十四章 整式的乘除與因式分解14.1.1同底數冪的乘法 教學目標 1知識與技能 在推理判斷中得出同底數冪乘法的運算法則，并掌握“法則”的應用 2過程與方法 經歷探索同底數冪的乘法運算性質的過程，感受冪的意義，發展推理能力和表達能力，提高計算能力 3情感、態度與價值觀 在小組合作交流中，培養協作精神、探究精神，增強學習信心 重、難點與關鍵 1重點：同底數冪乘法運算性質的推導和應用 2難點：同底數冪的乘法的法則的應用 3關鍵：冪的運算中的同底數冪的乘法教學，要突破這個難點，必須引導學生，循序漸進，合作交流，獲得各種運算的感性認識，進而上各項到理性上來，提醒學生注意a2與（a）2的區別 教學方法 采用“情境導入探究提升”的方法，讓學生從生活實際出發，認識同底數冪的運算法則 教學過程 一、創設情境，故事引入 【情境導入】 “盤古開天壁地”的故事：公元前一百萬年，沒有天沒有地，整個宇宙是混濁的一團，突然間竄出來一個巨人，他的名字叫盤古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成兩半，上面是天，下面是地，從此宇宙有了天地之分，盤古完成了這樣一個壯舉，累死了，他的左眼變成了太陽，右眼變成了月亮，毛發變成了森林和草原，骨頭變成了高山和高原，肌肉變成了平原與谷地，血液變成了河流 【教師提問】盤古的左眼變成了太陽，那么，太陽離我們多遠呢？你可以計算一下，太陽到地球的距離是多少？ 光的速度為3105千米/秒，太陽光照射到地球大約需要5102秒，你能計算出地球距離太陽大約有多遠呢？【學生活動】開始動筆計算，大部分學生可以列出算式：31055102=15105102=15？（引入課題） 【教師提問】到底105102=？同學們根據冪的意義自己推導一下，現在分四人小組討論 【學生活動】分四人小組討論、交流，舉手發言，上臺演示 計算過程：105102=（1010101010）（1010） =10101010101010 =107 【教師活動】下面引例 1請同學們計算并探索規律 （1）2324=（222）（2222）=2( )； （2）5354=_=5( )； （3）（3）7（3）6=_=（3）( )； （4）（）3（）=_=（）( )； （5）a3a4=_a( ) 提出問題：這幾道題目有什么共同特點？ 請同學們看一看自己的計算結果，想一想，這些結果有什么規律？ 【學生活動】獨立完成，并在黑板上演算 【教師拓展】計算aa=？請同學們想一想 【學生總結】aa=am+n 這樣就探究出了同底數冪的乘法法則 二、范例學習，應用所學【例】計算： （1）103104； （2）aa3； （3）aa3a5； （4）xx2+x2x 【思路點撥】（1）計算結果可以用冪的形式表示如（1）103104=103+4=107，但是如果計算較簡單時也可以計算出得數（2）注意a是a的一次方，提醒學生不要漏掉這個指數1，x3+x3得2x3，提醒學生應該用合并同類項（3）上述例題的探究，目的是使學生理解法則，運用法則，解題時不要簡化計算過程，要讓學生反復敘述法則 【教師活動】投影顯示例題，指導學生學習 【學生活動】參與教師講例，應用所學知識解決問題 三、隨堂練習，鞏固深化 課本練習題 【探研時空】 據不完全統計，每個人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.341019個水分子，那么，每個人每年要用去多少個水分子？ 四、課堂總結，發展潛能 1同底數冪的乘法，使用范圍是兩個冪的底數相同，且是相乘關系，使用方法：乘積中，冪的底數不變，指數相加 2應用時可以拓展，例如含有三個或三個以上的同底數冪相乘，仍成立，底數和指數，它既可以取一個或幾個具體數，由可取單項式或多項式 3運用冪的乘法運算性質注意不能與整式的加減混淆 五、布置作業，專題突破 1課本P96習題141第1（1），（2），2（1）題 2選用課時作業設計 板書設計 14.1.1同底數冪的乘法1、同底數冪的乘法法則 例： 練習： 教學反思本節課的教學過程是探索發現性學習過程，注意同底數冪的乘法法則的推導過程，而不單單是要求記住結論，在導出的過程中，從具體到抽象，有層次地進行概括，歸納推理，學生不是被動地接受，而是在已有經驗的基礎上創新，從而培養學生的動手能力和創新意識14.1.2 