14.2.1平方差公式一、教材分析：14.2.1平方差公式這節課主要是探究平方差公式并運用公式進行整式的乘法運算。學生在本節經歷從特殊到一般、從具體到抽象的推導過程，得到平方差公式，在提高學生觀察、探究、發現、歸納的思維能力同時領會數學思想方法。平方差公式的學習，為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數等內容的學習奠定了基礎，同時也為完全平方公式的學習提供了探究方法。因此，平方差公式在初中階段的教學中具有很重要地位，是初中階段的第一個公式。2、 學情分析： 在前面的學習中，學生已經學習了有理數運算、整式的加減及整式乘法等知識，掌握了多項式乘法的法則，也經歷過對冪的乘法、多項式乘法的推導過程，有一定的邏輯思維，能夠有條理的分析問題，但在進行多項式乘法運算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題。學生學習平方差公式的困難在于對公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生的理解。因此，教學中引導學生分析公式的結構特征，并運用變式訓練揭示公式的本質特征，以加深學生對公式的理解。三、教學目標： 1、認識平方差公式并了解公式的幾何意義，理解平方差公式的結構特征，會用平方差公式簡化計算解決簡單的實際問題。 2、在探究平方差公式的過程中，體驗從“特殊到一般”的研究數學問題的方法，培養符號感和推理能力，培養學生觀察、歸納、概括的能力。 3、在計算過程中發現規律，并能用符號表示，從而體會數學的簡捷美。通過對平方差公式的幾何意義的了解，體會代數與幾何的內在統一。四、教學重難點教學重點：平方差公式的推導和應用教學難點：利用數形結合的數學思想方法解釋平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算五、教法、學法。教學方法：采用啟發式、探索式教學方法。學習方法：學生積極參與、大膽猜想、自主探索和合作交流六、教、學具準備多媒體課件輔助教學七、教學過程一、創設情境,導入新課1、回顧整式乘法中多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.符號表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、出示情景：我們學校今年翻修了學校的圍墻，修整后學校圍墻長503米。寬497米。你能用簡便方法計算一下我們學校的占地面積嗎？學生思考嘗試運用乘法運算律計算。教師點撥：如何計算結果？請同學們用多項式乘法法則進行計算。設計意圖：教學時，可先讓學生按算式503497，發現這種算法十分繁瑣。然后告訴學生學過本章相關內容后，將有簡單的筆算方法，以激發學生學習本章的興趣。二、自主探究，得出結論1、提出問題：計算下列各題（1） （x+4）（x4）； （2）（2+3a）（23a）（3）（x+5y）（x5y）；（4）（2y+z）（2yz）觀察以上算式及其運算結果，你有什么發現？學生獨立計算后與同伴交流結果是否相同，然后討論規律。教師提示：依照以上四道題的計算回答下列問題：式子的左邊具有什么共同特征？它們的結果有什么特征？能不能用字母表示你的發現？。設計意圖：通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，學生在計算過程中發現規律，體會規律的一般性，提出自己的猜想，并嘗試用數學語言進行描述.既復習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊。根據“最近發展區”理論，在學生已掌握的多項乘法法則的基礎上,探索具有特殊形式的多項式乘法平方差公式，這樣更加自然、合理。先讓學生觀察后獨立思考，再進行小組內交流討論，由學生代表發言，全班統一認識。2、你能用文字語言表示所發現的規律嗎？師生活動：教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發現規律：式子左邊是兩個數的和與這兩個數的差的積，右邊是這兩個數的平方差，即：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差學生自己再舉一些類似的多項式相乘的情形，并計算驗證自己的猜想.設計意圖：提供充分的時間，鼓勵學生用自己的語言表述到公式表示的過過渡，教師巡回引導，并集思廣益。從而提高學生觀察歸納、語言表達、合作交流等能力。學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件.三、數形結合，幾何說理 在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，然后把剩余的兩個長方形拼成一個長方形（如圖）.你能用這兩個圖形的面積說明平方差公式嗎？ a b 教師提示：a2-b2與(a+b)(a-b)都可表示該圖形的面積。學生自主選擇方法驗證公式，教師巡視指導，有意識引導學生選擇不同的方法。展示交流中，要求學生說出公式的合理性，進一步分析公式結構特征。設計意圖：通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關系,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數形結合的思想，讓學生體會到代數與幾何的內在聯系引導學生學會從多角度、多方面來思考問題四、剖析公式，發現本質在平方差公式 中，其結構特征為： 左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即 ； 讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數或式設計意圖：通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質特征掌握公式在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果。五、鞏固運用，內化新知1、下列兩個多項式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能用？(1)(2x-3y)(3y-2x)(2)(-2x+3y)(2x+3y)(3)(2x-3y)(2x-3y)(4)(2x+3y)(2x-3y)設計意圖：學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。2、運用平方差公式計算：(1)(3x2 )( 3x2 ) ；(2)(-x+2y)(-x-2y).(3)(b+2a)(2ab);思考：你是如何運用平方差公式解決以上的問題？在確定把哪個式子看成公式中“a”和“b”,應注意什么問題？要求學生板演解題過程，對比課本例題規范解題步驟和格式。3、我們學校今年翻修了學校的圍墻，修整后學校圍墻長503米。寬497米。你能用簡便方法計算一下我們學校的占地面積嗎？這個問題你會用我們今天學習的知識解決了嗎？誰能以最快的速度計算出結果？說說你的算法。設計意圖：把相乘兩數轉化成兩數和與兩數差的乘積形式，此題體現了轉化的思想和數式通性。同時與導入扣題。4、計算：（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)學生板演。教師追問：計算（y+3）(y-3)與計算(y-2)(y-4)方法一樣嗎？說出你的理由。教師強調：只有符合平方差公式結構特征的多項式乘法才可以運用公式簡化計算，不能亂用公式。學生板演，暴露問題，相互糾錯，熟練運用，掌握公式。六、回顧反思，小結延伸1、學生自主小結：這節課有哪些收獲？2、教師強調：運用平方差公式時，應注意以下幾個問題：(1)公式左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項相同，另一項相反。(2)公式右邊是相同項的平方減去相反項的平方。(3)公式中的a和b可以是數，也可以是單項式或多項式；3.質疑：以下的計算可以用平方差公式計算嗎？（x+2）(x+2)（a+b）(a+b)設計意圖：使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識也為完全平方公式的學習提供了探究的方法。7、 布置作業:必做題：課本P112習題14.2 第1題 選做題：1、證明兩個連續偶數的平方差能夠被4整除；2、利用平方差公式計算：（1）（3x +2y）（3x2y）； （2）（-7+2m2）（-7-2m2）設計意圖：作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發展。一、達標測試.1、下列運算正確的是：（）A、（x+2）(x2)=x22 B、(x+3y)(x3y)=x23y2C、(x+y)2=x2+y2D、(-3a2)(3a2)=49a22、在下列多項式的乘法中，不能用平方差公式的是：（）A、(2a+b)(2ab) B、(2a+b)(b2a)C、(2a+b)(-2ab) D、(2ab)(-2ab)3、 (x+2)(x2)(x2+4)的計算結果是：（ ）A、x2+16B、x416C、x41D、16x44、