第十五章整式乘除與因式分解教材內容本章的主要內容是整式的乘除運算、乘法公式和因式分解。這些知識是以后學習分式和根式運算、函數知識的基礎，也是學習物理、化學等學科不可或缺的數學工具。冪的運算性質，即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是學習整式乘法的基礎，作為它的直接應用，接著安排了單項式乘法，在此基礎上，引進單項式與多項式及多項式與多項式的乘法。這樣安排從簡到繁，由易到難，層層遞進。乘法公式是在學習整式乘法基礎上得到的。教材安排了三個多項式乘法的計算，通過總結它們的共同點，把它們作為公式，即平方差公式。接著用類似的方式引進了乘法的完全平方公式，之后，適時引進添括號法則，以滿足整式運算的需要。同底數冪的除法是學習整式除法的基礎，教材首先介紹同底數冪的除法性質，接著根據乘、除互為逆運算的關系，并以分配律、同底數冪的除法為依據，由計算具體的實例得到單項式除法的法則。多項式除以單項式的基本點就是把多項式除以單項式轉化為單項式除法。從整式乘法與因式分解的關系認識因式分解的概念，同時從整式乘法與因式分解的關系介紹了因式分解的基本方法，即提公因式法和公式法。這些內容是多項式因式分解中一部分最基本的知識和基本方法。教學目標知識與技能1、使學生掌握正整數冪的乘、除運算性質，能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行運算。使學生掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。2、使學生會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。3、使學生掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。4、使學生理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形，掌握提公因式法和運用公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。過程與方法通過由特殊到一般的猜想與說理驗證，培養學生一定的說理能力和歸納表達能力；重視學生對算理的理解，有意識地培養學生條理性和表達能力；在探索因式分解方法的過程中，學會逆向思維，滲透化歸的思想方法。情感與態度讓學生主動參與到探索過程中去，逐步形成獨立思考、主動探索的習慣；在計算過程中發現規律，并能用符號表示，從而體會數學的簡潔美；在靈活運用公式的過程中，提倡多樣化算法，激發學生學習數學的興趣，培養創新能力和探索精神。重點難點整式的乘除法，乘法公式及因式分解的兩種方法是重點；靈活的運用乘法公式，添括號法則和靈活地運用公式法分解因式是難點。課時安排151整式的乘法 4課時152乘法公式 3課時153整式的除法 3課時154因式分解 3課時本章小結 2課時15.1同底數的冪相乘教學目標 1、理解同底數冪的乘法法則，掌握其公式的運用；2、通過由特殊到一般的推導過程，培養學生的猜想、歸納和表達能力。重點難點同底數冪的乘法公式及其運用是重點；理解同底數冪的乘法公式是難點。 教學過程一、情景導入一種電子計算機每秒可進行1012次運算，它工作103秒可進行多少次運算？可進行1014103次運算.如何計算1012103呢？根據乘方的意義可知1014103（1010）（101010）14個10（101010）101717個10容易知道1012103是同底數的冪相乘。上面的計算有沒有規律呢？二、同底數冪的乘法法則探究：根據乘方的意義填空：（1）25222（ ）； （2）a3a2a（ ）； （3）5m5n5（ ）（m、n都是正整數）。你發現了什么？這三個式子都是同底數的冪相乘；相乘結果的底數與原來底數相同，指數是原來兩個冪的指數的和一般地，對于任意底數a與任意正整數m、n，aman的冪是多少呢？aman（aaa）（aaa）= aaa =am+nm個an個am+n個a因此，我們有aman=am+n(m、n都是正整數)用語言敘述是：同底數冪相乘，底數不變，指數相加. 三、例題例1 計算： （1）x2x5 （2）aa6 （3）22423 （4）xmx3m+1 分析：式子表示什么運算？結果是多少？ 解：（1）x2x5=x2+5=x7 （2）aa6=a1a6=a1+6=a7 （3）22423=21+423=2523=25+3=28 （4）xmx3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1 注意：aa1。指數1一般省略不寫。例2 計算（1）amanap; （2）a(-a)3; (3)273n; (4)(a-b)2(a-b)3.分析：式子可以看成什么運算？結果是多少？