二項式定理二項式定理：（）1.指數的特點 1)a的指數 由n到0( 降冪)。 2 )b的指數由0 到n（升冪）。 3）a和b的指數和為n。2.通項是 （r=0,1,2,n），注意 1.共n+1項2. 是第r+1項。系數與二項式系數：是二項式系數（為正整數）。系數是字母前的常數。 例 求的展開式中第四項的二次項系數是 第四項的系數是求的展開式；第三項的二次項系數是 第三項的系數是求的展開式；倒數第三項的二次項系數是 第三項的系數是注意負號，注意系數題型一：求二項展開式的特定項展開式中的系數是展開式中的系數是 ；常數項是求指定冪的系數或常數項，寫出通項即可變式 （2x）6的展開式中常數項是（ ）的系數是2.求n.或a若（9x）n（nN*）的展開式的第3項的二項式系數為36，則其展開式中的常數項為（）在()n的二項展開式中，若常數項為60，則n等于變式 若（x3+）n的展開式中的常數項為84，則n=已知()n展開式中第五項的系數與第三項的系數比是101，求展開式中含x的項變式 若（x）n展開式中含有x2項，則n的最小值是（）A15B8C7D3若二項式（2x+）7的展開式中的系數是84，則實數a=（）變式 的展開式中的常數項是60，則a的值是3在的展開式中，常數項為（）變式 在（1+x）4的展開式中，常數項是（）注意負號，注意系數二、求兩個二項式乘積與和的展開式指定冪的系數 例 的展開式中，項的系數是變式 的展開式中的系數為變式 (x+1)(2x+1)(3x+1)(nx+1)的展開式中，x的系數是（ ）在(1x)5(1x)6的展開式中，含x3的項的系數是變式 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)4(x-1)5的展開式中x2的系數等于_三、求有理項例 求的展開式中有理項共有 項；變式 二項式的展開式中系數為有理數的項共有（）項變式 的展開式中，含x的正整數次冪的項共有（ ）項四、系數最大的項 二項式系數最大: 如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大，即；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大，即。例、的展開式中，系數最小的項的系數是 ；系數最大的項的系數是 變式 在二項式的展開式中，二次項系數最大的項是 系數最大的項是 變式求展開式中系數最大的項；若展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是（）五：利用“賦值法”求部分項系數和，則a0=（）a0a1a2a5的值為變式 、已知等式成立，則的值等于 變式 設(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為2、若， 則的值為 變式 已知(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6變式 若（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，.求a0+a2+a4+a6的值。特殊值在賦值中考慮的比較多。六、組合數性質1、二次項系數之和展開式的二次項系數之和是64，則展開式的常數項是注意是二次項系數之和，不是系數之和展開式中各項系數的和為256，則n=2、若（x）n的展開式中第2項與第4項的二項式系數相等，則n=當a=1,b=-1時，奇數項二項式系數和=偶數項二項式系數和=二項式（x1）n的奇數項二項式系數和64，若（x1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+an（x+1）n，則a0等于（）3、七：利用二項式定理證明整除問題求證：能被7整除。變式 設a是整數，若能被13整除，則a= 隨機變量及其分布一、離散型隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量為什么成為離散型隨機變量呢？因為結果是有限個。也有結果是無限個的，例如投針試驗。電燈的壽命X是離散型隨機變量嗎？林場樹木的高度是離散型隨機變量嗎？二、隨機變量X的分布列設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有性質： pi_0，i1,2，n； p1p2pipn_1_.3離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和例題 某射手射擊所得環數X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.22則此射手P(X7)的概率為1pXP01p（一）兩點分布:像這樣的分布列叫做兩點分布列。如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布。例如射擊中與不中，考試通過與不通過等。新生嬰兒性別。只要是結果只有兩種可能的都服從兩點分布。（二）、超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰好有X件次品X01mP 一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰好有X件次品，則事件發生的概率為， ，其中，且，此時稱分布列為超幾何分布列。如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布。分布列本質上就是把所有可能出現的結果分類，再把對應的概率都算出來。例題、 某熱水瓶膽生產的6件產品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外觀上沒有區別，從這6件產品中任意抽檢2件，計算（1）2件都是正品的概率（2）至少有一件次品的概率變式 袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量，則P（6）=_.