2016年福建省福州市高考數學模擬試卷（文科）（5月份）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1集合A=xN|x4，B=x|x240，則AB=（）Ax|0x2Bx|2x2C0，1D2，0，1，22設復數z滿足（1i）z=1+i，則|z|=（）A0B1CD23已知條件p：x0，條件q：0，則p是q成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件4函數f（x）=Asin（x+）（A0）在x=處取得最小值，則（）Af（x+）是奇函數Bf（x+）是偶函數Cf（x）是奇函數Df（x）是偶函數5從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了10根棉花的纖維長度（單位：mm），所得數據如圖莖葉圖記甲、乙兩品種棉花的纖維長度的平均值分別為，標準差分別為s甲，s乙，則（）A，s甲s乙B，s甲s乙C，s甲s乙D，s甲s乙6函數f（x）= 的零點個數為（）A3B2C1D07在ABC中，C=90，AC=2，點M滿足=，則=（）A1BCD28在各項均為正數的等比數列an中，a5a6=4，則數列log2an的前10項和等于（）A20B10C5D2+log259執行如圖的程序框圖，若輸入n值為4，則輸出的結果為（）A8B21C34D5510某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A10B20C40D6011過雙曲線C：=1（a0，b0）的左焦點F作一條漸近線的垂線，與C右支交于點A，若|OF|=|OA|則C的離心率為（）AB2CD512已知aR，函數f（x）=x3ax2+ax+2的導函數f（x）在（，1）內有最小值，若函數g（x）=，則（）Ag（x）在（1，+）上有最大值Bg（x）在（1，+）上有最小值Cg（x）在（1，+）上為減函數Dg（x）在（1，+）上為增函數二、填空題：本大題4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡相應位置13在平面直角坐標系xOy中，點P（m2，3）在拋物線y2=mx的準線上，則實數m=_14若x，y滿足約束條件，則2xy的最大值等于_15已知兩個同底的正四棱錐的所有頂點都在同一球面上，它們的底面邊長為2，體積的比值為，則該球的表面積為_16如圖，在ABC中，B=，AC=，D為BC邊上一點若AB=AD，則ADC的周長的取值范圍為_三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17已知數列an的前n項和為Sn，a1=，Sn2anSn+an=0（n2）（）求證：數列是等差數列；（）求S1+S2+S3+Sn18某媒體為調查喜歡娛樂節目A是否與觀眾性別有關，隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾，抽查結果用等高條形圖表示如圖：（）根據該等高條形圖，完成下列22列聯表，并用獨立性檢驗的方法分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A與觀眾性別有關？喜歡節目A不喜歡節目A總計男性觀眾_女性觀眾_總計_60（）從男性觀眾中按喜歡節目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調查從這5名中任選2名，求恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目A的概率附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=19如圖所示，四棱錐PABCD的底面是梯形，且ABCD，AB平面PAD，E是PB中點，CD=PD=AD=AB（）求證：CEAB；（）若CE=，AB=4，求三棱錐APCD的高20已知橢圓E： +=1（ab0）的焦距為2，直線y=k（x1）（k0）經過E的長軸的一個四等分點，且與E交于P，Q兩點（）求E的方程；（）記線段PQ為直徑的圓為M，判斷點A（2，0）與M的位置關系，說明理由21已知aR，函數f（x）=exa（x+1）的圖象與x軸相切（）求f（x）的單調區間；（）若x0時，f（x）mx2，求實數m的取值范圍四.