2013年全國各地高考文科數學試題分類匯編7：立體幾何 一、選擇題1 （2013年高考重慶卷（文）某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為（）ABCD【答案】D 2 （2013年高考課標卷（文）一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以平面為投影面,則得到正視圖可以為 （）ABCD【答案】A 3 （2013年高考課標卷（文）某幾何函數的三視圖如圖所示,則該幾何的體積為（）AB C D【答案】A4 （2013年高考大綱卷（文）已知正四棱錐的正弦值等于（）ABCD【答案】A 5 （2013年高考四川卷（文）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是（）A棱柱B棱臺C圓柱D圓臺【答案】D 6 （2013年高考浙江卷（文）已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3【答案】B 7 （2013年高考北京卷（文）如圖,在正方體中,為對角線的三等分點,則到各頂點的距離的不同取值有 （）A3個B4個C5個D6個【答案】B 8 （2013年高考廣東卷（文）某三棱錐的三視圖如圖2所示,則該三棱錐的體積是（）ABCD【答案】B 9 （2013年高考湖南（文）已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1的正方形,側視圖是一個面積為的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于（）AB1CD【答案】D 10（2013年高考浙江卷（文）設m.n是兩條不同的直線,.是兩個不同的平面,（）A若m,n,則mnB若m,m,則 C若mn,m,則nD若m,則m【答案】C 11（2013年高考遼寧卷（文）已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,則球的半徑為（）ABCD 【答案】C 12（2013年高考廣東卷（文）設為直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A若,則B若,則 C若,則D若,則【答案】B 13（2013年高考山東卷（文）一個四棱錐的側棱長都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如右圖所示該四棱錐側面積和體積分別是（）ABCD8,8【答案】B 14（2013年高考江西卷（文）一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體的體積為（）A200+9B200+18C140+9D140+18 【答案】A 二、填空題15（2013年高考課標卷（文）已知正四棱錐O-ABCD的體積為322,底面邊長為3,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為_.【答案】 16（2013年高考湖北卷（文）我國古代數學名著數書九章中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是_寸. (注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于十寸)【答案】3 17（2013年高考課標卷（文）已知是球的直徑上一點,平面,為垂足,截球所得截面的面積為,則球的表面積為_.【答案】; 18（2013年高考北京卷（文）某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為_.1俯視圖側（左）視圖正（主）視圖 2 1 1 2 【答案】319（2013年高考陜西卷（文）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為_. 【答案】 20（2013年高考大綱卷（文）已知圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,則球的表面積等于_.【答案】 21（2013年上海高考數學試題（文科）已知圓柱的母線長為,底面半徑為,是上地面圓心,、是下底面圓周上兩個不同的點,是母線,如圖.若直線與所成角的大小為,則_.【答案】 22（2013年高考天津卷（文）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長為 _.【答案】 23（2013年高考遼寧卷（文）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_.【答案】 24（2013年高考江西卷（文）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且AB/CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為_.【答案】4 25（2013年高考安徽（文）如圖,正方體的棱長為1,為的中點,為線段上的動點,過點的平面截該正方體所得的截面記為,則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號). 當時,為四邊形;當時,為等腰梯形;當時,與的交點滿足;當時,為六邊形;當時,的面積為.【答案】 三、解答題26（2013年高考遼寧卷（文）如圖,(I)求證:(II)設【答案】 27（2013年高考浙江卷（文）如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=120,G為線段PC上的點.()證明:BD面PAC ; ()若G是PC的中點,求DG與APC所成的角的正切值;()若G滿足PC面BGD,求 的值.【答案】解:證明:()由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30,且,所以;、,又因為; ()設,由(1)知,連接,所以與面所成的角是,由已知及(1)知:, ,所以與面所成的角的正切值是; ()由已知得到:,因為,在中,設 28（2013年高考陜西卷（文）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O平面ABCD, . () 證明: A1BD / 平面CD1B1; () 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積. 【答案】解: () 設. . .(證畢) () . 在正方形AB CD中,AO = 1 . . 所以,. 29（2013年高考福建卷（文）如圖,在四棱錐中, ,.(1)當正視圖方向與向量的方向相同時,畫出四棱錐的正視圖.(要求標出尺寸,并畫出演算過程);(2)若為的中點,求證:;(3)求三棱錐的體積.