變式 已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的1分現從該箱中任取(取出后放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出3球所得分數之和求X的分布列； 變式 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的三只球中的最小號碼，寫出隨機變量的分布列分布列不一定是標準的什么分布，寫好有哪幾種可能，把對應的概率都求出來三 1.條件概率對于兩個事件A與B，在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率. 為P(BA)=P(AB)/P(A),例如 100個球從1號到100號，從其中取出1個球，在是偶數號球的條件下，球號碼小于等于40的概率是多少？變式 一個家庭中有兩個小孩，假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，問這時另一個小孩是男孩的概率是多少？2互斥事件、對立事件、獨立事件對于事件若所含結果組成的集合彼此互不相交，則為互斥事件，其意義為事件與不可能同時發生事件為互斥事件如果A/B互斥且A,B必有一個發生，則A,B為對立事件。2，如果兩個事件A與B滿足等式 P(AB)=P(A)P(B),稱事件A與B是相互獨立的，簡稱A與B獨立。若為相互獨立事件，則與，與與均為相互獨立事件，拋擲一顆骰子，記為事件“落地向上的數為奇數”，為事件“落地向上的數為偶數”，為事件“落地向上的數為3的倍數”，為事件“落地向上的數為大于3的數”，為事件“落地向上的數為5”。判斷下列哪些事件是互斥事件？哪些是對立事件？哪些是相互獨立事件？3、二人擊中頻率獨立1.甲乙二人擊中頻率相互獨立例題 甲乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時以下事件發生的概率：（1）兩人都能破譯的概率；（2）恰有一人能破譯的概率；（3）至多有一人能譯出的概率。甲中乙不中，要用甲中的概率和乙不中的概率相乘。別漏了乙不中的概率2.甲乙二人比賽 沒有平局與甲乙二人比賽，變式 某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業生得到面試的公司個數。若，求隨機變量X的分布列變式 某人參加射擊，擊中目標的概率是， 3次中有兩次擊中的概率是四、N次獨立重復試驗：二項分布 （一）在相同的條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗 1、某種玉米種子，如果每一粒發芽的概率為90，播下5粒種子，則其中恰有2粒未發芽的概率約為（ ）2已知箱中裝有4個白球和5個黑球，現從該箱中任取一個球(取出后放回，且每球取到的機會均等)，取3次，有兩次取出的是白球的概率是多少？獨立重復實驗幾個人中有幾個一個人多次（二）二項分布一般地，在次獨立重復試驗中，設事件發生的次數為，在每次試驗中事件發生的概率為，那么在次獨立重復試驗中，事件恰好發生次的概率為： = ，則稱隨機變量服從二項分布 。記作：（ ），并稱為成功概率小王通過英語聽力測試的概率是，他連續測試3次，第1次通過，2、3次不通過的概率是 那么其中恰有1次獲得通過的概率是 共通過兩次，第1次通過的概率是其中恰有2次獲得通過的概率是若不是次獨立重復試驗，就用獨立事件的概率來計算。次獨立重復試驗公式本來就是用獨立事件的概率計算出來的。重復試驗適用于n次中總共擊中了幾次。具體的第幾次擊中，需用獨立事件概率來計算。綜合運用1、第一次擊中所需次數某人參加射擊，擊中目標的概率是，為他射擊6次擊中目標的次數，1.求隨機變量的分布列；若他連續射擊6次，設為他第一次擊中目標時所需要射擊的次數，求的分布列；若他只有6顆子彈，若他擊中目標，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數的分布列重復實驗是n次中總共擊中了幾次 ，第一次擊中目標所需要的次數 ，需用獨立事件概率來計算 （共只擊中了1次，不一定射擊了n次）分類 ：共射擊了幾次設一汽車在前進途中要經過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表示停車時已經通過的路口數，求：（）的概率的分布列及期望E；（）停車時最多已通過3個路口的概率2、累積答對幾次就可結束比賽某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的4個問題中，選手若能正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的4個問題中，選手若能正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手晉級下一輪的概率等于_分類：共回答了幾個問題在答對幾次就可晉級問題中，先確定最后一次答對，前面幾次再用n次重復實驗的概率計算。某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的4個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_變式 累積答對或答錯幾次就結束比賽3.比賽結束時的比賽局數為，甲乙獲勝都會結束比賽。2010年廣州亞運會乒乓球男單決賽中，馬龍與王皓在前三局的比分分別是9：11、11：8、11：7，已知馬琳與王皓的水平相當，比賽實行“七局四勝”制，即先贏四局者勝，求（1）王皓獲勝的概率； （2）比賽打滿七局的概率（3）記比賽結束時的比賽局數為，求的分布列及數學期望每一次的概率要先求袋子中裝有大小相同的白球和紅球共個，從袋子中任取個球都是白球的概率為，每個球被取到的機會均等. 現從袋子中每次取個球，如果取出的是白球則不再放回，設在取得紅球之前已取出的白球個數為.（1）求袋子中白球的個數；（2）求的分布列和數學期望.