20032003 2004 學年第二學期高等數學期終試卷 2004 學年第二學期高等數學期終試卷 工科非電類專業 工科非電類專業 題 號 題 號 一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 總 分 總 分 得 分 得 分 一 填空題 一 填空題 每小題 3 分 共 18 分 每小題 3 分 共 18 分 1 2 1 0 lim x x x xe e 2 1 2 若 dx dy fe x y xf 1 arctan cos 2 則可導其中 cos 2 2 sin2 1 1 xf effx x 3 設 0 0 0 1 sin N x x x x xf 若導函數處連續在 0 xxf 的取值范圍是則 2 4 若 2 0 3 2 4 x dt t t xf 則 的單增區間為 xf 單減區間為 2 0 2 2 0 2 5 曲線的拐點是 x xey 2 2 2 e 6 微分方程 的通解為 044 yyy 二 單項選擇題 二 單項選擇題 每小題 4 分 共 16 分 每小題 4 分 共 16 分 1 設函數是由方程 則 xyy 確定xdte yx t 1 2 0 x dx dy A B C 1 ee 11 e D e2 2 曲線4 1 ln 2 x x xy的漸近線的條數為 A 1 B 2 C 3 D 0 學學 號號 姓姓 名名 1 3 微分方程xyy2cos34 的特解形式為 A B xAy2cos xAxy2cos C D xbxxAxy2sin2cos xAy2sin o y x x fy 4 設函數在定義域內可導 xf 的圖形如圖所示 則導 xfy 函數的圖形為 D D xfy o y x x fy o y x x fy o y x x fy o y x x fy A B C D 三 計算題三 計算題 每小題 6 分 共 36 分 每小題 6 分 共 36 分 1 計算積分 dx x x 2 3 2 1 arctan 解 Cxx x x xdx x x x dx x x x xddx x xx tan 4 1 tan 12 1 cos4 tan 1 tan 4 1 cos4 coscos4 1 cos 1 4 1 cos sin 3 4 2 4 4445 2 計算積分 dx x xx 5 cos sin 解 Cuuuuduuuuududuudx x xux cossinsinsinsincos 1 arctantan 2 3 2 2 2 1x x u C x x x x 22 1 1 arctan 1 另解 原式 dx x x x x x x x xd 2 3 2 22 1 arctan 1 1 arctan C x x x x 22 1 1 arctan 1 3 計算積分dxex x 2 0 2 3 解 2 0 2 0 2 0 2 0 32 0 2 2 1 2 1 2 1 2 dtetetdedttedxextx ttttx 則設 22 2 3 2 1 0 2 2 1 eee t 4 計算積分 0 cos2 x dx 解 令 tx tan 則 原式 3 0 3 arctan 3 2 3 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2 2 t dt t dt t t t 另解 原式 2 tan 3 2 tan 2 2 cos21 1 0 2 0 2 x d x dx x 3 0 3 2 tan arctan 3 2 3 2 tan 3 2 tan 1 1 3 2 0 2 xx d x 5 4 0 0 0 0 ffxxf且可導在連續設 xx dtduuft x t x sin lim 3 0 0 0 求 3 解 x xf x duufx x dtduuft xx dtduuft x x x x t x x t x 8 1 lim 4 lim lim sin lim 0 3 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 1 0 8 1 0 lim 8 1 0 f x fxf x 6 求微分方程的通解 0 2 2 22 dyyxxydx 四 8 分 四 8 分 求微分方程滿足條件 x xeyyy223 0 0 00 xx yy的特解 五 8 分 五 8 分 設平面圖形D由所確定 試求D繞直線xyxyx 2 22 與旋轉 2 x一周所生 成的旋轉體的體積 五 8 解 法一 21 VVV 1 0 22 1 0 2 1 0 2 2 1 12 2 11 2dyyydyydyy 0 x y y x 1 2 3 1 4 2 0 1 1 3 1 4 2 3 y 法二 V 1 0 1 0 22 1 0 2 2 22 2 2 2 2 2dxxxdxxxxdxxxxx 1 0 22 3 4 222 22 dxxxxxx 3 2 2 1 3 4 2 1 3 2 3 4 1 4 1 2 0 1 2 3 2 22 2 3 2 xx 六 六 7 分 分 4 設質量均勻分布的平面薄板由曲線C 所圍成 試求其質量m 軸與 2 5 2 2 x tty ttx 解 dttttdxydSdm 110 2 2 2 0 32 2 0 2 2 0 21019 110 2 dttttdttttdxym 3 44 440 3 152 0 2 2 5 3 19 243 ttt 七 七 7 分 分 設函數上有連續的二階導數 且 證明 至 少存在一點 使得 aaxf 在0 0 f aa 3 3 f a dxxf a a 0 x 2 y 值定理然后在積分 最后用介2 0 2 xfxfxf 解 22 2 1 0 2 1 0 0 xfxfxfxffxf Q 在 0 與 x 之間 dxxfdxxfxofdxxf a a a a a a 22 2 1 2 1 aaxMxfmmMaafCf 即 最小