22 3實際問題與二次函數 第一課時 人教版 九年級數學 上冊 德新初中錢華2014年10月17日 在實際應用中體會二次函數作為一種數學模型的作用 會利用二次函數的性質求實際問題中的最大或最小值 體會體驗數學在生活實際中的廣泛應用性 提高數學思維能力 重點 利用二次函數的性質求實際問題中的最大或最小值 難點 建立適當的二次函數模型解決問題 尤其是如何建立適當的坐標系用于解決數學問題 易錯點 自變量取值范圍的在答案中的校驗問題易忽略 知識回顧 自主探究 用總長為60m的籬笆圍成矩形場地 矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化 當l是多少米時 場地的面積S最大 l S 面積最值問題的求法 1 設圖形的一邊長為自變量 所求面積為因變量 建立二次函數模型 利用二次函數有關知識求得最值 要注意函數自變量的取值范圍 練習 如圖 在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆 圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃 設花圃的寬AB為x米 面積為S平方米 1 求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍 2 當x取何值時所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長度為8米 則求圍成花圃的最大面積 探索 某商品現在的售價為每件60元 每星期可賣出300件 市場調查反映 如調整價格 每漲價1元 每星期要少賣出10件 每降價1元 每星期可多出20件 已知商品的進價為40元 件 如何定價才能使利潤最大 解 1 設每件商品漲價x元 漲價后每星期的利潤為y元 則 即 y 10 x2 100 x 6000 其中 所以 當x 時 y最大 即當漲價 元時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 10 x 5 2 6250 問題1 漲價后的每件商品利潤如何表示 60 x 40 300 10 x y 問題2 漲價后的每周能夠銷售商品的件數如何表示 利潤總值 單個商品利潤 商品數量利潤總值 銷售總額 商品總成本 0 x 30 探索 某商品現在的售價為每件60元 每星期可賣出300件 市場調查反映 如調整價格 每漲價1元 每星期要少賣出10件 每降價1元 每星期可多出20件 已知商品的進價為40元 件 如何定價才能使利潤最大 解 1 設每件商品漲價x元 漲價后每星期的利潤為y元 則 即 y 10 x2 100 x 6000 其中 所以 當x 時 y最大 即當漲價 元時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 10 x 5 2 6250 60 x 40 300 10 x y 0 x 30 5 5 6250 探索 某商品現在的售價為每件60元 每星期可賣出300件 市場調查反映 如調整價格 每漲價1元 每星期要少賣出10件 每降價1元 每星期可多出20件 已知商品的進價為40元 件 如何定價才能使利潤最大 解 1 設每件商品漲價x元 漲價后每星期的利潤為y元 則 y 60 x 40 300 10 x 即 y 10 x2 100 x 6000 其中 0 x 30 所以 當x 時 y最大 即當漲價 元時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 10 x 5 2 6250 2 設每件商品降價x元 降價后每星期的利潤為y元 則 y 60 x 40 300 20 x 即 y 20 x2 700 x 6000 其中 0 x 20 所以 當x 時 y最大 即當 時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 20 x 17 5 2 125 6000 20 O 0 6000 不降價 探索 某商品現在的售價為每件60元 每星期可賣出300件 市場調查反映 如調整價格 每漲價1元 每星期要少賣出10件 每降價1元 每星期可多出20件 已知商品的進價為40元 件 如何定價才能使利潤最大 解 1 設每件商品漲價x元 漲價后每星期的利潤為y元 則 即 y 10 x2 100 x 6000 其中 所以 當x 時 y最大 即當漲價 元時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 10 x 5 2 6250 60 x 40 300 10 x y 0 x 30 5 5 6250 2 設每件商品降價x元 降價后每星期的利潤為y元 則 y 60 x 40 300 20 x 即 y 20 x2 700 x 6000 其中 0 x 20 所以 當x 時 y最大 即當 時 利潤最大 此時利潤的最大值為 元 y 20 x 17 5 2 125 0 6000 不降價 綜上所述 應上調價格5元后將售價定為65元 將使得利潤最大 4m 2m 進階探索 如右圖所示 拋物線形拱橋 當拱頂離水面2m時 水面寬4m 若水面下降1m 水面寬度增加多少 4m 2m 進階探索 如右圖所示 拋物線形拱橋 當拱頂離水面2m時 水面寬4m 若水面下降1m 水面寬度增加多少 O B A C F E 解 建立如右圖所示平面直角坐標系 根據題意得 AC BC 2m OC 2m B 2 2 設拋物線解析式為 y ax2 B 2 2 在該函數圖像上 2 a 22 a 0 5 拋物線解析式為 y 0 5x2 根據題意知 當水面下降 米米后到 處時 F點的縱坐標為 可設 點坐標為 n 3 又 點 在拋物線上 0 5n2 n 舍去 EF n 水面下降1m時 水面寬度增加值 m 2m 2m 練習 如圖 在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆 圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃 設花圃的寬AB為x米 面積為S平方米 1 求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍 2 當x取何值時所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長度為8米 則求圍成花圃的最大面積