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號選修4-1：幾何證明選講22如圖所示，ABC內接于圓O，D是的中點，BAC的平分線分別交BC和圓O于點E，F（）求證：BF是ABE外接圓的切線；（）若AB=3，AC=2，求DB2DA2的值選修4-4：坐標系與參數方程23在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（為參數）以O為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系（）寫出C1的極坐標方程；（）設曲線C2： +y2=1經伸縮變換后得到曲線C3，射線=（0）分別與C1和C3交于A，B兩點，求|AB|選修4-5：不等式選講24已知不等式|x+3|2x+1的解集為x|xm（）求m的值；（）設關于x的方程|xt|+|x+|=m（t0）有實數根，求實數t的值2016年福建省福州市高考數學模擬試卷（文科）（5月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1集合A=xN|x4，B=x|x240，則AB=（）Ax|0x2Bx|2x2C0，1D2，0，1，2【考點】交集及其運算【分析】先化簡集合A，B，再根據交集的運算即可【解答】解：集合A=xN|x4=0，1，2，3，4，由集合B中的不等式x240，因式分解得：（x+2）（x2）0，解得：2x2，所以集合B=（2，2）；則集合AB=0，1故選：C2設復數z滿足（1i）z=1+i，則|z|=（）A0B1CD2【考點】復數代數形式的乘除運算；復數求模【分析】由題意可得 z=，再由|z|= 求出結果【解答】解：復數z滿足（1i）z=1+i，z=，|z|=1，故選B3已知條件p：x0，條件q：0，則p是q成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】分別化簡命題p，q，p，即可判斷出關系【解答】解：條件p：x0，可得：p：x0條件q：0，可得x0則p是q成立的充要條件故選：C4函數f（x）=Asin（x+）（A0）在x=處取得最小值，則（）Af（x+）是奇函數Bf（x+）是偶函數Cf（x）是奇函數Df（x）是偶函數【考點】正弦函數的圖象【分析】由f（）=fmin（x）可知直線x=是f（x）的一條對稱軸故將f（x）圖象向左平移個單位后關于y軸對稱【解答】解：f（x）在x=處取得最小值，直線x=是f（x）的一條對稱軸將f（x）的函數圖象向左平移個單位后關于y軸對稱，f（x+）是偶函數故選B5從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了10根棉花的纖維長度（單位：mm），所得數據如圖莖葉圖記甲、乙兩品種棉花的纖維長度的平均值分別為，標準差分別為s甲，s乙，則（）A，s甲s乙B，s甲s乙C，s甲s乙D，s甲s乙【考點】極差、方差與標準差【分析】根據莖葉圖，從莖葉圖上可以看出甲的成績比較集中，甲的成績比較整齊，結合方差的意義即可得出S甲，S乙的大小關系【解答】解：由莖葉圖可知，分別為，且甲的極差大于乙的極差，甲的數據波動比乙大，所以s甲s乙，故選：A6函數f（x）= 的零點個數為（）A3B2C1D0【考點】根的存在性及根的個數判斷【分析】按分段函數分類討論，從而利用函數的零點的判定定理及函數與方程的關系求解【解答】解：當x0時，f（x）=2x1+x，易知f（x）在（，0上是增函數且連續，而f（1）=10，f（0）=0；故f（x）在（，0上有且只有一個零點；當x0時，f（x）=1+lnx=0，則x=e；綜上所述，函數f（x）= 有兩個零點，故選B7在ABC中，C=90，AC=2，點M滿足=，則=（）A1BCD2【考點】平面向量數量積的運算【分析】根據條件即可得出點M為邊AB的中點，且BCAC，從而有，再由AC=2，進行向量數量積的運算即可求出的值【解答】解：，M為邊AB的中點，如圖所示：；ACB=90；BCAC；=2+0=2故選：D8在各項均為正數的等比數列an中，a5a6=4，則數列log2an的前10項和等于（）A20B10C5D2+log25【考點】等比數列的前n項和；等差數列的前n項和【分析】由等比數列an的性質可得：a1a10=a5a6=4，再利用對數的運算性質即可得出【解答】解：由等比數列an的性質可得：a1a10=a5a6=4，則數列log2an的前10項和=log2（a1a2a10）=10，故選：B9執行如圖的程序框圖，若輸入n值為4，則輸出的結果為（）A8B21C34D55【考點】程序框圖【分析】執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的s，t，i的值，當n=4時不滿足條件i4，退出循環，輸出s+t的值為21，從而得解【解答