款 支付某個利率 名義本金 合約利率和參考利率 結算日所流行的市場利率 三者一道共同確定以單個現金結算的方式支付和接受的利息差額的大小 名義本金 存款 本身并不實際交換 5 可編輯 遠期利率協議 實際支付和接受的數額由以下兩個步驟確定 第一步 取合約結算日的參考利率與協議利率之差 將這個差與名義本金相乘 再乘以存款的期限 第二步 利用參考利率作為折現率 將在第一步求得的和折現 最后得到的現值就是支付或接受的數額 參考利率常常取LIBOR 3個月對9個月的LIBOR 3個月后開始并在9個月末結束6個月期的LIBOR 6 可編輯 什么是Libor Libor LondonInterbankOfferedRate 即倫敦同業拆借利率 是指倫敦的第一流銀行之間短期資金借貸的利率 是國際金融市場中大多數浮動利率的基礎利率 作為銀行從市場上籌集資金進行轉貸的融資成本 貸款協議中議定的LIBOR通常是由幾家指定的參考銀行 在規定的時間 一般是倫敦時間上午11 00 報價的平均利率 最經常使用的是3個月和6個月的Libor 7 可編輯 遠期利率的例子 假設美國銀行需要鎖定3個月后開始的500萬美元期限為6個月的基于LIBOR的融資利率 即3個月后 銀行將貸出6個月期的500萬美元給客戶 然而 客戶需要立即從銀行處確定利率 銀行不能自己給出利率承諾 他與某個遠期利率協議交易商聯系 當時 6個月的LIBOR報價為8 25 銀行向交易商詢問3個月對9個月期的LIBOR交易商報價為8 32 這家銀行接受了 即成為了遠期的買方 8 可編輯 遠期利率的例子 銀行向它的客戶報出8 82 的利率 銀行在融資成本上加50個基點 來實現自己的利潤并抵補所承擔的信用風險 假設3個月后6個月期的LIBOR利率為8 95 于是銀行在歐洲貨幣市場以8 95 的利率獲得500萬美元的LIBOR存款并將其以承諾利率8 82 貸給客戶 銀行的損益為 8 82 8 95 5000000 182 360 3286 11美元 9 可編輯 遠期利率的例子 雖然在貸款中有損失 但銀行卻可以在他對沖保值的遠期合約中獲得盈虧 1 8 95 8 32 5000000 182 360 15925美元銀行此次的總盈虧為15925 3286 11 12639美元接受 支付的量是要用參考利率折現的 why 15925 1 8 95 182 360 15235 59 10 可編輯 遠期利率的確定 對于上面的例子我們給出了3 9的LIBOR 如果我們給出的是現在執行的9個月期的固定利率及現在執行的3個月期的固定利率是否可以計算出3 9的固定利率呢 所謂遠期利率就是指現在時刻的將來一定期限上的利率 那么遠期利率是如何確定的呢 遠期利率可以由一系列即期利率決定 例如 如果1年期的即期利率為10 2年期的即期利率為10 5 那么其隱含的意思是1年到2年的遠期利率為11 Why 11 可編輯 遠期利率的確定 這是因為一般地 如果現在時刻為t T時刻到期的即期利率為r T 時刻 T T 到期的即期利率為r 則t時刻的T T期間的遠期利率可以通過下面式子求得 注意 上式是每年計息一次的結果 當復利進行計算時我們要另行討論 12 可編輯 遠期利率的確定 對于復利的情形我們利用連續復利計算比較方便 在前面我們討論過名義年利率為r 每年記m次復利的n年期有效利率為 而對于年連續復利 我們有n年期有效利率為 所以我們可以得到每年計m次復利與連續復利之間的換算關系為 13 可編輯 遠期利率的確定 當即期利率和遠期利率所用的利率均為連續復利時 