冪的乘方 教學目標 1知識與技能 理解冪的乘方的運算性質，進一步體會和鞏固冪的意義；通過推理得出冪的乘方的運算性質，并且掌握這個性質 2過程與方法 經歷一系列探索過程，發展學生的合情推理能力和有條理的表達能力，通過情境教學，培養學生應用能力 3情感、態度與價值觀 培養學生合作交流意義和探索精神，讓學生體會數學的應用價值 重、難點與關鍵 1重點：冪的乘方法則 2難點：冪的乘方法則的推導過程及靈活應用 3關鍵：要突破這個難點，在引導這個推導過程時，步步深入，層層引導，要求對性質深入地理解 教學方法 采用“探討、交流、合作”的教學方法，讓學生在互動交流中，認識冪的乘方法則 教學過程 一、創設情境，導入新知【情境導入】 大家知道太陽，木星和月亮的體積的大致比例嗎？我可以告訴你，木星的半徑是地球半徑的102倍，太陽的半徑是地球半徑的103倍，假如地球的半徑為r，那么，請同學們計算一下太陽和木星的體積是多少？（球的體積公式為V=r3） 【學生活動】進行計算，并在黑板上演算解：設地球的半徑為1，則木星的半徑就是102，因此，木星的體積為V木星=（102）3=？（引入課題） 【教師引導】（102）3=？利用冪的意義來推導 【學生活動】有些同學這時無從下手 【教師啟發】請同學們思考一下a3代表什么？（102）3呢？ 【學生回答】a3=aaa，指3個a相乘（102）3=102102102，就變成了同底數冪乘法運算，根據同底數冪乘法運算法則，底數不變，指數相加，102102102=102+2+2=106，因此（102）3=106 【教師活動】下面有問題： 利用剛才的推導方法推導下面幾個題目： （1）（a2）3；（2）（24）3；（3）（bn）3；（4）（x2）2 【學生活動】推導上面的問題，個別同學上講臺演示 【教師推進】請同學們根據所推導的幾個題目，推導一下（a）的結果是多少？ 【學生活動】歸納總結并進行小組討論，最后得出結論：（am）n= amn 評析：通過問題的提出，再依據“問題推進”所導出的規律，利用乘方的意義和冪的乘法法則，讓學生自己主動建構，獲取新知：冪的乘方，底數不變，指數相乘 二、范例學習，應用所學 【例】計算： （1）（103）5；（2）（b3）4；（3）（xn）3；（4）（x7）7 【思路點撥】要充分理解冪的乘方法則，準確地運用冪的乘方法則進行計算 【教師活動】啟發學生共同完成例題 【學生活動】在教師啟發下，完成例題的問題：并進一步理解冪的乘方法則： 解：（1）（103）5=1035=1015； （3）（xn）3=xn3=x3n； （2）（b3）4=b34=b12； （4）（x7）7=x77=x49 三、隨堂練習，鞏固練習 課本P97練習 【探研時空】 計算：x2x2（x2）3+x10 【教師活動】巡視、關注中等、中下的學生，媒體顯示練習題 【學生活動】書面練習、板演 四、課堂總結，發展潛能 1冪的乘方（am）n=amn（m，n都是正整數）使用范圍：冪的乘方方法：底數不變，指數相乘 2知識拓展：這里的底數、指數可以是數，可以是字母，也可以是單項式或多項式 3冪的乘方法則與同底數冪的乘法法則區別在于，一個是“指數相乘”，一個是“指數相加” 五、布置作業，專題突破 課本P104習題14.1第1、2題 板書設計 14.1.2 冪的乘方1、冪的乘方的乘法法則 例： 練習： 教學反思 由于冪的乘方較抽象，引入課題時也可以從國情教育引入，搜集關于希望工程的圖片展示給學生，如：有一個棱長為102cm的正方體，我們計算一下，可以裝長為20cm，寬為15cm，厚為2cm的書多少本？14.1.3 積的乘方 教學目標 1知識與技能 通過探索積的乘方的運算性質，進一步體會和鞏固冪的意義，在推理得出積的乘方的運算性質的過程中，領會這個性質 2過程與方法 經歷探索積的乘方的過程，發展學生的推理能力和有條理的表達能力，培養學生的綜合能力 3情感、態度與價值觀 通過小組合作與交流，培養學生團結協作的精神和探索精神，有助于塑造他們挑戰困難，挑戰生活的勇氣和信心 重、難點與關鍵 1重點：積的乘方的運算 2難點：積的乘方的推導過程的理解和靈活運用 3關鍵：要突破這個難點，教師應該在引導這個推導過程時，步步深入，層層引導，而不該強硬地死記公式，只有在理解的情況下，才可以對積的乘方的運算性質靈活地應用 教學方法 采用“探究交流合作”的方法，讓學生在互動中掌握知識 教學過程 一、回顧交流，導入新知 【教師活動】提問學生在前面學過的同底數冪的運算法則；冪的乘方運算法則的內容以及區別 【學生活動】踴躍舉手發言，解說老師的提問 【課堂演練】 計算：（1）（x4）3 （2）aa5 （3）x7x9（x2）3 【學生活動】完成上面的演練題，并從中領會這兩個冪的運算法則 【教師活動】巡視，關注學生的練習，并請3位學生上臺演示，然后再提出下面的問題 同學們思考怎樣計算（2a3）4，每一步的根據是什么？ 