】解：模擬執行程序框圖，可得n=4，s=1，t=1，i=1滿足條件i4，執行循環體，可得：s=2，t=3，i=2滿足條件i4，執行循環體，可得：s=4，t=7，i=3滿足條件i4，執行循環體，可得：s=7，t=14，i=4不滿足條件i4，退出循環，輸出s+t的值為21故選：B10某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A10B20C40D60【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱柱截去一個同底等高的三棱錐后，所得的組合體，分別代入棱錐和棱柱體積公式，可得答案【解答】解：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱柱截去一個同底等高的三棱錐的組合體，故幾何體的體積V=（1）Sh=345=20，故選：B11過雙曲線C：=1（a0，b0）的左焦點F作一條漸近線的垂線，與C右支交于點A，若|OF|=|OA|則C的離心率為（）AB2CD5【考點】雙曲線的簡單性質【分析】設F（c，0），漸近線方程為y=x，由題意可得AOF為等腰三角形，即有F關于漸近線的對稱點對稱點為A（m，n），運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為1，求出對稱點的坐標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值【解答】解：設F（c，0），漸近線方程為y=x，過左焦點F作一條漸近線的垂線，與C右支交于點A，若|OF|=|OA|，可得AOF為等腰三角形，即有F關于漸近線的對稱點為A（m，n），即有=，且n=，解得m=，n=，將A（，），即（，），代入雙曲線的方程可得=1，化簡可得4=1，即有e2=5，解得e=故選：C12已知aR，函數f（x）=x3ax2+ax+2的導函數f（x）在（，1）內有最小值，若函數g（x）=，則（）Ag（x）在（1，+）上有最大值Bg（x）在（1，+）上有最小值Cg（x）在（1，+）上為減函數Dg（x）在（1，+）上為增函數【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用【分析】利用導函數的最小值求出a的范圍，然后求解新函數的導數，判斷函數的單調性與最值【解答】解：函數f（x）=x3ax2+ax+2的導函數f（x）=x22ax+a對稱軸為：x=a，導函數f（x）在（，1）內有最小值，令x22ax+a=0，可得方程在（，1）有兩個根，可得，解得：a0函數g（x）=x+2ag（x）=1，x（1，+），1，g（x）0，g（x）在在（1，+）上為增函數故選：D二、填空題：本大題4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡相應位置13在平面直角坐標系xOy中，點P（m2，3）在拋物線y2=mx的準線上，則實數m=【考點】拋物線的簡單性質【分析】求出拋物線的準線方程，列出方程求解即可【解答】解：拋物線y2=mx的準線方程為：x=，點P（m2，3）在拋物線y2=mx的準線上，m2=，解得m=故答案為：14若x，y滿足約束條件，則2xy的最大值等于1【考點】簡單線性規劃【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定z的最大值【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）由z=2xy得y=2xz，平移直線y=2xz由圖象可知當直線y=2xz經過點A（1，1）時，直線y=2xz的截距最小，此時z最大代入目標函數z=2xy，得z=2+1=1即z=2xy的最大值為1故答案為：115已知兩個同底的正四棱錐的所有頂點都在同一球面上，它們的底面邊長為2，體積的比值為，則該球的表面積為9【考點】球內接多面體；球的體積和表面積【分析】根據兩個正四棱錐有公共底面，可得棱錐高之和即為球的直徑，結合底面邊長為2，則底面截球所得圓的半徑為2，結合勾股定理求出球半徑可得球的面積【解答】解：兩個正四棱錐有公共底面且兩個正四棱錐的體積之比為，兩個正四棱錐的高的比也為設兩個棱錐的高分別為X，2X，球的半徑為R則X+2X=3X=2R即R=球心到那個公共底面距離是，又底面邊長為2R2=（）2=（）2+（）2，解得X=1R=該球的表面積S=4R2=9故答案為：916如圖，在ABC中，B=，AC=，D為BC邊上一點若AB=AD，則ADC的周長的取值范圍為2l2+【考點】正弦定理的應用【分析】