1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型： 二：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到8字型拓展GABCEF共享性一線三等角的變形一線三直角的變形2：相似三角形典型例題（1）母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BECD交CA延長(zhǎng)線于E 求證： 例2：已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上, 求證：（1）； （2） ACDEB例3：已知：如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證： 1、如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證：2、已知：AD是RtABC中A的平分線，C=90，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N。求證：(1)AMENMD; (2)ND=NCNB3、已知：如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一點(diǎn)，CFBE于F。求證：EBDF=AEDB4.在中，AB=AC，高AD與BE交于H，垂足為F，延長(zhǎng)AD到G，使DG=EF，M是AH的中點(diǎn)。 求證：5 已知：如圖，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積ACBPDE（2）雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。（3）共享型相似三角形1、ABC是等邊三角形，DBCE在一條直線上,DAE=120,已知BD=1，CE=3，求等邊三角形的邊長(zhǎng).2、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45求證：（1）ABEACD； （2）CADBEF(4)一線三等角型相似三角形例1：如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 例2：（1）在中，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長(zhǎng)；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCABCPQ（2） 正方形的邊長(zhǎng)為（如下圖），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，求出線段的長(zhǎng).ABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長(zhǎng)（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)CDABP例4：如圖，在梯形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線交腰于點(diǎn)，射線交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)；（3）若，求的長(zhǎng) 1、如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明ADE是什么三角形，并說明理由ABCDE2、如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點(diǎn)，BD=2，E是BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF； （2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長(zhǎng)3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)EDCBAP4、如圖，已知邊長(zhǎng)為的等邊，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點(diǎn)，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積(5)一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作，交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。例2、在中，是AB上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交線段BC于點(diǎn)Q，（不與點(diǎn)B,C重合），設(shè)，試求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域。1.在直角中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線AC于點(diǎn)F（1）、求AC和BC的長(zhǎng)（2）、當(dāng)時(shí)，求BE的長(zhǎng)。（3）、連結(jié)EF,當(dāng)和相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)。2.在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C不重合），與射線BC相交于點(diǎn)F.(1)、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)、當(dāng)，求的值（3）、當(dāng)，設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域3.如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作，交射線于點(diǎn)設(shè)，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式