【學生活動】先獨立完成上面的問題，再小組討論 （2a3）4=（2a3）（2a3）（2a3）（2a3）（乘方的含義） =（2222）（a3a3a3a3）（乘法交換律、結合律） =24a12（乘方的意義與同底數冪的乘法運算） =16a12 【教師活動】提出應用以上分析問題的過程，再計算（ab）4，說出每一步的根據是什么？ 【學生活動】獨立思考之后，再與同學交流 （ab）4=（ab）（ab）（ab）（ab）（乘方的含義） =（aaaa）（bbbb）（交換律、結合律） =a4b4（乘方的含義） 【教師提問】（1）請同學們通過計算，觀察乘方結果之后，你能得出什么規律？（2）如果設n為正整數，將上式的指數改成n，即：（ab）n，其結果是什么？ 【學生活動】回答出（ab）n=anbn 【師生共識】我們得到了積的乘方法則：（ab）n=anbn（n為正整數），這就是說，積的乘方等于積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘（ab）n=anbn【教師活動】拓展訓練：三個或三個以上的積的乘方，如（abc）n， 【學生活動】回答出結果是（abc）n =a n b n c n 二、范例學習，應用所學 【例】計算： （1）（2b）3；（2）（2a3）2；（3）（a）3；（4）（3x）4 【教師活動】組織、講例、提問 【學生活動】踴躍搶答 三、隨堂練習，鞏固深化 課本P98練習 【探研時空】 計算下列各式： （1）（）2（）3； （2）（ab）3（ab）4； （3）（a5）5； （4）（2xy）4； （5）（3a2）n； （6）（xy3n）2（2x）2 3； （7）（x4）6（x3）8； （8）p（p）4； （9）（tm）2t； （10）（a2）3（a3）2 四、課堂總結，發展潛能 本節課注重課堂引入，激發學生興趣，“良好開端等于成功一半” 1積的乘方（ab）n=anbn（n是正整數），使用范圍：底數是積的乘方方法：把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘 2在運用冪的運算法則時，注意知識拓展，底數和指數可以是數，也可以是整式，對三個以上因式的積也適用 3要注意運算過程，注意每一步依據，還應防止符號上的錯誤 4在建構新的法則時應注意前面學過的法則與新法則的區別和聯系 五、布置作業，專題突破 1課本P104習題151第1、2題 板書設計 14.1.3 積的乘方1、積的乘方的乘法法則 例： 練習： 教學反思 計算（2x）3學生易錯誤得出2x3，本題錯誤在于：括號內應看成2x兩個因式，而上述結論顯然結積的乘方意義缺乏理解，2漏乘方，正確的應是（2）3x3=8x314.1.4 單項式乘以單項式 教學目標 1知識與技能 理解整式運算的算理，會進行簡單的整式乘法運算 2過程與方法 經歷探索單項式乘以單項式的過程，體會乘法結合律的作用和轉化的思想，發展有條理的思考及語言表達能力 3情感、態度與價值觀 培養學生推理能力、計算能力，通過小組合作與交流，增強協作精神 重、難點與關鍵 1重點：單項式乘法運算法則的推導與應用 2難點：單項式乘法運算法則的推導與應用 3關鍵：通過創設一定的問題情境，推導出單項式與單項式相乘的運算法則，可以采用循序漸進的方法突破難點 教學方法 采用“情境探究”的教學方法，讓學生在創設的情境之中自然地領悟知識 教學過程 一、創設情境，操作導入 【手工比賽】 讓學生在課前準備一張自己最滿意的照片，自己制作一個美麗的像框上課之后，首先來做游戲，“才藝大獻”，把自己的照片加一個美麗的像框，看誰在10分鐘之內，可以裝飾出美麗的照片，誰的最好，老師就送他個好禮物 【教師活動】組織學生參加“才藝比賽” 【學生活動】完成上述手工制作，與同伴交流 【教師引導】在學生完成之后，教師拿出一張美麗的風景照片，提出問題：你們看這幅美麗的風景圖片，如何裝飾它會更漂亮？ 