類比探究專題例1 如圖1，在等腰直角ABC和等腰直角CDE中，CDBC，點C，B，D在同一直線上，M是AE的中點，易證MDMB，MD=MB（1）如圖2，將圖1中的CDE繞點C順時針旋轉45，使CDE的斜邊CE恰好與ABC的邊BC垂直，題干中的其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？（2）將圖2中的ABC繞點C逆時針旋轉大于0且小于45的角，如圖3所示，請直接寫出你的結論 例2 如圖1，在中，在邊上。為等邊三角形，連接，為中點，連。 請直接寫出的關系，不必說明理由；若將圖1中的繞點順時針旋轉，其它條件不變，請作出相應圖形，并直接給出結論，不必說明理由。將圖中的繞點順時針旋轉（060），其它條件不變，如圖2，試回答中的結論是否成立？并說明理由。例3 （1）操作發現：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將ABE沿AE折疊后得到AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G猜想線段GF與GC有何數量關系？并證明你的結論（2）類比探究：如圖2，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由 圖1 圖2例4 已知：如圖所示，直線與的平分線交于點，過點作一條直線與兩條直線分別相交于點（1）如圖1所示，當直線與直線垂直時，猜想線段之間的數量關系，請直接寫出結論，不用證明；（2）如圖2所示，當直線與直線不垂直且交點都在的同側時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）當直線與直線不垂直且交點在的異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段之間還存在某種數量關系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數量關系圖1 圖2 備用圖 備用圖 例5 在ABC中，A90，點D在線段BC上，EDBC，BEDE，垂足為E，DE與AB相交于點F（1）當ABAC時（如圖1），EBF_；探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；（2）當ABkAC時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）圖1 圖2 例6 如圖1，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EFBE交AB于點F，AC=mBC，CE=nEA（m，n為實數）.試探究線段EF與EG的數量關系（1）如圖2，當m=1，n=1時，求EF與EG的數量關系（2）如圖3，當m=1，n為任意實數時，求EF與EG的數量關系（3）如圖1，當m，n均為任意實數時，求EF與EG的數量關系 例7 在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直線MN過點A且MNBC以點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90，且點D在直線MN上（不與點A重合）如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（1）在圖2中，DE與CA的延長線交于點P，則BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由（2）在圖3中，DE與AC的延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明例8 如圖1，在RtABC中，BAC=90，ADBC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO，交AD于點F，OEOB交BC于點E（1）求證：；（2）如圖2，當為邊中點，時，求的值；（3）如圖3，當為邊中點，時，請直接寫出的值例9 如圖1，已知MAN=120，AC平分MAN，ABC=ADC=90，可以證明：DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖2，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC+ADC=180，其他條件不變，證明結論和結論仍然成立（2）如圖3，如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC=ADC，其他條件不變，結論和是否仍然成立？成立，請證明；不成立，請說明理由例10 如圖，在等邊三角形ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作ADN=60，直線DN交射線AB于點E，過點C作CFAB交直線DN于點F（1）當點D在線段BC上，NDB為銳角時，如圖1，求證：CF+BE=CD（提示：過點F作FMBC交射線AB于點M）（2）當點D在線段BC的延長線上，NDB為銳角時，如圖2；當點D在線段CB的延長線上，NDB為鈍角時，如圖3，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明（3）在（2）的條件下，若ADC=30，則BE=_，CD=_例11已知，ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）以AD為邊作菱形ADEF，使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：ADB=AFC；請直接判斷結論AFC=ACBDAC是否成立；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結論AFC=ACBDAC是否成立？