21.3實際問題與一元二次方程（3）大荔縣洛濱中學 宋冰教學內容本節課主要學習根據面積與面積之間的關系建立一元二次方程的數學模型并解決這類幾何圖形問題。教學目標 知識技能1.能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型2.能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理 數學思考經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述。解決問題 通過解決封面設計與草坪規劃的實際問題，學會將實際應用問題轉化為數學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐應用意識情感態度通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用 重難點、關鍵重點：列一元二次方程解有關問題的應用題難點：發現問題中的等量關系關鍵：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型教學準備 教師準備：制作課件，精選習題 學生準備：復習有關知識，預習本節課內容 教學過程一、 復習引入【問題】1直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？ 2正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？ 3梯形的面積公式是什么？ 4菱形的面積公式是什么？ 5平行四邊形的面積公式是什么？ 6圓的面積公式是什么？【活動方略】教師演示課件，給出題目學生口答，老師點評。【設計意圖】復習一些簡單幾何圖形的面積公式，為繼續學習建立一元二次方程的數學模型并解決幾何圖形問題作好鋪墊二、 探索新知【問題情境】問題1要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下、左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？【分析】（1）本題中有哪些數量關系？（2）本題的等量關系式是？（3）如何利用已知的數量關系選取未知數并列出方程？（4）解方程并得出結論，對比幾種方法各有什么特點？【解答】解：可設四周邊襯的寬度為 x cm，則中央矩形的面積可以表示為（27-2x）(21-2x)方程為2721（27-2x）(21-2x)= 2721方法二：（27-2x）(21-2x)= 2721【設計意圖】在課本內容的基礎上加上問題1，是為了讓學生先會解四周邊襯等寬的面積應用題，然后在處理課本上的問題，由易到難，符合學生的認知規律。問題2要設計一本書的封面，封面長27 cm ,寬21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（結果保留小數點后一位）？ 【分析】（1）本題中有哪些數量關系？（2）如何理解“正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的數量關系選取未知數并列出方程？（4）解方程并得出結論，對比幾種方法各有什么特點？ 【解答】依據題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm 因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的 所以（27-18x）（21-14x）=2721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=， x12.8cm，x20.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm【思考】如果換一種設未知數的方法，是否可以更簡單的解決上面的問題？請你試一試。提示：可以考慮其他解法。例如，設中央矩形的長和寬分別為9 xcm,7xcm.列方程9x7x=2721.【活動方略】教師提出問題學生分組，分別按問題（3）中所列的方程來解答，選代表展示解答過程，并講解解題過程和應注意問題在活動中，教師應注意：（1）學生對幾何圖形的分析能力；（2）學生在未知數的選擇上，能否根據情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）學生回答問題時的語言表達是否準確【設計意圖】使學生通過多種方法解幾何圖形問題，驗證多種方法的正確性；通過解題過程的對比，體會對已知數量關系的適當變形對解題的影響，豐富解題經驗 三、 反饋練習 1某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？ （2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？2有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少?（精確到01尺）【活動方略】學生獨立思考、獨立解題 教師巡視、指導，并選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）【設計意圖】檢查學生對所學知識的掌握情況.四、 應用拓展例1：如圖，某中學為方便師生活動，準備在長30 m，寬20 m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為32，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應為多少？ 【分析】（1） 本題中有哪些數量關系？（2）由這些數量關系還能得到什么新的結論？你想如何利用這些數量關系？為什么？如何列方程？（3）對比下列兩個圖形，它們有什么聯系與區別？【活動方略】學生分組討論，畫圖，上臺演示教師與學生一起評價，總結圖形變換的基本原則【設計意圖】進一步提升學生在活動1中的學習效果，使學生充分體會圖形變換的靈活性，培養學生對圖形的觀察、聯想能力。五、 小結作業1問題：通過本課的學習，大家有什么新的收獲和體會？本節課應掌握： 利用已學的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數學模型并運用它解決實際問題2作