【學生回答】加一個美麗的像框 【引入課題】假如要加一個美麗的像框，需要知道這幅圖片的大小，現在告訴你，圖片的長為mx，寬為x，你能計算出圖片的面積嗎？ 【學生活動】動手列式，圖片的面積為mxx=？ 【教師提問】對于mxx=？的問題，前面我們已學習了乘法的運算律以及冪的運算法則，現在請你運用已學知識推導出它的結果 【學生活動】先獨立思考，再與同伴交流 實際上mxx=m（xx）=mx2=mx2 【拓展延伸】請同學們繼續計算mxx=？ 【學生活動】先獨立完成，再與同伴交流，踴躍上臺演示 mxx=mxx=mx2=mx2 【教師活動】請部分學生上臺演示，然后大家共同討論 【繼續探究】計算：（1）xmx； （2）2a2b3ab3； （3）（abc）b2c 【學生活動】獨立完成，再與同學交流 【教師活動】總結新知：我們根據自己做的題目的原則，得到單項式與單項式相乘的運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，放在積的因式中 二、范例學習，應用所學 【例1】計算 （1）3x2y（2xy3） （2）（5a2b3）（4b2c） 【思路點撥】例1的兩個小題，可先利用乘法交換律、結合律變形成數與數相乘，同底數冪與同底數冪相乘的形式，單獨一個字母照抄 【例2】衛星繞地球運動的速度（即第一宇宙速度）約為7.9103米/秒，則衛星運行3102秒所走的路程約是多少？ 【教師活動】：引導學生參與到例1，例2的解決之中 【學生活動】參與到教師的講例之中，鞏固新知 三、問題討論，加深理解 【問題牽引】 1aa可以看作是邊長為a的正方形的面積，aab又怎樣理解呢？ 2想一想，你會說明ab，3a2a以及3a5ab的幾何意義嗎？ 【教師活動】問題牽引，引導學生思考，提問個別學生 【學生活動】分四人小組，合作學習 四、隨堂練習，鞏固深化 課本P145練習第1、2題 五、課堂總結，發展潛能 本節內容是單項式乘以單項式，重點是放在對運算法則的理解和應用上 提問：（1）請同學們歸納出單項式乘以單項式的運算法則 （2）在應用單項式乘以單項式運算法則時應注意些什么？ 六、布置作業，專題突破 1課本P149習題151第3題 2選用課時作業設計 板書設計 14.1.4 單項式乘以單項式1、單項式乘以單項式的乘法法則 例： 練習： 教學反思 【思路點撥】對于單項式與單項式相乘的應用問題，首先要依據題意，列出算式，含10的冪相乘同樣用單項式與乘法法則進行計算，還應將所得的結果用科學記數法表示14.1.5 單項式與多項式相乘 教學目標 1知識與技能 讓學生通過適當嘗試，獲得一些直接的經驗，體驗單項式與多項式的乘法運算法則，會進行簡單的整式乘法運算 2過程與方法 經歷探索單項式與多項式相乘的運算過程，體會乘法分配律的作用和轉化思想，發展有條理地思考及語言表達能力 3情感、態度與價值觀 培養良好的探究意識與合作交流的能力，體會整式運算的應用價值 重、難點與關鍵 1重點：單項式與多項式相乘的法則 2難點：整式乘法法則的推導與應用 3關鍵：應用乘法分配律把單項式與多項式相乘轉化到單項式與單項式相乘上來，注意知識遷移 教學方法 采用“情境探究”教學方法，讓學生直觀地理解單項式與多項式相乘的法則 教學過程 一、回顧交流，課堂演練 1口述單項式乘以單項式法則 2口述乘法分配律 3課堂演練，計算： （1）（5x）（3x）2 （2）（3x）（x） （3）xyxy2 （4）5m2（mn） （5）x4y62x2y（x2y5） 【教師活動】組織練習，關注中下水平的學生 【學生活動】先獨立完成上述“演練題”，再相互交流，部分學生上臺演示 二、創設情境，引入新課 小明作了一幅水彩畫，所用紙的大小如圖1，她在紙的左右兩邊各留了a米的空白，請同學們列出這幅畫的畫面面積是多少？ 