【答案】解法一:()在梯形中,過點作,垂足為, 由已知得,四邊形為矩形, ,在中,由,依勾股定理得: ,從而 ,又由平面得, 從而在中,由,得 正視圖如右圖所示: ()取中點,連結, ,在中,是中點, ,又, , 四邊形為平行四邊形, 又平面,平面, 平面 (),又,所以 解法二: ()同解法一 ()取的中點,連結, 在梯形中,且 ,四邊形為平行四邊形 ,又平面,平面 平面,又在中, 平面,平面 平面.又, 平面平面,又平面 平面 ()同解法一 30（2013年高考廣東卷（文）如圖4,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點,是的中點,與交于點,將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面;(2) 證明:平面;(3) 當時,求三棱錐的體積.【答案】(1)在等邊三角形中, ,在折疊后的三棱錐中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等邊三角形中,是的中點,所以,. 在三棱錐中, ; (3)由(1)可知,結合(2)可得. 31（2013年高考湖南（文）如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=3,D是BC的中點,點E在菱BB1上運動.(I)證明:ADC1E;(II)當異面直線AC,C1E 所成的角為60時,求三菱子C1-A2B1E的體積.【答案】解: () . . (證畢) (). . 32（2013年高考北京卷（文）如圖,在四棱錐中,平面底面,和分別是和的中點,求證:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(I)因為平面PAD平面ABCD,且PA垂直于這個平面的交線AD 所以PA垂直底面ABCD. (II)因為ABCD,CD=2AB,E為CD的中點 所以ABDE,且AB=DE 所以ABED為平行四邊形, 所以BEAD,又因為BE平面PAD,AD平面PAD 所以BE平面PAD. (III)因為ABAD,而且ABED為平行四邊形 所以BECD,ADCD,由(I)知PA底面ABCD, 所以PACD,所以CD平面PAD 所以CDPD,因為E和F分別是CD和PC的中點 所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD. 33（2013年高考課標卷（文）如圖,三棱柱中,.()證明:;()若,求三棱柱的體積.【答案】【答案】(I)取AB的中點O,連接、,因為CA=CB,所以,由于AB=A A1,BA A1=600,故為等邊三角形,所以OAAB. 因為OCOA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC. (II)由題設知 34（2013年高考山東卷（文）如圖,四棱錐中, ,分別為的中點()求證:;()求證:【答案】 35（2013年高考四川卷（文）如圖,在三棱柱中,側棱底面,分別是線段的中點,是線段上異于端點的點.()在平面內,試作出過點與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面;()設()中的直線交于點,求三棱錐的體積.(錐體體積公式:,其中為底面面積,為高)【答案】解:()如圖,在平面ABC內,過點作直線,因為在平面外,BC在平面內,由直線與平面平行的判定定理可知,平面. 由已知,是BC中點,所以BCAD,則直線, 又因為底面,所以, 又因為AD,在平面內,且AD與相交, 所以直線平面 ()過D作于E,因為平面,所以, 又因為AC,在平面內,且AC與相交,所以平面, 由,BAC,有,DAC, 所以在ACD中, 又,所以 因此三棱錐的體積為 36（2013年高考湖北卷（文）如圖,某地質隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發現礦藏,再繼續下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為,且. 過,的中點,且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一個中截面,其面積記為.()證明:中截面是梯形;()在ABC中,記,BC邊上的高為,面積為. 在估測三角形區域內正下方的礦藏儲量(即多面體的體積)時,可用近似公式來估算. 已知,試判斷與V的大小關系,并加以證明. 第20題圖【答案】()依題意平面,平面,平面, 所以A1A2B1B2C1C2. 又,且 . 因此四邊形、均是梯形. 由平面,平面,且平面平面, 可得AA2ME,即A1A2DE. 同理可證A1A2FG,所以DEFG. 又、分別為、的中點, 則、分別為、 的中點, 即、分別為梯形、的中位線. 因此 , 而,故,所以中截面是梯形. (). 證明如下: 由平面,平面,可得. 而EMA1A2,所以,同理可得. 由是的中位線,可得即為梯形的高, 因此, 即. 又,所以. 于是. 由,得,故. 37（2013年高考課標卷（文）如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.(1)證明: BC1/平面A1CD;(2)設AA1= AC=CB=2,AB=22,求三棱錐C一A1DE的體積.【答案】 38（2013年高考大綱卷（文）如圖,四棱錐P-ABCD中，ABC=BAD=900，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形.(I)證明:PBCD； (II)求點A到平面PCD的距離. 【答案】()證明:取BC的中點E,連結DE,則ABED為正方形. 過P作PO平面ABCD,垂足為O. 連結OA,OB,OD,OE. 由和都是等邊三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即點O為正方形ABED對角線的交點, 故,從而. 因為O是BD的中點,E是BC的中點, 所以OE/CD.因此,. ()解:取PD的中點F,連結OF,則OF/PB. 由()知,故. 又, 故為等腰三角形,因此,. 又,所以平面PCD. 因為AE/CD,平面PCD,平面PCD,所以AE/平面PCD. 因此,O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離,而, 所以A至平面PCD的距離為1. 39（2013年高考安徽（文）如圖,四棱錐的底面是邊長為2的菱形,.已知 .()證明:()若為的中點,求三菱錐的體積.【答案】解: (1)證明:連接交于點 又是菱形 而 面 (2) 由(1)面 = 40（2013年上海高考數學試題（文科）如圖,正三棱錐底面邊長為,高為,求該三棱錐的體積及表面積.【答案】 41（2013年高考天津卷（文）如圖, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 側棱A1A底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點. () 證明EF/平面A1CD; () 證明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值. 【答案】 42（2013年高考重慶卷（文）(本