由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60可知A60，結合圖形可知周長l=AD+AC+DC=2sinA+，結合正弦函數的性質可求【解答】解：AD=AB，B=60，A60B=，AC=，A+C=120即A=120C由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinACD=2sinA2sinC周長l=AD+AC+DC=2sinA+，60A120sinA12l2+故答案為：2l2+三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17已知數列an的前n項和為Sn，a1=，Sn2anSn+an=0（n2）（）求證：數列是等差數列；（）求S1+S2+S3+Sn【考點】數列的求和【分析】（I）利用遞推關系、等差數列的定義即可證明；（II）利用等差數列的通項公式、“裂項求和”方法即可得出【解答】證明：（）Sn2anSn+an=0（n2）當n2時，an=SnSn1，可得：（SnSn1）Sn+SnSn1=0，化為：Sn1Sn+SnSn1=0，=1， =2數列是以2為首項，以1為公差的等差數列解：（）由（）可得： =2+（n1）=n+1，Sn=S1+S2+S3+Sn=+=1=18某媒體為調查喜歡娛樂節目A是否與觀眾性別有關，隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾，抽查結果用等高條形圖表示如圖：（）根據該等高條形圖，完成下列22列聯表，并用獨立性檢驗的方法分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A與觀眾性別有關？喜歡節目A不喜歡節目A總計男性觀眾24630女性觀眾151530總計392160（）從男性觀眾中按喜歡節目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調查從這5名中任選2名，求恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目A的概率附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=【考點】獨立性檢驗；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式【分析】（）由題意和條形圖易得列聯表，計算可得則K2的觀測值k5.9343.841，可得有關；（）利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節目A的人數為4，記為a，b，c，d，不喜歡節目A的人數為1，記為1，列舉可得總的方法種數，找出符合題意的方法種數，由概率公式可得【解答】解：（）由題意得列聯表如下：喜歡節目A不喜歡節目A總計男性觀眾24630女性觀眾151530總計392160計算可得則K2的觀測值k=5.9343.841能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A與觀眾性別有關；（）利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節目A的人數為24=4，記為a，b，c，d，不喜歡節目A的人數為6=1，記為1則從5名中任選2人的所有可能的結果為：（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）（b，c）（b，d）（b，1）（c，d）（c，1）（d，1）共有10種其中恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目A的有：（a，1）（b，1）（c，1）（d，1）共4種所抽取的觀眾中恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目A的觀眾的概率是： =19如圖所示，四棱錐PABCD的底面是梯形，且ABCD，AB平面PAD，E是PB中點，CD=PD=AD=AB（）求證：CEAB；（）若CE=，AB=4，求三棱錐APCD的高【考點】點、線、面間的距離計算；空間中直線與平面之間的位置關系【分析】（）取AP的中點F，連結DF，EF，證明四邊形EFDC為平行四邊形，推出CEDF，利用AB平面PAD，證明CEAB（）設點O為PD的中點，連結AO，如圖所示，證明ADP為正三角形，推出ADPD，求出AD=，證明AO平面PCD然后求出三棱錐APCD的高