圓的證明與計算第1問證切線（作垂線證半徑）第2問計算1. （2012山東萊蕪， 23，10分）（本題滿分10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=2，A=60,以點D為圓心的D與邊AB相切于點E.（1） 求證：D與邊BC也相切；（2） 設D與BD相交于點H，與邊CD相交于點F，連接HF，求圖中陰影部分的面積（結果保留）；（3） D上一動點M從點F出發，按逆時針方向運動半周，當S HDF=SMDF時，求動點M經過的弧長（結果保留）. 【解析】（1）證明：連結DE，過點作DNBC，垂足為點四邊形ABCD菱形BD平分ABC . .1分邊AB與D相切于點E.DEAB,DN=DED與邊BC也相切. . .3分（2）四邊形ABCD菱形又A=60=3，即D的半徑是3. . .4分又HDF=CDA=60,DH=DF,HDF 是等邊三角形.過點H作HGDF于點G，則HG=3sin60=故S HDF=，S扇形HDF=.S陰影=S扇形HDF S HDF.分（）假設點運動到點時，滿足S HDF=SMDF，過點作PDF于點P，則,解得P=.故FD=30，此時經過點M的弧長為：.8分過點作DF交D于點,則滿足S HDF=,此時FD=150，點M經過的弧長為：.綜上所述，當S HDF=SMDF時，動點M經過的弧長為或.10分【答案】（1）證明：連結DE，過點作DNBC，垂足為點四邊形ABCD菱形BD平分ABC 邊AB與D相切于點E.DEAB,DN=DED與邊BC也相切.（2）S陰影=S扇形HDF S HDF（）當S HDF=SMDF時，動點M經過的弧長為或【點評】本題考察了特殊的平行四邊形菱形、圓的切線的判定、圓中陰影部分面積的計算、圓中分類討論思想的應用。本題涉及的知識點廣，考點全面，考查了學生綜合運用知識以及轉化思想來解決問題的能力，難度偏高。2. (2012湖北隨州，23，10分) 如圖，已知直角梯形ABCD，B=90，ADBC，并且AD+BC=CD，O為AB的中點.（1）求證：以AB為直徑的O與斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的長. 解析:（1）過AB的中點O作OECD于E.證明OE的長等于半徑即可.（2）證明COD=900，運用勾股定理求值.答案:證明： 過AB的中點O作OECD于E. S梯形ABCD=(AD+BC) AB=(AD+BC) OA=2(ADOA+BCOB)=2(SOAD +SOBC)由S梯形ABCD =SOBC+ SOAD+ SOCDSOBC+ SOAD=SOCDADOA+BCOA=CDOE(AD+BC) OA=CDOE又AD+BC=CD OA=OE,E點在以AB為直徑的O上，又OECDCD是O的切線即：CD與O相切 5分 （2）DA、DE均為O的切線，DA=DE，則1=2，同理3=4. COD=900.CD= 5分點評:本題考查梯形、直線余與圓的位置關系、勾股定理.根據圓的切線的定義準確的作出輔助線是解決問題的關鍵.本題中運用面積法證明AD+BC=CD很巧妙.難度較大.3. （2012湖北孝感10分）)如圖，AB是O的直徑，AM、BN分別與O相切于點A、B，CD交AM、BN于點D、C，DO平分ADC(1)求證：CD是O的切線；(2)若AD4，BC9，求O的半徑R【答案】解：（1）證明：過O點作OECD于點E，AM切O于點A，OAAD。又DO平分ADC，OE=OA。OA為O的半徑，OE為O的半徑。CD是O的切線。（2）過點D作DFBC于點F，AM，BN分別切O于點A，B，ABAD，ABBC。四邊形ABFD是矩形。AD=BF，AB=DF。又AD=4，BC=9，FC=94=5。AM，BN，DC分別切O于點A，B，E，DA=DE，CB=CE。DC=AD+BC=4+9=13。在RtDFC中，DC2=DF2FC2，。AB=12。O的半徑R是6。【考點】切線的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理，矩形的判定和性質。【分析】（1）過O點作OECD于點