解：（1） amanap=（aman）ap =am+nap=am+n+p； （2）a(-a)3(-a)13(-a)4a4；或a(-a)3aa3a4； (3)273n333n233n； (4)(a-b)2(a-b)3(a-b)23(a-b)5. 反思：要注意有些形式上不是同底數冪的乘法可以轉化為同底數冪的乘法來計算；（1）的結果說明了什么？四、課堂練習課本142面練習（1）（4）題。五、課堂小結這節課我們學習了一些什么知識？探討了同底數冪的運算法則；運用同底數冪的運算法則進行計算。運用同底數冪的運算法則進行計算時要注意：必須是同底數的冪才能相乘；結果是底數不變，指數相加.作業：149面8題。15.23 冪的乘方和積的乘方教學目標 經歷探索冪的乘方與積的乘方運算性質的過程，理解和掌握冪的乘方和積的乘方法則，并會運用它們進行熟練的計算。重點難點 冪的乘方和積的乘方的計算是重點；正確地運用冪的乘方和積的乘方法則是難點。 教學過程一、復習導入根據冪的意義填空：（1）32表示_個_相乘；（2）(32)3表示_個_相乘；（3）a2表示_個_相乘；（4）(a2)3表示_個_相乘；（5）am表示 個 相乘；（6）（am）3表示 個 相乘。式子(32)3、(a2)3、（am）3有什么共同特點？都是冪的乘方.二、冪的乘方（一）冪的乘方法則探究1 根據乘方的意義填空：（1）（32）3=323232=3（ ）； （2）（a2）3=a2a2a2=a（ ）； （3）（am）3=amamam=a（ ）.從計算中你發現了什么？冪的乘方的結果是底數沒有變，指數相乘。（am）n等于什么？（am）n =amamam= am+m+m=amnn個amn個m即 （am）n =amn(m、n是正整數).上面的結論用語言表達是：冪的乘方,底數不變,指數相乘。（二）例題例1 計算：（1）（103）5；（2）（a4）4; （3）（am）2; （4）（x4）3.分析：式子表示什么意義？結果是多少？理由是什么？解：（1）（103）510351015；（2）（a4）4a44a16；（3）（am）210m2a2m；（4）（x4）3x43x12.三、積的乘方（一）積的乘方法則探究2 填空： （1）（ab）2=（ab）（ab）=（aa）（bb）=a( )b( )； （2）（ab）3=_=_=a( )b( ) （3）（ab）n=_=_=a( )b( )（n是正整數）（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么運算？從上面的計算中你發現了什么規律？積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘用符號語言表達是：anbn=（ab）n（n為正整數）（二）例題例2 計算：（1）（2a）3； （2）（-5b）3 ；（3）（xy2）2 ； （4）（-2x3）4。分析：式子表示什么意義？由積的乘方法則可得到什么？解：（1）（2a）3=23a3=8a3 （2）（-5b）3=（-5）3b3=-125b3 （3）（xy2）2=x2（y2）2=x2y22=x2y4=x2y4 （4）（-2x3）4=（-2）4（x3）4=16x34=16x12四、課堂練習課本143面練習；144面練習。五、課堂小結這節課學習了什么內容？1、冪的乘方法則是什么？用符號怎么表達？2、積的乘方法則是什么？用符號怎么表達？3、冪的乘方與積的乘方的計算。在計算過程中，要注意同底數的冪相乘、冪的乘方和積的乘方的區別，以免混淆出錯。作業：課本148面1、2。15.1 整式的乘法（一）教學目標探索并了解單項式與單項式、單項式與多項式相乘的法則，并會運用它們進行計算重點難點 單項式與單項式、單項式與多項式的乘法是重點；單項式與多項式相乘去括號法則的應用是難點。教學過程一、情景導入光的速度約為3105千米/秒，太陽光照射到地球上需要的時間大約是5102秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎?地球與太陽的距離約為(3105)(5102)千米怎樣計算(3105)(5102)呢？二、單項式與單項式相乘（一）單項式乘法法則根據乘法的交換律和結合律有(3105)(5102)=(35)(105102)=15107.思考：如果將上式中的數字改為字母，比如ac5bc2，這是什么運算？怎樣計算這個式子呢?ac5bc2=(ac5)(bc2)=(ab)(c5c2)（乘法交換律和結合律）=abc5+2（同底數的冪相乘）=abc7類似地，請你試著計算： (-5a2b3)(4b2c)上面都是單項式乘以單項式，總結一下，怎樣進行單項式乘法？單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式（二）例1計算：（1）（5a2b）（3a）；（2）（2x）3（5xy2）。分析：（1）、（2）是什么運算？怎樣進行這樣的計算？