某班聯歡晚會玩飛鏢投擲游戲，規則如下：每人連續投擲5支飛鏢，累積3支飛鏢擲中目標即可獲獎；否則不獲獎同時要求在以下兩種情況下中止投擲：累積3支飛鏢擲中目標；累積3支飛鏢沒有擲中目標已知小明同學每支飛鏢擲中目標的概率是常數p（p0.5），且擲完3支飛鏢就中止投擲的概率為（1）求p的值；（2）記小明結束游戲時，投擲的飛鏢支數為X，求X的分布列和數學期望共幾類題目超幾何分布分類+超幾何分布獨立事件分類+獨立事件N次重復試驗獨立事件+n次重復試驗易犯錯誤獨立事件漏乘。能不能用n次重復試驗。第一次擊中所需次數肯定是獨立事件不同的人參加測試，每人概率不一樣，每次也不一樣肯定是分類+獨立事件兩人比賽勝幾局幾勝肯定是獨立事件+n次重復試驗。球放回是 n次重復試驗，球不放回是獨立事件。比賽積分是分類+獨立事件+n次重復試驗甲，乙，丙三人參加某次招聘會，假設甲能被聘用的概率是，甲，丙兩人同時不能被聘用的概率是，乙，丙兩人同時能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互獨立（1）求乙，丙兩人各自能被聘用的概率；（2）設表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人數與不能被聘用的人數之差的絕對值，求的分布列與均值（數學期望）間接法甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是，現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為 變式 某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為_超幾何分布有兩種東西A,B ，從中抽取幾個，含有幾個B的概率 基本事件數/總事件數獨立事件P(AB)=P(A)P(B)二項分布是n次中發生 次的概率 已知一次發生的概率分類 答了幾次、比了幾場n次重復實驗第一次擊中所需次數答對幾次就可晉級、打贏幾場就結束、積了積分就結束綜合 某車間在三天內，每天生產10件產品，其中第一，第二，第三天分別生產了1，2，2件次品。而質檢部每天要在生產的10件產品中隨意抽取4件進行檢查，若發現有次品，則當天的產品不能通過，求三天全部通過檢查的概率甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會出現平局（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結束，結果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率 有平局 不勝利的概率=平局的概率+輸的概率 甲乙兩人進行掰手腕比賽，比賽規則規定三分鐘為一局，三分鐘內不分勝負為平局，當有一人3局就結束比賽，否則繼續進行，根據以往經驗，每乙甲勝的概率為，乙勝的概率為，且每局比賽勝負互不受影響（）求比賽4局乙勝的概率（）求在2局比賽中甲的勝局數為的分布列和數學期望；（）若規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，比賽進行五局，積分有超過5分者比賽結束，否則繼續進行，求甲得7分的概率練習1二項式（x2）11的展開式中，系數最大的項為（）2已知的展開式中的倒數第三項的系數為45，求含有的項。3若a0,展開式中的系數為，則a=4（x2+2）（1）5的展開式的常數項是（）5若展開式中含x的項的系數為280，則a=（）6.若的二項式展開式中二項式系數之和為64，則展開式中的常數項為（）7.（x2x+1）10展開式中x3項的系數為（）8.5310被8除的余數是（ ）9.商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據摸出4個球中紅球與籃球的個數，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額的分布列10、袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）11已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()12某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數的分布列13.兩名射擊運動員的射擊水平：讓他們各向目標靶射擊10次，其中甲擊中目標7次，乙擊中目標6次。若在讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊5次，求甲運動員恰好擊中目標2次，且其中第次擊中的概率某次體能測試中，規定每名運動員一開始就要參加且最多參加四次測試一旦測試通過，就不再參加余下的測試，否則一直參加完四次測試為止已知運動員甲的每次通過率為0.7（假定每次通過率相同）設運動員甲參加測試的次數為（1）求運動員甲最多參加兩次測試的概率（精確到0.1）（2）求的分布列及數學期望某公司招聘員工，分筆試和面試兩部分，筆試指定三門考試課程，至少有兩門合格為筆試通過，筆試通過才有資格面試假設應聘者對這三門課程考試合格的概率分別是0.9，0.6，0.5，且每門課程考試是否合格相互之間沒有影響，面試通過的概率是0.4（1）求某應聘者被聘用的概率；（2）有4人來該公司應聘，記被聘用的人數為，求的分布列及期望張三開車回家途中有6個交通崗，他在每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是（1）求他在途中至少一次遇到紅燈的概率；（2）設為他在途中遇到的紅燈次數，求的期望和方差；（3）設表示他在首次停車前經過的路口數，求的分布列14甲乙兩人約定以“五局三勝”制進行乒乓球比賽，比賽沒有平局，設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，已知比賽中，乙嬴了第一局比賽（I）求甲獲勝的概率；（用分數作答）（）設比賽總的局數為，求的分布列