即期利率和遠期利率可以表示為 于是有對于我們前面的例子 若一年期和兩年期的連續復利年利率分別為10 和10 5 則一年到兩年的連續復利遠期利率為11 因為 14 可編輯 遠期和期貨合約的定價 為了下面討論方便 我們定義T 遠期和期貨合約到期的時間 單位為年 t 現在的時間 S 標的資產在t時刻的價格 ST 標的資產在T時刻的價格 K 遠期合約中的交割價格 f 遠期合約多頭在t時刻的價格 F t時刻的遠期合約和期貨合約中標的資產的遠期理論價格和期貨理論價格 r T時刻到期的以連續復利計算的t時刻的無風險利率 15 可編輯 無收益資產遠期合約的定價 我們所用的定價方法為無套利定價法 其基本思路為 構建兩種投資自合 讓其終值相等 則其現值一定相等 為了給無收益資產的遠期定價我們可以構建如下兩種組合 組合A 一份遠期合約多頭加上一筆數額為的現金 組合B 一單位標的資產 在組合A中 的現金以無風險利率投資 投資期為 到T時刻 其金額將達到K 16 可編輯 無收益資產遠期合約的定價 在遠期合約到期時 這筆現金剛好可用來交割換來一單位標的資產 根據無套利原則 這兩種組合在t時刻的價值必須相等 即 無收益資產遠期合約多頭的價值等于標的資產現貨價格與交割價格現值的差 17 可編輯 現貨 遠期平價定理 遠期價格 F 就是使合約價值 f 為零的交割價格 即當時 則這就是無收益資產的現貨 遠期平價定理 Spot ForwardParityTheorem 大家思考一下如果上面的等式不成立會出現什么情況 1 2 18 可編輯 現貨 遠期平價定理 若 說明交割價格大于現貨的終值 在此情形下 套利者可以按無風險利率r借入現金S 期限為T t 然后用S買一單位的標的資產 同時賣出一份該資產的遠期合約 交割價格為F 若 說明交割價格小于現貨的終值 在此情形下 套利者可以賣空一單位的標的資產 將所得收入以無風險利率r進行投資 期限為T t 同時買進一份該資產的遠期合約 交割價格為F 19 可編輯 例題及練習 例設一份標的資產為一年期債券的剩余期限為6個月的遠期合約多頭 其交割價格為950美元 6個月期的無風險年利率 連續復利 為6 該債券的現價為930美元 求此份遠期合約多頭的價值 解由于故此份遠期合約多頭的價值為 8 08美元 20 2020 3 19 21 可編輯 例題及練習 例假設一年期的貼現債券價格為960美元 3個月期無風險年利率為5 則3個月期的該債券遠期合約的交割價格應為多少 解根據現貨 遠期平價定理故3個月期的遠期合約的交割價格應為972美元 22 可編輯 遠期價格的期限結構 下面我們討論不同期限遠期價格之間的關系 F T時刻交割的遠期價格 F T 時刻交割的遠期價格 r T時刻到期的無風險利率 r T 時刻到期的無風險利率 T時刻到T 時刻的無風險遠期利率 由現貨 遠期平價定理即 23 可編輯 遠期價格的期限結構 例假設某種不付紅利股票6個月遠期的價格為20元 目前市場上6個月至1年的遠期利率為8 求該股票1年期的遠期價格 解根據不同期限遠期價格之間的關系 于是該股票1年期遠期價格為 24 可編輯 遠期利率協議的定價 在剛才我們提到過 遠期利率協議是空方承諾在未來某個時刻 T時刻 將一定數額的名義本金 A 按約定的合同利率 rK 在一定的期限 T T 貸給多方的遠期協議 本金A在借貸期間會產生固定的收益率r 因此其屬于支付已知收益率資產的遠期合約 遠期利率協議多方 即借入本金的一方 的現金流為 T時刻 AT 時刻 25 可編輯 遠期利率協議的定價 這些現金流的現值即為遠期利率協議多頭的價值 