解：（1）（5a2b）（3a）=（-5）（-3）（a2a）b =15a3b。（2）（2x）3（5xy2）=8 x3（-5）xy2 =8 （-5）（x3x）y2 = -40x4y2注意：系數相乘時要注意積的符號；先乘方再相乘。思考：課本145面練習2題。三、單項式與多項式相乘（一）單項式乘多項式法則看下面的問題：三家連鎖店以相同的價格m（單位：元/瓶）銷售某種新商品，它們在一個月內的銷售量（單位：瓶）分別是a、b、c，你能用不同的方法計算它們在這個月內銷售這種商品的總收入嗎？方法一：先分別求三家連鎖店的收入，總收入為ma+mb+mc。方法二：先求三家連鎖店的總銷量，總收入為m（a+b+c）。顯然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。從運算的角度來說，這個式子表示什么？它有什么特點？這個式子表示乘法分配律；這個式子左邊是單項式乘以多項式，右邊是單項式的和。請你試著計算：2a2（3a25b）。從上面解決的兩個問題中，總結一下，怎樣將單項式與多項式相乘？單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加容易知道，單項式與多項式相乘就是乘法分配律的運用。（二）例2 計算：（1）（4x2）（3x+1）； （2）（2/3ab22ab）1/2ab。分析：從運算的角度看，這個式子表示什么？怎樣進行這樣的計算？解：（1）（4x2）（3x+1）=（4x2）3x+（4x2）1 =12x34x2。（2）（2/3ab22ab）1/2ab=2/3ab21/2ab2ab1/2ab=1/3a2b3a2b2。注意：去括號時要注意符號。四、課堂練習課本145面練習1題；146練習1、2題。五、課堂小結這節課我們學習了什么內容？1、單項式的乘法法則及其運用；2、多項式的乘法法則及其運用。作業：149面3、4、6、9題。第十五章第一階段復習（15.14）一、雙基回顧1、同底數冪的乘法法則：aman=am+n(m，n都是正整數).同底數冪相乘，底數不變，指數相加.注意：同底數冪的乘法法則可以推廣，即aman ap =am+n+p(m，n，p都是正整數)；同底數冪的乘法法則可以逆用，即am+n= aman。1計算：-x2（-x）3= ；（a-b）（b-a）2= 。2、冪的乘方：(am)n=amn(m，n都是正整數).冪的乘方，底數不變，指數相乘.注意：冪的乘方法則可以逆用，即amn=(am)n。2計算：（a3）4= ；（a2）n= ；36=（32）（ ）；a3m=（am）（ ）。3、積的乘方：(ab)n=anbn(n為正整數).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.注意：積的乘方法則可以推廣，即：(abc)n=anbncn；冪的乘方法則可以逆用，即anbn=(ab)n。3計算：（-ab2）5= ；(1/2)10210= 。4、單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.4計算：1/2 x2y（-4x3y2）5、單項式與多項式相乘的乘法法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.注意：單項式與多項式相乘，其實質就是乘法分配律的應用.5計算：-2x(x2-3x+2)二、例題導引例1計算：(-3)2004(1/3)2005.例2 若 求的值。例3計算：(-2a2)(3ab2-5ab3).例4解不等式：x2+x(3-2x)2.三、練習提高夯實基礎1、下列運算中，正確的是( )A.x2x3=x6 B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2 D.（x）= x52、yy2my2m+1 = .3、計算：(-xy) 5 = 4.計算(a3)2+a2a4的結果為( )A.2a9 B.2a6C.a6+a8 D.a125、（-0.25）13413= .6、計算：4x2(-2xy)= ； (4106)(8103) = 。7、下列計算錯誤的是( )A.- a(-a)2=a3B. a2(-a)2=a4C.(- a)3a2=-a5 D.- a3(-a)3=a68、已知am=2，an=3，則am+n= .9、如果xn-4xn=x2，那么n等于( )A.2 B.3 C.4 D.510、計算：（1）(-x)3(-y)2-(-x3y2) （2）(1.1105)2(2.2103)(3) -2a2b（3a2b）4 （4）(-x2y)3(-3xy2)211、計算：（4/9x2y-4x2y）（-1/4xy） 12、求值：x(x-1)-x(x+x-1)，其中x=。鞏固提高13、計算：(-2)2006+(-2)2007所得的解為（ ）A、2 B、-2 C、-22006 D、2200614、若（ambn）2=a8b6，則m= ，n= 。