論壇一：彰顯數學課堂的學科氣質蔡宏圣：我自己聽課的課堂感受是華應龍的課是氣勢磅礴。銀燕老師的課是淡雅悠長。徐斌校長的課是精致有品質，我們先請大家結合自己的課談談自己的想法。女士優先，先請施銀燕說說。施銀燕：數學應該是講道理的課。袁隆平先生說過，他最不喜歡數學，理由是最不講道理。老師說：負負得正。他問：為什么負負得正？老師說：沒有為什么，你只要記住負負得正就行了。所以他喜歡語文、化學、物理，卻獨獨不喜歡數學。其實我覺得數學是最講道理的，我在備這節課的時候就思考怎么講道理。怎么上？怎么做？原來上這節課的時候，一開始我們都習慣讓學生用很完整的話描述物體的位置，接著要求簡煉一點，例如不要說“從左往右和從上往下”，然后要求再簡練一點，例如只說3排2座，再簡煉，只說3和2，中間用逗號或者冒號或者斜杠等隔開，以體現學生的個性化思考。整個過程看似邏輯性很強，其實很不講道理。例如描述一個物體的位置：小明在第幾排？學生回答：在第3排。老師說：不完整，得說清是從哪里數的。學生回答：從左往右數是第3個。老師說：很完整，但不簡潔。看來簡潔不是道理，那道理在哪里？笛卡爾建立了坐標系，恩格斯說這是世界上最偉大的發明。怎么實現把數對與坐標系對應起來呢？蔡宏圣主任說過：有時我們尊重了數學，背叛了兒童。有一件事情讓我印象深刻。那時我兒子五歲，有一天他對我說：“媽媽，我知道人是哺乳動物，因為人小時候是吃媽媽的奶長大的。”我聽了很高興，因為他找到了本質的特征。我兒子接著說：“我是吃媽媽的奶長大的，我是哺乳動物；爸爸小時候是吃媽媽的奶長大的，爸爸小時候是哺乳動物；爸爸長大了不吃媽媽的奶了，所以爸爸現在是鳥類。”（大家大笑）看來數學不能離開兒童的現實。正是考慮了這一點，我想把坐標系變形象，一開始我把坐標系變兩把尺子，最后通過琢磨，把這個變成一套適合兒童的游戲規則。我就講這么多吧。蔡：下面的時間交給華應龍。華應龍：我非常感謝大家，笑容比掌聲更好，因為掌聲不發自內心，也是可以出來的，笑容不同，不發自內心是笑不出來的。剛才宏圣主任說的，認識分數單位沒有講我們原來一直講的單位“1”，我一句都沒有說，但我卻扣住了“單位”，所以我在會議資料上寫的是單位讓分數更好玩，當時是在參觀世博的時候，看世博那句話“城市，讓生活更美好”，我想到了“單位，讓分數更好玩”，就這樣。那為什么呢？我在資料上已經作了一些思考，我覺得單位“1”這個概念是可以不給的，我的思考其實就是一句話：“單位”是重要的，“1”是重要的，“單位1”是不重要的，大家同意嗎？呵呵，可能不一定同意，不用單位“1”行不行？我就說“整體”，我就說“1”，特別是“整體”這個詞，我們原來教分數應用題的時候都是這樣教的嘛，就是用單位“1”的量分率=分率對應的量，其它都不用說，那我也可以說“整體” 。我覺得現在我們的教學最主要的是有沒有抓住最本質，所以今天這節課，大家給我笑容也好，給我掌聲也好，其實就是這句話，什么是分數？先“分”后“數”就是分數。蔡：這個是最精彩的，把最深刻的道理講的通俗易懂就是最高的境界。不知道老師同意嗎？（一片掌聲）華：其實在上這節課前我也作了一些思考。為什么琢磨這個問題呢？糾結了好長時間，因為我試講完了以后，讓銀燕給我一些建議，她說覺得不喜歡，然后我就想，我上了一節課，連師妹都不喜歡，那對外就更沒有知音了，呵呵施：但是我實在是不明白，我到現在都不明白。蔡：她都不明白，難道我們還能不懂裝懂嗎？施：不明白就不明白。可能今天聽了一點會明白一點吧。華：當時我真的很糾結，我當時覺得很好，就跟我當時講圓的認識一樣，我覺得要認識一個東西要知道是什么？為什么？后來我又試了一個班，聽課老師也說不懂。回到辦公室，我躺在沙發上，就五分鐘的功夫，我突然想到：我講的這個分數，什么是分數？就悟出來了，就是先“分”后“數”的數，我今天的教學從頭到尾都是扣著“分”然后再來“數”。為什么要有分數？因為不好數了。為什么分數這么有價值呢？但身邊很少見到。所以我當時問量教室的長用什么單位？鉛筆的長用什么單位？一粒米的長用什么單位？所以前面的提問都是有用意的，后面有時間的話都可以朝花夕拾拿來用的。那如果到最后，我再追問為什么的時候我們就可以說出點內容了。為什么分數這么少見呢？其實是我們的規定把分數藏了起來。量一枝鉛筆8厘米，不用8厘米你怎么說？