為此 我們要先將T 時刻的現金流用T T期限的遠期利率 貼現到T時刻 再貼現到現在時刻t 即 這里的遠期價格就是合同利率 根據遠期價格的定義 遠期利率就是使遠期合約價值為0的協議價格 rK 理論上遠期利率 rF 應與相等 26 可編輯 遠期外匯綜合協議的定價 例假設2年期即期年利率 連續復利 為10 5 3年期即期年利率為11 本金為100萬美元的2 3年遠期利率協議的合同利率為11 請問該遠期利率協議的價值和理論上的合同利率等于多少 解根據遠期利率定價公式有該合約的價值為 27 可編輯 期貨價格 期貨價格與預期的未來現貨價格的關系E ST 現在市場上預期的標的資產在T時刻的市價 y 表示該資產的連續復利收益率 t 為現在時刻 于是與遠期定價討論類似 對期貨價格也有 28 可編輯 期貨價格 根據資本資產定價原理 若標的資產的系統性風險為0 則y r 若標的資產的系統性風險大于零 則y r 若標的資產的系統性風險小于零 則y r 在現實生活中 大多數標的資產的系統性風險都大于零 因此在大多數情況下 F都小于E ST 對于有收益資產我們也可以得出同樣的結論 29 可編輯 期貨價格 我們用持有成本的概念來概括遠期和期貨價格與現貨價格的關系 持有成本 保存成本 利息成本 標的資產在合約期限內提供的收益對于不支付紅利的股票 沒有保存成本和收益 所以持有成本就是利息成本r 股票指數的持有成本是r q 貨幣的持有成本是r rf 如果我們用c表示持有成本 那么 30 可編輯 總結 遠期的概念遠期利率無套利定價現貨遠期平價定理遠期定價的例子期貨定價 31 可編輯 練習 1 假設你簽訂了一期貨合約 7月在紐約商品交易所以每盎司 5 20的價格賣出白銀 合約規模為5 000盎司 初始保證金為 4 000 維持保證金為 3 000 將來價格發生什么樣的變化會導致保證金催付 如果你不補足保證金會怎樣 答 當投資者保證金帳戶損失額度達到 1 000時 即白銀的價格上漲1000 5000 0 20 白銀價格為每盎司 5 40 會導致保證金催付 如果不補足保證金 合約會被平倉 32 可編輯 練習 2 請解釋空頭套期保值者當基差意想不到地擴大時 為什么保值效果會有所改善 答 基差指進行套期保值資產的現貨價格與所使用合約的期貨價格之差 空頭套期保值者買入資產同時賣出期貨合約 因此當基差擴大時 保值效果改善 反之 保值效果惡化 33 可編輯 練習 3 芝加哥交易所的玉米期貨合約 有如下交割月可供選擇 3月 5月 7月 9月 12月 次年5月 當套期保值的到期日分別為6月 8月和次年1月時 應選用哪種合約進行套期保值 答 套期保值到期日應在交割月份之后 且二者最為接近的月份 7月9月次年5月 34 可編輯 練習 4 黃金的現價為每盎司 500 兩年后交割的遠期價格為每盎司 700 一位套期保值者可以10 的年利率借到錢 套利者應當如何操作才能獲利 假設儲存黃金費用不計 套利者以10 的年利率借入貨幣 購買黃金現貨 賣出黃金遠期 一年后交割收益為700 500 1 10 2 95 35 可編輯 練習 5 一家銀行給你的報價如下 年利率14 按季度計復利 問 a 等價的連續復利利率為多少 b 按年計復利的利率為多少 解 a 等價的連續復利為 b 按年計復利的利率為 36 可編輯 練習 6 當一種不支付紅利股票為 40時 簽訂一份一年期的基于該股票的遠期合約 無風險利率為10 連續復利計息 解 a 遠期合約價格為遠期價格 44 21 期貨合約的初始價值為零 b 遠期合約的交割價格為