15、化簡a（b-c）-b（c-a）+c（a-b）的結果是（ ）A、2ab+2bc+2ac B、2ab-2bc C、2ab D、-2bc16、如果一個三角形的底邊長為2x2y + xy - y2，高為6xy，則這個三角形的面積是 。17、用邊長為 1cm 的小正方形搭如下的塔狀圖形，則第 n 次所搭圖形的周長是cm。（用含 n 的代數式表示）第1次第2次第3次第4次18、計算：（1）3ab2（-1/3a2b）2abc； (2) （a-b）（a-b）2（b-a）3；（3）2445(-0.125)4； （4）（-3/2xy）（2/3x2y-4xy2+4/3y）。19、解方程：3x（7-x）=18-（3x-15）x20、已知2x-3=0，求代數式x（x2-x）+x2（5-x）-9的值。21、若n為自然數，試說明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍數.22、已知2x=a，2y=b，求2x+y+23x+2y的值.探索創新23、若2x+5y-4=0，則4x32y的值是多少？24、閱讀下面解題過程，試比較2100與375的大小。解：因為2100=（24）25，375=（33）25，又因為24=16，33=27，且1627，所以，2100375。請根據上述解答，比較355、444、533的大小. 15.1 整式的乘法（二）教學目標 探索并了解多項式與多項式相乘的法則，會運用它們進行計算重點難點 多項式與多項式相乘是重點；去括號時符號的確定是難點。教學過程一、直接導入前面我們學習了單項式乘以單項式，單項式乘以多項式，那么怎樣進行多項式與多項式的乘法呢？二、多項式乘多項式的法則為了擴大街心花園的綠地面積，把一塊長a米，寬m米的長方形綠地增長b米，加寬n米，你能用幾種方法求出擴大后的綠地的面積？ 方法一：由長乘寬得，綠地的面積為(a+b)(m+n)米2方法二：由四小塊的面積相加得，綠地的面積為(am+an+bm+bn)米2 因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 這個等式的右邊是怎樣從左邊得到的呢？仔細地觀察，我們可以發現：(a+b)(m+n)的結果可以看作由a+b中的每一項乘m+n中的每一項，再把所得的積相加而得到的。即(a+b)(m+n)= =am+an+bm+bn。根據上面的分析，請你總結多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加三、例題例1計算：（1）（3x+1）（x+2）； （2）（x-8）（x-y）；（3）（x+y）（x2-xy+y2）。分析：這是什么運算？怎樣進行這樣的運算？解：（1）（3x+1）（x+2）=3xx+3x2+1x+12 =3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2（2）（x-8）（x-y）=xxxy8xy+8y2=x29xy+8y2。（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3x2y+xy2+x2y- xy2 +y3 =x3 +y3。 注意：去括號時要注意符號的變化。四、課堂練習課本148面練習1、2。五、課堂小結這節課我們學習了多項式與多項式相乘，在計算的過程中要準確地運用法則，注意去括號時符號的變化。作業：課本149面5、7、10題；150面12題。選做150面11題。15.2.1平方差公式教學目標1、經歷探索平方差公式的過程，會驗證平方差公式； 2、明確平方差公式的結構特征，并能正確地運用公式進行計算重點難點平方差公式及其應用是重點；平方差公式的結構特點及靈活運用是難點。教學過程一、情景導入前面我們學習了多項式與多項式的乘法,回憶一下,怎樣進行多項式與多項式的乘法?計算下列多項式的積： （1）（x+1）（x-1）;（2）（m+2）（m-2）; （3）（2x+1）（2x-1）;（4）（x+5y）（x-5y）.觀察上述算式，它們有什么特征？它們都是兩個數的和與差的積。解:（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-22=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y）=x2+5yx-x5y-（5y）2=x2-（5y）2二、平方差公式看看計算的結果，你發現了什么規律？兩個數的和與差的積等于這兩個數的平方差。你用字母表示上述規律嗎？（a+b）（a-b）=a2-b2事實上，（a+b）（a-b）= a2ab+abb2= a2-b2我們還可以用下面的圖來驗證。