分一個西瓜要10秒鐘，不用秒還可以用什么？六分之一分鐘比說10秒更棒一些。為什么生活中的分數這么少見呢？把單位換了另外一種說法，百分之一米就換成了1厘米，8厘米其實是百分之八米。單位是什么？銀燕，你說說！施：我說了不明白還讓我說。張興華：我情不自禁地想說兩句。在沒看課之前，我已零零星星地聽到這節課的思路和出發點，我也不明白。今天我特別關注華應龍的課，我明白了。我想說兩點：任何概念的課不拘泥于嚴格的表達，這個概念的實質在于它的意義。在我們蘇教版教材三上三下都在點點滴滴地滲透著分數的學習，應該說經過三年級兩個回合的學習，孩子對分數的意義都有了一定的認識，在三到五年級的過渡中，學生隱隱知道平均分成幾份，在孩子原有的意義的理解上，是不是有嚴整的教學過程精心的設計？終于明白了這段話：不基于表達，要有意義。進了孩子的認知結構，對分數意義的理解就更深刻了。從單位這個角度切入教學，分就是分數的意義。“再”認識些什么？他的想法難能可貴，我聽明白了。蔡：在剛才應龍校長和他師傅談分數的時候有一個核心概念，華羅庚說數哪里來的，數是數出來的，量哪里來的，量是量出來的，當然也要有一定的標準，那個標準是什么？是我們人想出來的，所以華羅庚的兩句話可以合并成一句話，我們現在在數學上學到很多東西，都是數出來的，不夠的話怎么辦？有了米，一步步再引出千米、分米、厘米等。華：你的觀點我是認同的，我要說的是序，一開始是米，然后再往上往下。蔡：感謝華校長。讓我們明白在課堂里怎樣把數學學科氣質彰顯的更加明顯些，下面我們把時間交給徐老師。徐斌：很高興再次來到這里。記得三年前一起研討，今天再次研討，我會前就有不同的感覺。真正的研討才能深入。華老師的課從表面上看是顛覆了傳統的對分數意義的有關知識的認識，其實更深刻的明白了我們為什么要學分數。現在我來說說自己的課。從2004年起，從列表開始，我把六種策略分別上了N遍，有經驗的老師都會判斷哪一種最難上，最難上的就是一一列舉和畫圖。4種題型4種不同的類型，希望能引發大家對解決問題的策略的思考。剛才有人說：有的時候我們上的數學課尊重了數學，背叛了兒童。我想到另外一句：有的時候我我們遷就了兒童，偏離了數學。（大笑）這節課主要探索三個問題，如何產生對策略的需要？我需要列舉嗎？我什么時候要列舉？我怎樣才能不重復、不遺漏？通過學生過去的經驗，試圖嘗試再現認知結構。我在教學中一直思考：解決數學問題需要哪些策略？或許不止6種或許沒有6種。其實解決問題的策略有2類，一種是基本策略，如列表、畫圖。一種是特殊策略：如一一列舉，倒推，你知道了現在要求原來，這叫倒推。今天我在教學這種特殊策略的時候，怎樣發揮學生已有的策略？如何應用一些已經基本建構的策略解決已有的策略或者復雜的特殊的策略？教學過程中讓學生試一試，討論討論，讓學生根據順序找也出現重復了，有了這樣的經歷，對一一列舉的策略有了更深刻的認識。其次我想思考的是在課堂上如何幫助學生形成一種意識，意識是什么？意識是一種思想，所以又叫思想意識，正常的說，比知識重要的是方法，比方法重要的是思想。在解決問題策略的課堂上，培養學生的策略意識是我思考的，也是我在課堂上試圖逐步讓學生感悟的。我帶著這樣三個問題上這堂課的。上完這堂課當然有一些思考，我先希望能引起老師們的一些思考。具體的不再展開了。蔡：我非常贊同徐斌老師的想法，在追尋的道路上我們的對象的是兒童，我們要做的是尊重數學，尊重兒童。我們今天的交流還有一位嘉賓，他見多識廣。下面有請我們的楊主編。楊：非常榮幸有這樣一個機會來參加這么一個論壇，同時也非常的惶恐，因為我旁邊月亮、太陽太多了，我這顆小行星，都有點不敢說話。行星行星，行而走之，我一坐下，心想壞了彰顯數學課堂的學科氣質，我是一點數學功底都沒有因為我拿的教學資格證書是語文的，學的專業是教育和中國教育史，我寫得最多的文章是詩歌，接下來談數學的教學，（我們從來不缺語文的面孔）而且我自己看一個課，其實是有幾條很簡單的原則。我看課更多的是從教學的層面，而不是從數學學科的層面。看一堂課，我有幾條原則：第一、要面向全體。第二是要關注差異的；第三是各有提升的，所以在那個杭州，華老師他問我課怎么樣，我沒聽懂。我說一定要我說的話，我說您的光芒太盛，把學生的光芒給掩蓋掉了。我就看不到學生原先的起點是怎么樣。上午這個課它提升在哪里，它走到了哪一個終點。