習題習題 七七 1 求下列 矩陣的 Smith 標準型 2 32 2 222 2 1 2 1 2 53 1 1 000 1 0 3 4 000 00 1 002 1 解 1 對 矩陣作初等變換 得 322 223 2 32 32 235 532 035 01030103 A B B 即為所求 2 對 矩陣作初等變換得 22 22222 22 11 1 11 100100 00 0000 A B 0 B 即為所求 3 不難看出 原 矩陣的行列式因子為 23 123 1 1 1 DDD 所以不變因子為 2 32 123 12 1 1 1 DD DD ddd 1 w w w k h d a w c o m 課后答案網 故所求的 Smith 標準形是 2 100 0 1 0 00 1 4 對 矩陣作初等變換 得 0 1 00 1 0 0101 002002 10100 0 1 00 1 0 20000 2 100100 0 1 00 00 2 0 1 2 0 100 00 00 1 2 A B B 即為所求 2 求下列 矩陣的不變因子 10 200 01 1 2 120 00 012 00 ab ba ab ba 解 1 顯然 原 矩陣中左下角的二階子式為 1 所以 D1 1 D2 1 D3 2 3 故所求的不變因子為 d1 1 d2 1 d3 2 3 2 當 b 0 時 2 22 4 D abab ab baba 且在 矩陣中右上角的三階子式 10 2 01 0 b baa ab 而 4 2 D1 ba 所以D3 1 故所求的不變因子為 d1 d2 d3 1 d4 a 2 b2 2 2 w w w k h d a w c o m 課后答案網 3 證明 122 1000 010 0000 0001 nnn aaaaa 1 0 d 的不變因子為 1 dn 1 1 dn n a 1 n 1 a n 1 an 證明 由于該矩陣中右上角的n 1 階子式等于非零常數 1 n 1 所以 D1 D2 Dn 1 1 而該矩陣的行列式為 Dn n a 1 n 1 a n 1 a n 故所給矩陣的全部不變因子為 1 dn 1 1 dn n a 1 n 1 a n 1 an d 4 證明 00 0 00 0000 10 010 a a 0 0 與 0 a 為任一非零實數 相似 證明 記 00 00 00 0000 10 010 AB a a 經計算得知 E A與 E B的行列式因子均為D1 D2 1 D3 0 3 所以它們的不變因子 也相同 即為d1 d2 1 d3 0 3 故A與B相似 5 求下列復矩陣的若當標準型 120131616 1 2 020576 221687 解 設原矩陣為 A 對 A 的特征矩陣作初等變換 得 3 w w w k h d a w c o m 課后答案網 1 12011 1 2 020 020 221 120 100100 020020 11 01 1 1 03 1 1 22 100100 01 1 1 010 02000 1 1 2 EA 于是 A 的全部初等因子為1 1 2 故 A 的若當標準形是 100 010 002 J 2 設原矩陣為 A 對 A 的特征矩陣作初等變換 得 222 22 131616131616 576576 687111 0143123014326 062510623 100100 0 1 00 1 0 06230163 100100 EA 2 2 1 00 3 1 100 16 1010 01 3 1600 3 1