從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形，如圖1；把陰影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到圖2，請你用圖1、圖2進行說明。aabbbaa-b圖1圖2圖1的面積是a2-b2，圖2的面積是（a+b）（a-b）。因此，（a+b）（a-b）=a2-b2我們稱它為平方差公式。注意：公式的左邊是兩個二項式相乘，其中有一項完全相同，另一項互為相反數；公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。三、例題例1運用平方差公式計算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y）分析：這些式子有什么特點？相當于平方差公式中a、b的是什么？套用公式的結果是什么？解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 = 9x 2-4 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2 -b2= 4a2-b2 （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2 = x2-4y2反思：套用公式的結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方。例2 計算： （1）10298 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）分析：（1）能夠運用平方差公式計算嗎？怎樣變形呢？（2）這個式子有什么特點？解：（1）10298=（100+2）（100-2）=1002-22 =10000-4 =9996 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1反思：對（2）題，你還有其它的變形方式嗎？（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）= y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。運用平方差公式，有時要進行適當的變形。四、課堂練習課本153面練習1、2題。五、課堂小結1、平方差公式是怎樣的？用語言怎么敘述？2、運用平方差公式要注意些什么？要明確公式的特點；公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）；有時要進行適當的變形。作業：課本156面1題。15.2.2完全平方公式（一）教學目標理解完全平方公式的特征，了解公式的幾何背景，會運用公式進行簡單的計算。 重點難點完全平方公式及其應用是重點；完全平方公式的結構特征及靈活運用是難點。教學過程一、情景導入 請用兩種方法計算下面圖形的面積，你發現了什么？ 由圖（1）得（a+b）2= a2+ab+b2，由圖（2）得（a-b）2 = a2-2ab+b2。 類似這樣的等式在整式乘法中經常遇到，它有沒有特殊的意義呢？二、完全平方公式 計算下列各式： （1）（p+1）2 =（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2 =_； （3）（p-1）2 =（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2 =_.這些式子有什么特征？它們都是兩數和或差的平方。（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2-2p+1；（4）m2-4m+4。仔細觀察一下，看看式子與結果之間有什么關系？兩數和（或差）的平方等于這兩數的平方和再加（或減）它們的積的2倍上述結論用字母怎么表示？（a+b）2= a2+ab+b2 （a-b）2 = a2-2ab+b2。這與我們開始從圖中發現的結論是一樣的。我們來計算一下：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2； （a-b）2 =（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2.這兩個等式叫做完全平方公式。三、例題例1運用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y1/2）2分析：式子有什么特征？相當于公式中的a、b分別是什么？套用公式的結果是什么？解：（1）（4m+n）2 =（4m）2 +24mn+n2 =16m2+8mn+n2 （2）（y1/2）2 =y 2 2y1/2+（1/2）2 =y2-y+1/4 注意：公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）；套用公式的結果是三項。