【學生活動】小組合作，討論 【教師活動】在學生討論的基礎上，提問個別學生 【情境問題2】夏天將要來臨，有3家超市以相同價格n（單位：元臺）銷售A牌空調，他們在一年內的銷售量（單位：臺）分別是x，y，z，請你采用不同的方法計算他們在這一年內銷售這種空調的總收入 【學生活動】分四人小組，與同伴交流，尋求不同的表示方法 方法一：首先計算出這三家超市銷售A牌空調的總量（單位：臺），再計算出總的收入（單位：元） 即：n（x+y+z） 方法二：采用分別計算出三家超市銷售A牌空調的收入，然后再計算出他們的總收入（單位：元） 即：nx+ny+nz 由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz 【教師活動】引導學生在不同的代數式呈現中，找到規律：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加 三、范例學習，應用所學 【例1】計算：（2a2）（3ab25ab3） 解：原式（2a2）（3ab2）（2a2）（5ab3） =6a3b2+10a3b3 【例2】化簡：3x2（xyy2）10x（x2yxy2） 解：原式=x3y+3x2y210x3y+10x2y2 =11x3y+13x2y2 【例3】解方程：8x（5x）=192x（4x3） 40x8x2=198x2+6x 40x6x=19 34x=19 x= 四、隨堂練習，鞏固深化 課本P146練習 【探研時空】 計算：（1）5x2（2x23x3+8） （2）16x（x23y） （3）2a2（ab2+b4） （4）（x2y316xy）xy2 【教師活動】巡視，關注中差生 五、課堂總結，發展潛能 1單項式與多項式相乘法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加 2單項式與多項式相乘，應注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符號” 六、布置作業，專題突破 課本P104習題141第4、6題 板書設計 14.1.5 單項式乘以多項式1、單項式乘以多項式的乘法法則 例： 練習： 教學反思教學中，應緊扣法則，注意多項式的各項是帶著前面的符號的在實施“情境探究”教學過程中，注重引導學生在課堂活動過程中感悟知識的生成、發展與變化，培養學生主動探索、敢于實踐、善于發現的科學精神 14.1.6 多項式與多項式相乘 教學目標 1知識與技能 讓學生理解多項式乘以多項式的運算法則，能夠按多項式乘法步驟進行簡單的乘法運算 2過程與方法 經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的推理過程，體會其運算的算理 3情感、態度與價值觀 通過推理，培養學生計算能力，發展有條理的思考，逐步形成主動探索的習慣 重、難點與關鍵 1重點：多項式與多項式的乘法法則的理解及應用 2難點：多項式與多項式的乘法法則的應用 3關鍵：多項式的乘法應先轉化為單項式與多項式相乘而后再應用已學過的運算法則解決 教學方法 采用“情境探索”教學方法，讓學生在設置的情境中，通過操作感知多項式與多項式乘法的內涵 教學過程 一、創設情境，操作感知 【動手操作】 首先，在你的硬紙板上用直尺畫出一個矩形，并且分成如下圖1所示的四部分，標上字母【學生活動】拿出準備好的硬紙板，畫出上圖1，并標上字母 【教師活動】要求學生根據圖中的數據，求一下這個矩形的面積 【學生活動】與同伴交流，計算出它的面積為：（m+b）（n+a）【教師引導】請同學們將紙板上的矩形沿你所畫豎著的線段將它剪開，分成如下圖兩部分，如圖2剪開之后，分別求一下這兩部分的面積，再求一下它們的和 【學生活動】分四人小組，合作探究，求出第一塊的面積為m（n+a），第二塊的面積為b（n+a），它們的和為m（n+a）+b（n+a）【教師活動】組織學生繼續沿著橫的線段剪開，將圖形分成四部分，如圖3，然后再求這四塊長方形的面積 【學生活動】分四人小組合作學習，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，它們的和為S=mn+nb+am+ab 【教師提問】依據上面的操作，求得的圖形面積，探索（m+b）（n+a）應該等于什么？ 