請寫出AFC、ACB、DAC之間存在的數量關系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出AFC、ACB、DAC之間存在的等量關系 圖1 圖2 圖3例12（1）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將ACD繞點D逆時針旋轉180得到EBD），把AB、AC 、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關系可得2AE8，則1AD4感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中（2）問題解決：受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點，DEDF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF求證：BE+CFEF；若A=90，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明（3）問題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明 圖1 圖2 圖3例13 如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線例如，平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_；（2）如圖1，梯形ABCD中，ABDC，如果延長DC到E，使CEAB，連接AE，那么有S梯形ABCDSADE請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，SADCSABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由 圖1 圖2閱讀下列材料： 問題：如圖1，在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，且，試判斷ABCD與AD之間的大小關系。小雪同學的思路是：作B點關于AM的對稱點E，連接AE、ME、DE，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決。 請你參考小雪同學的思路，探究并解決下列問題：寫出上面問題中ABCD與AD之間的大小關系； 如圖2，若將的度數改為120，原問題中的其他條件不變，證明：； 如圖3，若，求AD的最大值。解決類比探究問題的處理思路1. 若屬于類比探究常見的結構類型，調用結構類比解決類比探究常見結構： 中點結構 ?？紤]平行夾中點 旋轉結構 特征：等線段共點 平行結構 作平行，造相似 直角結構 “斜直角放正”2. 若不屬于常見結構類型： 根據題干條件，結合分支條件先解決第一問 類比解決下一問如果不能，分析條件變化，尋找不變特征 結合所求目標，依據不變特征，大膽猜測、嘗試、驗證借助上面填寫的內容，做下面的小題 【試題1】如圖1，在等腰直角ABC和等腰直角CDE中，CDBC，點C，B，D在同一直線上，M是AE的中點，易證MDMB，MD=MB（1）如圖2，將圖1中的CDE繞點C順時針旋轉45，使CDE的斜邊CE恰好與ABC的邊BC垂直，題干中的其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？（2）將圖2中的ABC繞點C逆時針旋轉大于0且小于45的角，如圖3所示，請直接寫出你的結論首先需要證明圖1中的結論由M是AE的中點，ABDE，發現有 平行夾中點 結構，延長BM，交DE于點N，可以得到ABMENM，進而得到BM=MN，AB=BC=EN，DN=DB，DBN是等腰直角三角形，MDMB，MD=MB（1）圖1和圖2中沒有發生變化的是 M是AE的中點，ABDE， 分析ABCE，補全“平行夾中點”的結構，照搬圖1中的證明思路延長BM，交CE于點N，連接BD，DN，能夠得到 ABMENM ，進而得到BM=MN；進一步證明BCDNED，可以得到DBN是等腰直角三角形，得到結論MDMB，MD=MB（2）圖2和圖3兩個等腰直角三角形沒有變化，M是AE的中點也沒有發生變化，所以可以照搬（1）中的證明思路第一步構造“平行夾中點”的輔助線，過點E作AB的平行線，交BM的延長線于點N，連接BD，DN；第二步證明 ABMENM ；第三步證明 DBN是等腰直角三角形 ，過程中需要證明BCD=NED，請在圖中給出簡要證明；第四步根據DBN是等腰直角三角形，得到結論MDMB，MD=MB【試題2】如圖1，已知MAN=120，AC平分MAN，ABC=ADC=90，可以證明DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖2，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC+ADC=180，其他條件不變，證明結論和結論仍然成立（2）如圖3，如果D在AM的反向延長線上，把題干中的條件“ABC=ADC=90”改為ABC=ADC，其他條件不變，結論和是否仍然成立？成立，請證明；不成立，請說明理由1. 弄清題干中結論是如何證明的，主要利用的特征為角平分線，以及含有30角的直角三角形角平分線的性質得到DC=BC結論成立，利用含30角的直角三角形中 證明結論成立2. 第二問與第一問相比，垂直、直角三角形特征已經變化，但_MAN=120，AC平分MAN沒有發生變化，屬于不變特征，考慮角平分線的性質，構造與圖1一致的三角形，添加輔助線_證明的路線圖為第一步：輔助線第二步：由題干可知AC和AE，AF的關系是_第三步：CED_（條件是_），得到ED=FB，CD=CB第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB，結論均成立3. 不變特征_，沒有發生變化，照搬上一問的證明思路第一步：輔助線，_第二步：由題干可知AC=AE+AF第三步：_第四步：結論成立，結論變為_【試題11】在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直線MN過點A且MNBC以點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90，且點D在直線MN上（不與點A重合）如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（1）在圖2中，DE與CA的延長線交于點P，則BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由（2）在圖3中，DE與AC的延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明 方法一：首先梳理易證的思路，“斜直角放正”，過點D作DFMN交線段AB于點F；發現等線段共點，考慮“旋轉結構”，可得DFBDAP，所以BD=DP；梳理路線圖： 過D作DFMN交線段AB于點F DFBDAP(ASA) BD