思考：（b-a）2與（a-b）2 是否相等？（-a-b）2 與（a+b）2是否相等？為什么？例2 運用完全平方公式計算： （1）1022 （2）992分析：怎么變形可使計算簡便？套用公式的結果是什么？解：（1）1022=（100+2）2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-21001+12 =10000-200+1 =9801四、課堂練習課本155面2、1題。五、課堂小結這節課學習了完全平方公式。1、完全平方公式是怎樣的？用文字語言怎么敘述？2、運用完全平方公式要注意什么？要明確公式的特征；公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）；套用公式的結果是三項，要與平方差公式區分開來。作業：課本156面2題；4、6題。15.2.2完全平方公式（二）教學目標 進一步明確完全平方公式的結構特征，掌握添括號法則，利用添括號法則靈活運用完全平方公式重點難點 用添括號法則靈活運用完全平方公式是重點；添括號法則的運用是難點。教學過程一、復習導入 前面我們學習了去括號法則，回憶一下，什么是去括號法則？根據去括號法則填空： （1）a+（b+c）= ； （2）a-（b-c）= 。 運用乘法公式計算，有時要在式子中添括號，怎么辦呢？ 二、添括號法則 把上面的式子反過來就得到添括號法則：（1）a+b+c= a +（b+c）； （2）a-b+c= a -（b-c） 用語言表達為： 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號思考：判斷下列運算是否正確： （1）2a-b-c/2=2a-（b- c/2） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2= -（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）三、例題例1運用乘法公式計算 （1）（a+b+c）2 （2）（x+2y-3）（x-2y+3）分析：式子可以直接運用乘法公式計算嗎？可以作怎樣的變形？根據添括號法則試一試。解：（1）（a+b+c）2 =a+（b+c）2= a2+2a（b+c）+（b+c）2= a2+2ab+2a c+b2+2bc+c2= a2+b2+c2+2ab+2abc +2ca。（2）（x+2y-3）（x-2y+3）=x+（2y-3） x-（2y -3） =x2 -（2y -3）2= x2 -（4y2 -12y+9）= x2 -4y2 +12y -9。反思：想一想，還可以怎樣變形？例2 解方程：（x+4）2（x+4）（x4）=0分析：這個方程有什么特點？可以怎樣化簡？解：原方程變為x2+8x+16（x216）=0x2+8x+16x2+16=08x+32=0x=-4反思：解方程和不等式時，恰當地運用乘法公式可以使運算簡便。四、課堂練習課本156面1、2題。五、課堂小結這節課你有什么收獲？1、知道了添括號法則；2、有些看上去比較復雜的式子，經過適當的變形（比如添括號）也可以運用乘法公式計算。3、解方程和不等式時，恰當地運用乘法公式可以使運算簡便。作業：課本156面3題；157面5、8題。第十五章第二階段復習（15.1.4-15.2-2）一、雙基回顧1、多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。特殊地，（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x+ab1用兩種方法計算：（x4）（x+1），看看結果怎么樣？2、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。兩個數的和與這兩個數的積，等于這兩個數的平方差。注意：公式的左邊是兩個二項式相乘，其中有一項完全相同，另一項互為相反數；公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。2下列式子能用平方差公式計算嗎？為什么？（x-2y）（x+2y）；（-x+2y）（x+2y）；（-x+2y）（x-2y）；（-x-2y）（x-2y）。3、完全平方公式：（ab）2= a2ab+b2。兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們積的2倍。注意：要認清公式的特點；公式中的a、b可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。3判斷下列計算是否正確，如果錯了，指出錯的地方。