【學生活動】分四人小組討論，并交流自己的看法 （m+b）（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因為我們三次計算是按照不同的方法對同一個矩形的面積進行了計算，那么，兩次的計算結果應該是相同的，所以（m+b）（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab 【師生共識】多項式與多項式相乘，用第一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的結果相加 字母呈現： =ma+mb+na+nb 二、范例學習，應用所學 【例1】計算： （1）（x+2）（x3） （2）（3x1）（2x+1） 【例2】計算： （1）（x3y）（x+7y） （2）（2x+5y）（3x2y） 【例3】先化簡，再求值： （a3b）2+（3a+b）2（a+5b）2+（a5b）2，其中a=8，b=6【教師活動】例1例3，啟發學生參與到例題所設置的計算問題中去 【學生活動】參與其中，領會多項式乘法的運用方法以及注意的問題 三、隨堂練習，鞏固新知 課本P148練習第1、2題 【探究時空】 一塊長m米，寬n米的玻璃，長寬各裁掉a米后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺面（玻璃與臺面一樣大小），問臺面面積是多少？ 四、課堂總結，發展潛能 1多項式與多項式相乘，應充分結合導圖中的問題來理解多項式與多項式相乘的結果，利用乘法分配律來理解（m+n）與（a+b）相乘的結果，導出多項式乘法的法則 2多項式與多項式相乘，第一步要先進行整理，在用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項時，要“依次”進行，不重復，不遺漏，且各個多項式中的項不能自乘，多項式是幾個單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時要正確確定積中各項的符號 五、布置作業，專題突破 課本P104習題141第5、6、7（2）、9、10題 板書設計 14.1.6 多項式乘以多項式1、多項式乘以多項式的乘法法則 例： 練習： 教學反思在實施情境探究教學過程中，應注意讓學生感知問題的生成、發展與變化，培養學生善于發現的科學精神以及合作交流的精神和創新意識14.2.1平方差公式（二） 教學目標 1知識與技能 探究平方差公式的應用，熟練地應用于多項式乘法之中 2過程與方法 經歷平方差公式的運用過程，體會平方差公式的內涵 3情感、態度與價值觀 培養良好的運算能力，以及觀察事物的特征的能力，感受到學習數學知識的實際價值 重、難點與關鍵 1重點：運用平方差公式進行整式計算 2難點：準確把握運用平方差公式的特征 3關鍵：弄清平方差公式的結構特點，左邊：（1）兩個二項式的積；（2）兩個二項式中一項相同，另一項互為相反數右邊：（1）二項式；（2）兩個因式中相同項平方減去互為相反數的項的平方 教學方法 采用“精講精練”分層遞推的教學方法，讓學生在訓練中，熟練掌握平方差的特征 教學過程 一、回顧交流，課堂演練 1用平方差公式計算： （1）（9x2y）（9x+2y） （2）（0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x） （3）（8a2b1）（1+8a2b） （4）2008220092007 2計算：（a+b）（ab）（3a2b）（3a+2b） 【教師活動】請部分學生上講臺“板演”，然后組織學生交流 【學生活動】先獨立完成課堂演練，再與同學交流 二、范例學習，鞏固深化 【例1】計算： （1）（y+2x）（2xy）； （2）（x0.7a2b）（x0.7a2b）； （3）（2a3b）（2a+3b）（4a2+9b2）（16a4+81b4） 解：（1）原式=（x+y）（xy）=y2 （2）原式=（0.7a2bx）（0.7a2b+x） =（0.7a2b）2（x）2=0.4 9a4b2x2 （3）原式=（4a29b2）（4a2+9b2）（16a4+81b4） =（16a481b4）（16a4+81b4） =256a86561b8 【例2】運用乘法公式計算：78 【思路點撥】因為7可改寫為8，8可改寫成8+，這樣可用平方差公式計算 解：78=（8）（8+）=82（）2=64=63 【教師活動】邊講例邊引導學生學會應用平方差公式 【學生活動】參與到例12的學習中去 三、課堂演練，拓展思維【演練題1】想一想：（1）計算下列各組算式，并觀察它們的共同特征 （2）從以上的過程中，你能尋找出什么規律？ （3）請你用字母表現你所發現的規律，并得出結論 【演練題2】 1計算：（1）118122 （2）10595 （3）10079932求（21）（2+1）（22+1）（24+1）（232+1）+1的個位數字【教師活動】組織學生進行課堂演練，并適時歸納 【學生活動】先獨立完成上面的演練題，再與同伴交流 四、隨堂練習，鞏固提升 【探研時空】 1計算：2a2（a+b）（ab）（ab）（a+b）+2b2； 2解不等式：（3x+4）（3x4）9（x2）（x+3）； 3利用平方差公式計算：1.972.03； 4化簡求值：x4（1x）（1+x）（1+x2）其中x=2 【教師活動】引導學生通過探究，領會平方差公式的真正意義 【學生活動】分四人小組合作學習，互相交流 五、課堂總結，發展潛能 提問式總結： 1什么叫做平方差公式？它有什么特征？ 2你在應用過程中有什么感想？ 3在應用平方差公式時，應注意什么？舉例說明 六、布置作業，專題突破 選用補充作業 板書設計14.2.1平方差公式（二）1、平方差公式 例：（a+b）（ab）=a2b2 練習： 教學反思在實施情境探究教學過程中，應注意讓學生感知問題的生成、發展與變化，培養學生善于發現的科學精神以及合作交流的精神和創新意識14.2.1平方差公式（一） 教學目標 1知識與技能 會推導平方差公式，并且懂得運用平方差公式進行簡單計算 2過程與方法 經歷探索特殊形式的多項式乘法的過程，發展學生的符號感和推理能力，使學生逐漸掌握平方差公式 3情感、態度與價值觀 通過合作學習，體會在解決具體問題過程中與他人合作的重合性，體驗數學活動充滿著探索性和創造性 重、難點與關鍵 1重點：平方差公式的推導和運用，以及對平方差公式的幾何背景的了解 2難點：平方差公式的應用 3關鍵：對于平方差公式的推導，我們可以通過教師引導，學生觀察、總結、猜想，然后得出結論來突破；抓住平方差公式的本質特征，是正確應用公式來計算的關鍵 教學方法 采用“情境探究”的教學方法，讓學生在觀察、猜想中總結出平方差公式 教學過程 一、創設情境，故事引入 【情境設置】教師請一位學生講一講狗熊掰棒子的故事 【學生活動】1位學生有聲有色地講述著狗熊掰棒子的故事，其他學生認真聽著，不時補充 【教師歸納】聽了這則故事之后，同學們應該懂得這么一個道理，學習千萬不能像狗熊掰棒子一樣，前面學，后面忘，那么，上節課我們學習了什么呢？還記得嗎？ 【學生回答】多項式乘以多項式 【教師激發】大家是不是已經掌握呢？還是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同樣的錯誤呢？下面我們就來做這幾道題，看看你是否掌握了以前的知識 【問題牽引】計算： （1）（x+2）（x2）； （2）（1+3a）（13a）； （3）（x+5y）（x5y）； （4）（y+3z）（y3z） 做完之后，觀察以上算式及運算結果，你能發現什么規律？再舉兩個例子驗證你的發現 【學生活動】分四人小組，合作學習，獲得以下結果： （1）（x+2）（x2）=x24； （2）（1+3a）（13a）=19a2； （3）（x+5y）（x5y）=x225y2； （4）（y+3z）（y3z）=y29z2 【教師活動】請一位學生上臺演示，然后引導學生仔細觀察以上算式及其運算結果，尋找規律【學生活動】討論 【教師引導】剛才同學們從上述算式中找到了這一組整式乘法的結果的規律，這些是一類特殊的多項式相乘，那么如何用字母來表現剛才同學們所歸納出來的特殊多項式相乘的規律呢？ 