【解答】（）證明：取AP的中點F，連結DF，EF，如圖所示因為點E是PB中點，所以EFAB且EF=又因為ABCD且CD=，所以EFCD且EF=CD，所以四邊形EFDC為平行四邊形，所以CEDF，因為AB平面PAD，DF平面PAD，所以ABDF所以CEAB（）解：設點O為PD的中點，連結AO，如圖所示，因為BC=，AB=4，由（）知，DF=，又因為AB=4，所以PD=AD=2，所以AP=2AF=2=2=2，所以ADP為正三角形，所以ADPD，且AD=因為AB平面PAD，ABCD，所以CD平面PAD因為AD平面PAD，所以CDAO，又因為PDCD=D，所以AO平面PCD所以三棱錐APCD的高為20已知橢圓E： +=1（ab0）的焦距為2，直線y=k（x1）（k0）經過E的長軸的一個四等分點，且與E交于P，Q兩點（）求E的方程；（）記線段PQ為直徑的圓為M，判斷點A（2，0）與M的位置關系，說明理由【考點】直線與圓錐曲線的關系；點與圓的位置關系【分析】（）由題意可知，2c=2，2a=4，b2=a2c2，即可求得a和b的值，寫出橢圓的方程；（）將直線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得x1+x2和x1x2，并代入直線方程求得y1y2，表示出和，利用向量數量積的坐標表示求得0，因此點A在M外【解答】解：（）依題意得，2c=2，2a=4，即c=，a=，b2=a2c2=1，所以E的方程為（）點A在M外理由如下：設P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1+4k2）x28k2x+4k24=0，所以，=（8k2）24（1+4k2）（4k24）=48k2+160，所以x1+x2=，x1x2=因為=（x12，y1），=（x22，y2），所以=（x12）（x22）+y1y2，=（1+k2）x1x2（2+k2）（x1+x2）+4+k2，=+4+k2，=因為k0，所以0cosPAQ0，PAQ為銳角，所以點A在M外21已知aR，函數f（x）=exa（x+1）的圖象與x軸相切（）求f（x）的單調區間；（）若x0時，f（x）mx2，求實數m的取值范圍【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（）求出f（x）的導數，設出切點的坐標，得到方程組，求出a的值，從而求出函數的單調區間即可；（）構造g（x）=f（x）mx2，求出g（x）的導數，通過討論m的范圍，結合函數的單調性求出m的具體范圍即可【解答】解：（）f（x）=exa，依題意，設切點為（b，0），則即，解得所以f（x）=ex1，所以，當x0時，f（x）0；當x0時，f（x）0所以，f（x）的單調遞減區間為（，0），單調遞增區間為（0，+）（）令g（x）=f（x）mx2，則g（x）=ex2mx1，令h（x）=g（x），則h（x）=ex2m，（）若m，因為當x0時，ex1，所以h（x）0，所以h（x）即g（x）在（0，+）上單調遞增又因為g（0）=0，所以當x0時，g（x）g（0）=0，從而g（x）在（0，+）上單調遞增，而g（0）=0，所以g（x）g（0）=0，即f（x）mx2成立（）若m，令h（x）=0，解得x=ln（2m）0，當x（0，ln（2m），h（x）0，所以h（x）即g（x）在（0，ln（2m）上單調遞減，又因為g（0）=0，所以當x（0，ln（2m）時，g（x）0，從而g（x）在（0，ln（2m）上單調遞減，而g（0）=0，所以當x（0，ln（2m），時，g（x）g（0）=0，即f（x）mx2不成立綜上所述，m的取值范圍是（，四.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號選修4-1：幾何證明選講22如圖所示，ABC內接于圓O，D是的中點，BAC的平分線分別交BC和圓O于點E，F（）求證：BF是ABE外接圓的切線；（）若AB=3，AC=2，求DB2DA2的值【考點】圓周角定理；平行截割定理【分析】（）設ABE外接圓的圓心為O，連結BO并延長交圓O于G點，連結GE，則BEG=90，BAE=BGE，可證FBE=BAE，進而證明FBG=90，即可得證BF是ABE外接圓的切線（）連接DF，則DFBC，由勾股定理可得BD2DA2=AF2BF2，利用相似三角形的性質可得ABAC=AEAF=（AFEF）AF，由FBEFAB，從而BF2=FEFA，得ABAC=AF2BF2，進而可求BD2DA2=ABAC=6【解答】（本題滿分為10分）解：（）設ABE外接圓的圓心為O，連結BO并延長交圓O于G點，連結GE，則BEG=90，