（1）（a-b）2=a2-b2；（2）（-a+b）2=a2+2ab+b2；（3）（-a-b）2=a2+2ab+b2；（4）（a+1/2）2=a2+ab+1/4；（5）（a-2b）2=a2-2ab+4b2。 4、完全平方公式的變形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab；（2）a2+b2=（a-b）2+2ab； （3）ab=1/4（a+b）2-（a-b）2。注意：在變形公式中，已知ab，a2+b2，ab中任意兩個的值，可以求出第三個的值或者已知其中任意兩種形式可以變出第三種形式。5、添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不改變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.注意：添括號法則與去括號法則是相反方向的變形，添括號正確與否，可用去括號進行檢驗.5填空： (a2b+3c)=a+( )= a( )。二、例題導引例1計算： (1) (a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)(x+2y-3)(x-2y+3)；（3）19982-19971999。例2 先化簡，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x-1）-（2x-1）2，其中x=-1/3。例3 已知a+b=3，ab=2，求(a-b)2的值。三、練習提高夯實基礎1、下列計算結果是x2-5x-6的是（ ）A、（x-2）（x-3） B、（x-6）（x+1）C、（x-2）（x+3） D、（x-3）（x+2）2、下列添括號正確的是( )A. 2y2-3x-y+3z=2y2-(3x-y+3z) B. 9x2-y+5z+4=9x2-y-(5z+4)C. 4x-6y-5z+1=4x+-6y+(5z-1) D. -9x-2y-z-4=-(9x+2y)+(z+4)3、填空：（3x+y）（x-2y）= ；(2x-3) =4x2-9。4、下列各式中，能用平方差公式的是( )A、（-a+b）（a+b） B、（x+2y）（-x-2y）C、（2x-y）（y-2x） D、（2a+3b）（3a-2b）5、（ +a）2=4b2+ + 。6、一個長方形的長是2a+6b，寬是4a-5b，這個長方形的面積是 。7、若x2+4x+a=(x+2)2-1成立，則a的值為( )A.5 B.4 C.3 D.28、計算：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (2)（a+2）（a-2）+a（4-a）；(3) (x+2y)(x-y)-(x+y)2； (4) (3x-4y)2-(3x+y)2。9、化簡求值：（x+3）2+（x+2）（x-2）-2x2，其中x=-1/3。10、解不等式：(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3).能力提高11、99101=( )( )= ；1022= 。12、如果(x-2)(x-3)=x2+px+q，那么p，q的值是( )A.p=-5，q=6 B.p=1，q=-6C.p=1，q=6D.p=5，q=-613、要使等式（x-y）2+M=（x+y）2成立，代數式M應是（ ）A2xy B4xy C4xy D 2xy14、對于任意的整數n，能整除代數式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整數是( )A.4B.3C.5D.215、計算：（1）(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3) （2）(x+2)(x-2)(x2+4)（3）（x-2y+3）2；（4）（a-2b）2-2（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2.16、A玉米試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米試驗田是邊長為（a-1）米的正方形，兩塊試驗田的玉米都收獲了500千克，哪種玉米的單位面積產量高？17、已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值.探索創新18、若(3x2-2x+1)(x+b)中不含x2項，求b的值.19、計算(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1). 15.3.1同底數冪的除法教學目標 1、理解同底數冪的除法法則和零指數冪的意義；2、會運用同底數冪的除法法則進行計算。重點難點 運用同底數冪的除法法則進行計算是重點；理解同底數冪的除法法則和零指數冪的意義是難點。