二次函數的應用 幾何圖形的最大面積問題 1 二次函數y ax2 bx c a 0 的頂點坐標 對稱軸和最值2 1 求函數y x2 2x 3的最值 2 求函數y x2 2x 3 0 x 3 的最值 3 拋物線在什么位置取最值 一 思前想后 注 1 自變量X的取值范圍為一切實數 頂點處取最值 2 有取值范圍的在端點或頂點處取最值 x 1 y最小 4x 2 y最大 4 例1 如圖 在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆 圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃 設花圃的寬AB為x米 面積為S平方米 1 求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍 x 24 4x 2 當x取何值時所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長度為8米 則求圍成花圃的最大面積 例2 如圖在 ABC中 AB 8cm BC 6cm B 90 點P從點A開始沿AB邊向點B以2厘米 秒的速度移動 點Q從點B開始沿BC邊向點C以1厘米 秒的速度移動 如果P Q分別從A B同時出發 幾秒后 PBQ的面積最大 最大面積是多少 P Q 2cm 秒 1cm 秒 解 根據題意 設經過x秒后 PBQ的面積ycm2 AP 2xcmPB 8 2x cm QB xcm 則y 1 2x 8 2x x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 當P Q同時運動2秒后 PBQ的面積y最大 最大面積是4cm2 0 x 4 P Q 2cm 秒 1cm 秒 a 0 拋物線開口向下 例3 如圖 在 ABC中 HG BC AD BC BC 160cm AD 120cm 1 設矩形EFGH的長HG y 寬HE x 確定y與x的函數關系式 2 當x為何值時 矩形EFGH的面積S最大 四 課堂小結 1 對于面積最值問題應該設圖形一邊長為自變量 所求面積為函數建立二次函數的模型 利用二次函數有關知識求得最值 要注意函數的自變量的取值范圍 2 用函數知識求解實際問題 需要把實際問題轉化為數學問題再建立函數模型求解 解要符合實際題意 要注意數與形結合 1 在一幅長60cm 寬40cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊 制成一幅矩形掛圖 如圖所示 如果要使整個掛圖的面積是ycm2 設金色紙邊的寬度為xcm 那么y關于x的函數是 A y 60 2x 40 2x B y 60 x 40 x C y 60 2x 40 x D y 60 x 40 2x 課堂檢測 在矩形荒地ABCD中 AB 10 BC 6 今在四邊上分別選取E F G H四點 且AE AH CF CG x 建一個花園 如何設計 可使花園面積最大 D C A B G H F E 10 6 解 設花園的面積為y則y 60 x2 10 x 6 x 2x2 16x 0 x 6 2 x 4 2 32 所以當x 4時花園的最大面積為32 2 一塊三角形廢料 如圖 A 30 C 90 AB 12 用這塊廢料剪出一個長方形CDEF 其中 點D E F 分別在邊AC AB BC上 要使剪出的長方形CDEF的面積最大 點E應選在何處 如圖 某村計劃修建一條水渠 其橫斷面是等腰梯形 底角為120 兩腰與底的和為6m 問應如何設計 使得橫斷面的面積最大 最大面積是多少 拓展延伸 如圖 某公路隧道橫截面為拋物線 其中最大高度為6m 底部寬度OM為12m 現以O點為原點 OM所在直線為x軸建立直角坐標系 1 直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標 2 求出這條拋物線的解析式 3 若要搭建一個矩形 支撐架 AD DC CB 使C D點在拋物線上 A B點在地面上OM上 則這個 支撐架 的總長的最大值是多少 二次函數y ax bx c的圖象的一部分如圖所示 已知它的頂點M在第二象限 且經過點A 1 0 和點B 0 1 04杭州 1 請判斷實數a的取值范圍 并說明理由 2 x y 1 B 1 A O 1 a 0 如圖 在平面直角坐標系中 四邊形OABC為菱形 點C的坐標為 4 0 AOC 60 垂直于x軸的直線l從y軸出發 沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動 設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M N 點M在點N的上方 1 求A B兩點的坐標 2 設 OMN的面積為S 直線l