【學生回答】可以用（a+b）（ab）表示左邊，那么右邊就可以表示成a2b2了，即（a+b）（ab）=a2b2 用語言描述就是：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差 【教師活動】表揚學生的探索精神，引出課題平方差，并說明這是一個平方差公式和公式中的字母含義 二、范例學習，應用所學 【教師講述】 平方差公式的運用，關鍵是正確尋找公式中的a和b，只有正確找到a和b，一切就變得容易了現在大家來看看下面幾個例子，從中得到啟發 【例1】運用平方差公式計算： （1）（2x+3）（2x3）； （2）（b+3a）（3ab）； （3）（m+n）（mn） 填表：(a+b)(ab)aba2b2結果(2x+3)(2x3)2x(2x) 232(b+3a)(3ab)(m+n)(mn) 【例2】計算： （1）10397（2）（3xy）（3yx）（xy）（x+y）通過做題，應該總結出：在兩個因式中，符號相同的一項作a，符號不同的一項作b 三、隨堂練習，鞏固新知 課本P108練習第1、2題 四、課堂總結，發展潛能 本節課的內容是兩數和與這兩數差的積，公式指出了具有特殊關系的兩個二項式積的性質運用平方差公式應滿足兩點：一是找出公式中的第一個數a，第二個數b；二是兩數和乘以這兩數差，這也是判斷能否運用平方差公式的方法 五、布置作業，專題突破 課本P112第1、2題 板書設計14.2.1平方差公式（一）1、平方差公式 例：（a+b）（ab）=a2b2 練習： 教學反思運用平方差公式進行數的簡便運算的關鍵是根據數的形式特征，把相乘的兩數化成兩數和與兩數差的乘積形式。14.2.2 完全平方公式（二） 教學目標 1知識與技能 引導學生通過觀察、分析使他們掌握每一個乘法公式的結構特征及公式的含義，會正確地運用這些公式 2過程與方法 通過探索和理解乘法公式，感受乘法公式從一般到特殊的認知過程，拓展思維空間 3情感、態度與價值觀 培養良好的分析思想和與人合作的習慣，體會到數學算理的重要價值 重、難點與關鍵 1重點：正確應用乘法公式（平方差公式，完全平方公式） 2難點：對乘法公式的結構特征以及內涵的理解 3關鍵：對公式的結構特征進行具體的分析，從中感悟公式的特點并加以概括 教學方法 采用“精講精練”的教學方法，增強教學的有效性 教學過程 一、回顧交流，拓展延伸 【教師提問】 1請同學們說一說平方差公式與完全平方公式的內容 2這兩個公式有什么區別？如何使用？ 【學生活動】踴躍發言 平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2 完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2 這里的字母a、b可以是數、單項式、多項式 二、范例學習，拓展知識 【例1】計算（2a3b4）（2a+3b+4） 該題關鍵在于正確的分組，一般規律是：把完全相同的項分為一組，符合相反、絕對值相等的項分為另一組 【例2】例a=1，b=2時，求代數式（a+b）2+（ab）2（a22b2）的值 【例3】已知a+b=2，ab=15，求a2+b2的值 解：（a+b）2=a2+2ab+b2，變形后可有a2+b2=（a+b）22ab 把a+b=2，ab=15代入上式，則 a2+b2=（2）22（15）=34 三、隨堂練習，鞏固深化 【課堂演練】 演練題1：應用乘法公式計算：1995219941996 演練題2：已知a+b=6，ab=8，求（1）a2+b2；（2）（ab）2 四、課堂總結，發展潛能 1本節課應理解乘法公式是一種特殊形式的乘法，注意平方差公式與完全平方公式的區別 2在乘法計算中，能用公式簡便計算的應該使用公式，要注意公式的應用條件，記住公式的模樣，在此前提下對具體題目進行細致觀察，想辦法將題目調整或變形，使之能使用公式，當然，有些不能使用公式的整式乘法計算就只能運用一般的多項式乘法來進行了 五、布置作業，專題突破 課本P112第5、6、7題 板書設計14.2.2 完全平方公式（二）1、完全平方公式 例：（ab）2=a22ab+b2 練習： 教學反思 計算（3x+4y3z）2時應根據所學乘法公式括號里是兩項和或差的形式，這樣的平方才能用完全平方公式來解，此題若把4y3z結合成一組，看成一個整體，就可應用完全平方公式計算了14.2.2 完全平方公式（一） 教學目標 1知識與技能 會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的運算，形成推理能力 2過程與方法 利用多項式與多項式的乘法以及冪的意義，推導出完全平方公式掌握完全平方公式的計算方法 3情感、態度與價值觀 培養學生觀察、類比、發現