教學過程一、情景導入 一種數碼照片文件的大小是28K，一個存儲量為26M（1M=210K）的移動存儲器能存儲多少張這樣的數碼照片？ 這個移動存儲器的容量為26210=216K，所以它能存儲這種數碼照片的數量為21628 216、28是同底數冪，同底數冪相除如何計算呢？二、同底數冪的除法法則（222）（222）16個28個2=222=28。8個2根據乘法與除法的互逆關系，求21628，即求一個數使它與28的積是216，這個數是什么？另一方面，21628 = 即21628=28探究：根據除法的意義填空：（1）5553=5（ 2 ）； （2）109102=10（ 7 ）； （3）a7a3= a（ 4 ）。仔細觀察一下，你發現了什么規律？上面的計算中底數和指數有沒有變化？底數沒有變，被除數的指數減去除數的指數等于商的指數。這就是說：同底數冪相除，底數不變，指數相減你能用字母表示嗎？aman=amn（a0，m、n都是正整數，并且mn。） 下面來驗證這個結論是正確的。am-nan=am-n+n=am aman=am-n思考：為什么這里要規定a0？三、例題例 計算： （1）x8x 2 （2）a4a （3）（ab）5（ab）2分析：式子是什么運算？怎樣進行同底數冪的運算？結果是什么？解：（1）x8x2=x8-2=x6（2）a4a=a4-1=a3（3）（ab）5（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3注意：公式中的a可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。思考：課本160面練習3題。四、零指數冪的意義探究：根據除法的意義填空：（1）3232=（ 30 ）（2）103103=（ 100 ）（3）aman=（ a0 ）（a0）你發現了什么？任何不等于0的數的0次冪都等于1于是規定： a0=1（a0）。這樣，同底數冪的除法的運算法則就可以擴展到： aman=am-n（a0，m、n都是正整數，且mn）五、課堂練習課本160面1、2。六、課堂小結這節課你學習了哪些知識？1、同底數冪的乘法法則是什么？用字母怎么表示？2、零指數冪的意義是什么？00沒有意義。3、同底數冪的乘法運算。作業：課本164面1、5題。15.3.2整式的除法（一）教學目標經歷探索單項式除以單項式運算法則的過程，理解單項式與單項式相除的算理，會進行單項式與單項式的除法運算 重點難點單項式除以單項式的運算法則及其運用是重點；探索單項式與單項式相除的運算法則是難點。教學過程一、情景導入 木星的質量約是1901024噸地球的質量約是5.081021噸。你知道木星的質量約為地球質量的多少倍嗎？木星的質量約為地球質量的（1.901024）（5.981021）倍計算（1.901024）（5.981021）就是要求一個數，使它與5.981021的乘積等于1.901024。（5.981021）（95/299 103）=1.901024 （1.901024）（5.981021）=95/2991033177.把上面的數字換成字母該怎么計算呢？二、單項式相除的法則討論：利用乘除法的互逆關系計算下列各式：（1）8a32a；（2）5x3y3xy；（3）12a3b2x33ab2解答：（1）2a（4a2）=8a3， 8a32a=4a2；（2）3xy（2x2）=6x3y， 6x3y3xy=2x2；（3）3ab2（4a2x3）=12a3b2x3 ， 12a3b2x33ab2=4a2x3這三個式子是什么運算？都是單項式除以單項式。從系數和字母兩個方面觀察，運算結果與原式有什么關系？運算結果都是系數與系數相除，同底數冪與同底數冪相除，結果都作為商的因式，其余的也作為商的因式。也就是：單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式三、例題例 計算： （1）28x4y27x3y； （2）-5a5b3c15a4b；（3）5（2a+b）4（2a+b）2。分析：這是什么運算？怎樣進行這樣的運算？結果是什么？解：（1）28x4y27x3y =（287）x4-3y2-1 =4xy（2）-5a5b3c15a4b =（-515）a5-4b3-1c =-1/3ab2c（3）5（2a+b）7（2a+b）3 =（51）（2a+b）7-3 =5（2a+b）4注意：28x4y27x3y就是（28x4y2）（7x3y），括號通常省略。四、課堂練習課本162面練習1、2題。五、課堂小結這節課我們探索了單頂式相除的法則，并進行了單項式與單項式的除法運算，你有些什么體會呢？作業：課本164面2、4題。15.3.2整式的除法（二）教學目標理解多項式除以單項式的法則,會進行多項式除以單項式的運算.重點難點 多項式除以單項式的運算是重點;準確地進行多項式除以單項式的運算是難點.教學過程一、問題導入