前面聽各位老師談下來，其實我覺得兒童和數學是合二為一的，比方說華老師的課和施老師的課，他們其實一方面是對數學本身的理解，華老師找到了用單位來建構自己的教學，而施老師呢，把對數對的理解放到了一個更高的層次，就是一一對應。用一一對應可以創設很多的教學內容。比方說植樹的規律。他們在兒童學習心理里面都是從上位學習或者說建立更多的連接點。比如說華老師的課，我聽完之后，就一直在想這個問題，我就有點明白了。我昨天還發現了一個錯誤的位移。本來是要到海門來的，但是我跑到海安去了。115公里！這個也符合先到華老師的老家去拜拜山。我準備回去之后寫一篇文章，就是跑錯地方看學生的經驗我這是有原因的，許衛兵老師要負責的。我到那里之后，比較無聊，跑錯地方了。看到那里有一店。我跑過去問：“你們那里的量具包括哪些東西呢？”“他說游標、卡尺和千分尺”我當時不知道什么叫千分尺，是不是螺旋測溫馨呢？回來一查，果然是的。在現實生活中，它是有應用的。有一個現實的模型。你從單位的角度去理解，其實給學生提供了一個新的思維的角度。就是在更加網絡化的程度去理解分數。那是有意義。還有華老師的課中有這樣一個細節，就是介紹密位。教完過后，他問，為什么要有這么精密的單位呢？你有什么收獲？在這個環節中，老師能不能追問，在其他領域中，有沒有類似這樣的現象？華老師的課讓我思考分數意義的教學與測量儀的測度可以結合起來，而且，它可以打通與小數的關系。那這樣看，毫米，平方厘米，這些小的單位是怎樣來的？我們人去感知這個世界，用數量化的定性地刻畫它，先是感知最能把握的，所以先是“米”為單位，在科技沒有進步之前，沒有納米這個單位的。我們能感知秒、時、時辰，但在科技沒有很進步之前是沒有秒的。以單位為這樣一個思路，其實只不過是不同的精度的測量，就統一起來了。從1開始，因為1是最容易認識的，一個往上，一個往下，整個一條線就連接起來了。這樣來實施，可能就更加理解。施老師的這堂課，很明顯是讓學生經歷了一個數對形成過程。首先，她的整個結構思路一看就能讓人想得到的，而且還可以把這個過程速度再放慢一點。施老師有一個自己的考慮，開始是板書，從左往右第三列，從上往下倒數第二行之類的。如果我們不急的話，把其他的板書（最原始的）一一板書出來。第二是由這樣文字的描述到數對其實跳得蠻快的，沒想到施老師馬上后面就有一個規則，施老師就通過另外的游戲補上了。第二，數對。數對有不同的寫法，用杠呀，五（4）班呀，古代科技里用甲乙丙丁、天干地支來標這個號，都是數字的一種需要。如果這個地方再緩一緩，由文字到個性化的表達，最后是數對，一個過程是很清楚的，而且也符合數對形成的這樣一個過程。所以大家看，這既是數學的，也是兒童的。如果這樣來教學的話，學生經歷的是一個面對這樣的信息，黑板上復雜的文字信息，同學之間個性化的信息，到最后數學化的信息，到最后他要辨析，他要歸納，他要判斷，。而我們現行的課堂中，演繹的太多，歸納的太少。所以施老師的課，兩個過程是合二為一的。但也有一些感悟，比方說在一些細節上，就是用課件來呈現（1，5），學生標錯了，在沒出來之前，我就猜到學生有可能標錯。因為在上一個環節里，數對出來之后，施老師就告訴學生，這是數學上的規定。其實她上面的環節和這個環節可以倒一倒，讓學生先操作，操作完之后再來講規定，再來歸納，這樣學生會學得更扎實。我還有一個建議，在數學課上，少用課件，多用學生的材料，這樣能看到學生的思維過程。徐老師的這堂課也是非常棒的，他有一個很棒的地方，就是他很關注到學生學習方法上的差異，我們在很多課上，比如說教面積、計算，會用到操作，會用到折紙，小棒，你用小棒擺一擺呀，公式出來了，就再也不提小棒了， “用小棒擺一擺，列列式，在腦子里想一想，這個有一個數學方法上的往上提升的。問題在哪里，問題是在更多的一線課堂上，把這種學習方式完全割裂開的。在你讓學生操作的時候，很多學生不要操作了。我腦袋想想就能想出來了。其實讓學生去寫的時候，很多時候他不回的，他還是要借助于操作。不同學習方式應該是在同一個時間軸內交錯地存在的。我們今天看到了徐老師是這樣來處理的。他非常地細膩。前面是畫圖、列表、操作，選一種方式，我甚至覺得“選一種方式”這一說法也不要。關注學生學習方式的不同，這是我要說的第一點。第二呢，在策略的教學中，也有一個問題是很大的。今天是教一一列舉的